Калькулятор трикутника

Калькулятор трикутника

Онлайн-калькулятор трикутника — це універсальний та зручний інструмент для швидкого розв'язування геометричних задач. Він дозволяє знайти всі невідомі параметри фігури на основі трьох відомих величин. Просто введіть довжини сторін або кути, і цей багатофункціональний сервіс миттєво обчислить:

• невідомі довжини сторін,
• невідомі кути трикутника,
• площу,
• периметр,
• півпериметр,
• висоти, проведені до всіх сторін трикутника,
• медіани, проведені до всіх сторін трикутника,
• радіус вписаного кола (інрадіус),
• радіус описаного кола (циркумрадіус).

Крім того, калькулятор визначає точні координати вершин, центроїда, центру вписаного кола (інцентра) та центру описаного кола (циркумцентра), приймаючи, що вершина А розташована в початку координат [0, 0].

Інструкція з використання

Користуватися нашим онлайн-калькулятором трикутника надзвичайно просто. Введіть будь-які три відомі величини у відповідні поля. Це може бути довільна комбінація кутів та довжин сторін. Примітка: Щонайменше одне з уведених значень має бути довжиною сторони, інакше трикутник матиме безліч варіантів розв'язку (утворюючи нескінченну кількість подібних трикутників).

Далі виберіть зручні одиниці вимірювання кутів — градуси або радіани. Якщо ви використовуєте радіани, вводьте "pi" для позначення π. Наприклад, для кута $\frac{π}{3}$ достатньо написати "pi/3". Після введення даних натисніть «Обчислити» (Calculate). Калькулятор миттєво згенерує всі відсутні значення з наведеного вище списку та побудує схематичне креслення трикутника для зручної візуалізації результатів.

Якщо ви хочете детально зрозуміти математику, що стоїть за розрахунками, розгорніть розділ «Показати кроки обчислення» (Show Calculation Steps). Там міститься покроковий розбір алгоритму та наведено конкретні геометричні формули, які були використані для отримання кінцевого результату.

Обмеження щодо вхідних значень

Для коректної роботи калькулятора сторін і кутів трикутника слід дотримуватися базових геометричних правил:

По-перше, принаймні одне з відомих значень обов'язково має бути довжиною сторони.

При введенні двох кутів і однієї сторони, сума заданих кутів має бути строго меншою за 180° (або π).

При введенні довжин трьох сторін, сума будь-яких двох із них завжди має бути більшою за довжину третьої. Це класична теорема про нерівність трикутника.

Приклад розрахунку

Уявіть, що ви переїжджаєте і плануєте позичити у друга вантажівку. Вам потрібно завантажувати важкі коробки, але вантажівка не оснащена вбудованим пандусом. У вас є портативний пандус, проте перед тим як брати авто, варто переконатися, що його розміри відповідають висоті вантажівки.

Ваш пандус не регулюється. Ви вимірюєте його і з'ясовуєте, що дві його сторони дорівнюють 1 м і 0.8 м, а кут, протилежний до сторони довжиною 1 м, становить рівно 85 градусів (як показано на малюнку). Відомо також, що висоту заднього борту вантажівки можна регулювати в діапазоні від 0.5 м до 1 м. Виникає питання: чи підійде ваш пандус?

Дано

• сторона b = 1;
• сторона c = 0.8;
• кут B = 85 градусів.

Розв'язання

Щоб з'ясувати, чи підійде пандус, потрібно розв'язати трикутник і перевірити, чи потрапляє довжина сторони a в діапазон регульованої висоти борту вантажівки: 0.5 < a < 1.

Ввівши ці дані в наш калькулятор трикутника, ви миттєво отримаєте точні розміри. Хоча інструмент обчислює всі невідомі змінні, для цього практичного завдання нас цікавить лише невідома довжина сторони:

Відповідь

• Сторона a = 0.67376

• Сторона b = 1

• Сторона c = 0.8

• кут A = 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 рад

• кут B = 85° = 1.48353 рад

• кут C = 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 рад

Отримана конфігурація пандуса виглядає так:

Як бачите, необхідна висота становить a ≈ 0.674 м. Оскільки висота вантажівки регулюється в межах 0.5 < a < 1, пандус підходить ідеально! Ви можете сміливо позичати вантажівку у друга, заощадивши гроші на оренді.

Трикутник: визначення та важливі формули

У геометрії трикутник — це плоска двовимірна фігура, утворена перетином трьох непаралельних прямих. Його також можна описати як базовий багатокутник із трьома вершинами та трьома ребрами. У повсякденній математиці ребра трикутника найчастіше називають його сторонами.

Умови існування трикутника

Щоб будь-який трикутник міг існувати, він повинен задовольняти двом фундаментальним правилам: одне стосується його сторін, а інше — кутів.

Правило для сторін відоме як нерівність трикутника. Воно стверджує, що сума довжин будь-яких двох сторін завжди має бути строго більшою за довжину третьої. Якщо сума двох коротших сторін дорівнює довжині третьої сторони, утворюється «вироджений» трикутник.

Вироджений трикутник — це теоретичний випадок, коли всі три вершини лежать на одній прямій (фактично утворюючи звичайний відрізок). Оскільки це вузькоспеціалізоване поняття, яке зазвичай виключається з елементарної геометрії, наш онлайн-калькулятор його не розглядає.

Правило для кутів стверджує, що сума всіх внутрішніх кутів будь-якого дійсного трикутника завжди дорівнює рівно 180° (або π радіан).

Параметри трикутника

Розглянемо ключові параметри трикутника та основні геометричні формули, які використовуються для їх обчислення.

Периметр трикутника — це загальна довжина його зовнішньої межі, яка обчислюється як сума довжин усіх трьох сторін:

p = a + b + c

Півпериметр — це просто половина периметра трикутника:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

Площа трикутника визначає розмір простору, обмеженого його трьома сторонами у двовимірній площині. Якщо вам відомі довжини двох сторін та кут між ними, площу можна знайти за цією формулою:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

Висота трикутника — це перпендикуляр, опущений з вершини на протилежну сторону (або на її продовження). Оскільки трикутник має три вершини, він невід'ємно містить три унікальні висоти. Висота, проведена до сторони a, позначається як hₐ. Відповідно, дві інші висоти позначаються як $h_b$ та h꜀. Найпростіший спосіб знайти висоти трикутника — використати його площу:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

Медіана трикутника — це відрізок, який з'єднує вершину з точною серединою протилежної сторони. Отже, кожен трикутник має три медіани.

Медіана, проведена до сторони a, позначається як mₐ. Відповідно, дві інші медіани — це $m_b$ та m꜀. Довжину будь-якої медіани можна обчислити за такою формулою:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

Радіус вписаного кола (інрадіус) — це радіус найбільшого кола, яке можна ідеально вписати всередину трикутника так, щоб воно дотикалося до всіх трьох його сторін.

Радіус вписаного кола r можна знайти, знаючи площу (A) та півпериметр (s) трикутника:

$$r=\frac{A}{s}$$

Радіус описаного кола (циркумрадіус) — це радіус кола, яке ідеально проходить через усі три вершини трикутника.

Довжину радіуса описаного кола R можна вивести, застосувавши теорему синусів:

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

Теорема синусів є надзвичайно корисною для знаходження невідомих сторін або кутів. Ще однією фундаментальною геометричною теоремою, необхідною для розв'язування трикутників, є теорема косинусів:

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

Наведені вище формули містять усе необхідне для самостійного обчислення будь-якого параметра трикутника вручну. Однак, для економії часу та гарантованої точності наш безкоштовний онлайн-калькулятор трикутника використовує ці ж самі алгоритми у фоновому режимі, миттєво знаходячи всі невідомі значення за лічені секунди!