เครื่องคำนวณสูตรระยะทาง

เครื่องคิดเลขคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุดบนระนาบ 2 มิติ (2D) เพียงคุณป้อนค่าพิกัดของจุดทั้งสอง เครื่องมือนี้จะช่วยคำนวณหาคำตอบให้ทันที และเนื่องจากเส้นตรงคือระยะทางที่สั้นที่สุดระหว่างจุด 2 จุด คุณจึงสามารถใช้เครื่องมือนี้เพื่อคำนวณความยาวของส่วนของเส้นตรงได้เช่นกัน

วิธีการใช้งานเครื่องคิดเลข

เครื่องมือนี้จะคำนวณระยะห่างระหว่างจุดที่ 1 ซึ่งมีพิกัด (X₁, Y₁) และจุดที่ 2 ซึ่งมีพิกัด (X₂, Y₂)

หากต้องการคำนวณระยะห่างระหว่างจุดสองจุด ให้ป้อนค่าพิกัดลงในช่องที่กำหนด โดยมีรูปแบบการป้อนข้อมูลดังนี้:

• ใช้เครื่องหมายจุลภาค (,) เพื่อแยกค่าพิกัด X และ Y ของแต่ละจุด ตัวอย่างเช่น ป้อน “4,5” ลงในช่อง (X₁, Y₁) หมายความว่าจุดที่ 1 มีพิกัด x เป็น 4 และพิกัด y เป็น 5 หากค่าพิกัดเป็นตัวเลขทศนิยม ให้ใช้จุดทศนิยม (.) เพื่อแยกส่วนจำนวนเต็มและทศนิยม ตัวอย่างเช่น ป้อน “4.5,7” ซึ่งหมายความว่าจุดดังกล่าวมีพิกัด x เป็น 4.5 และพิกัด y เป็น 7
• ระบบรองรับเฉพาะจำนวนเต็มและจำนวนทศนิยมเท่านั้น (ไม่สามารถใช้เศษส่วนได้)
• ไม่จำเป็นต้องเว้นวรรคระหว่างพิกัด แต่คุณสามารถเว้นวรรคได้หากต้องการให้อ่านง่ายขึ้น

เมื่อป้อนพิกัดเรียบร้อยแล้ว ให้คลิกปุ่ม “คำนวณ” ระบบจะแสดงผลลัพธ์สุดท้ายพร้อมทั้งวิธีทำอย่างละเอียด

สูตรระยะทาง

บนระนาบ 2 มิติ ระยะห่าง d ระหว่างจุดที่ 1 ที่มีพิกัด (X₁, Y₁) และจุดที่ 2 ที่มีพิกัด (X₂, Y₂) สามารถคำนวณได้โดยใช้สูตรระยะทางดังต่อไปนี้:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

กล่าวอีกนัยหนึ่งคือ ระยะห่างระหว่าง 2 จุดบนพื้นที่ 2 มิติ คือรากที่สอง (Square root) ของผลรวมของความต่างของพิกัดยกกำลังสอง สูตรนี้เป็นที่รู้จักกันในชื่อ สูตรระยะทางยูคลิด (Euclidean Distance Formula) ดังนั้น เครื่องคิดเลขนี้จึงถือเป็นเครื่องคิดเลขหาระยะทางยูคลิดได้เช่นกัน

ที่มาของสูตรระยะทางยูคลิด

เพื่อทำความเข้าใจที่มาของสูตร เรามาพิจารณาจุดสองจุดบนระนาบพิกัด (X, Y) กัน:

หากต้องการหาระยะห่างระหว่างจุดที่ 1 และจุดที่ 2 ลองลากเส้นในแนวตั้งลงมาจากจุดที่ 2 และลากเส้นในแนวนอนไปทางขวาจากจุดที่ 1 เส้นทั้งสองนี้และเส้นระยะห่างระหว่างจุดจะประกอบกันเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก (Right Triangle) โดยด้านประกอบมุมฉากแนวตั้งจะมาจากระยะห่างในแกน Y ระหว่างจุดทั้งสอง คือ Y₂ – Y₁ ส่วนด้านประกอบมุมฉากแนวนอนจะมาจากระยะห่างในแกน X คือ X₂ – X₁ ด้านตรงข้ามมุมฉาก (Hypotenuse) ของสามเหลี่ยมนี้ก็คือระยะห่างระหว่างจุดสองจุดที่เราต้องการหานั่นเอง เมื่อเราทราบความยาวของด้านประกอบมุมฉากทั้งสองแล้ว เราสามารถหาความยาวของด้านตรงข้ามมุมฉากได้โดยใช้ ทฤษฎีบทพีทาโกรัส (Pythagorean Theorem):

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

ตัวอย่างการคำนวณ

ตัวอย่างที่ 1

สมมติว่าเราต้องการหาระยะห่างระหว่างจุดที่ 1 ซึ่งมีพิกัด (X₁, Y₁) = (3, 1) และจุดที่ 2 ซึ่งมีพิกัด (X₂, Y₂) = (5, 7) เมื่อแทนค่า X₁, Y₁, X₂, Y₂ ลงในสูตรระยะทางยูคลิด จะได้ดังนี้:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

ข้อสังเกตคือ การสลับลำดับของจุดจะไม่ทำให้ผลลัพธ์สุดท้ายเปลี่ยนแปลงไป เนื่องจากผลต่างของพิกัดจะถูกนำไปยกกำลังสอง ลองคำนวณอีกครั้งโดยสลับให้ (X₁, Y₁) = (5, 7) และ (X₂, Y₂) = (3, 1):

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

ตัวอย่างที่ 2

ลองมาดูตัวอย่างที่มีค่าพิกัดเป็นจำนวนติดลบกันบ้าง โดยหาระยะห่างระหว่างจุดที่ 1 ที่ (X₁, Y₁) = (-4, 2) และจุดที่ 2 ที่ (X₂, Y₂) = (6, -6) เมื่อแทนค่าลงในสูตรระยะทางยูคลิด จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

ตัวอย่างการนำไปใช้ในชีวิตจริง

ดังที่ได้แสดงให้เห็นแล้วว่า สูตรระยะทางยูคลิดนั้นมีพื้นฐานมาจากทฤษฎีบทพีทาโกรัส อย่างไรก็ตาม สูตรนี้เป็นการประยุกต์ใช้ทฤษฎีบทในกรณีที่เราทราบเพียงค่าพิกัดของจุด (แทนที่จะใช้ความยาวด้านของสามเหลี่ยมแบบในพีทาโกรัส) สูตรนี้จึงมีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อคุณต้องการคำนวณระยะทางจากพิกัดบนแผนที่หรือกราฟ นอกจากนี้ยังใช้ในการคำนวณขนาด (Magnitude) ของจำนวนเชิงซ้อนและเวกเตอร์ได้อีกด้วย

ตัวอย่างที่ 3

ลองจินตนาการถึงบันไดที่พิงอยู่กับกำแพง ในสถานการณ์นี้ พื้นจะเปรียบเสมือนแกน x บนระนาบ 2 มิติ และกำแพงคือแกน y ดังที่แสดงในภาพด้านล่าง หากบันไดพาดพิงกำแพงที่จุด (0, 2) และสัมผัสกับพื้นพอดิบพอดีที่จุด (3, 0) จงหาความยาวของบันไดนี้

วิธีทำ

ในการหาความยาวของบันไดบนระนาบ 2 มิติที่เกิดจากกำแพงและพื้น อันดับแรกเราต้องระบุพิกัดของจุดปลายทั้งสองด้านของบันไดเสียก่อน นั่นคือ X₁, Y₁, X₂, Y₂ ให้จุดที่บันไดพิงกำแพงคือ จุดที่ 1 (X₁, Y₁) และจุดที่บันไดสัมผัสพื้นคือ จุดที่ 2 (X₂, Y₂) จากโจทย์ เราทราบว่าบันไดพิงกำแพงที่พิกัด (0, 2) ดังนั้น (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

สังเกตว่าค่า X₁ = 0 ซึ่งเห็นได้ชัดเจนจากภาพด้านบน โดยที่จุด (0, 0) คือจุดเชื่อมต่อระหว่างกำแพงกับพื้นพอดี ทำให้ในความเป็นจริงค่า X และ Y ในกรณีนี้ไม่สามารถเป็นค่าติดลบได้

นอกจากนี้ เรายังทราบด้วยว่าบันไดสัมผัสพื้นตรงจุดพิกัด (3, 0) ดังนั้น (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

สังเกตว่าค่า Y₂ = 0 เนื่องจากจุดนี้อยู่บนพื้นพอดี ทีนี้เรามาเริ่มใช้สูตรระยะทางเพื่อคำนวณหาความยาวของบันไดกัน:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

คำตอบ

ความยาวของบันไดคือ 3.6

ระยะทางในปริภูมิ 3 มิติ (3D Space)

ระยะทางยูคลิดคือสิ่งที่คนทั่วไปมักเรียกสั้นๆ ว่า “ระยะทาง” เช่น เมื่อเราพูดว่าวัตถุหนึ่งอยู่ห่างจากเรา 5 เมตร นั่นหมายถึงเรากำลังพูดถึงระยะทางยูคลิดอยู่นั่นเอง นอกจากนี้ สูตรระยะทางที่อธิบายไว้ข้างต้น ยังสามารถนำไปประยุกต์ใช้ในพื้นที่ 3 มิติ (หรือมากกว่านั้น) ได้อย่างง่ายดาย

ในปริภูมิ 3 มิติ (3D Space) ระยะห่างระหว่างจุดที่ 1 ซึ่งมีพิกัด (X₁, Y₁, Z₁) และจุดที่ 2 ซึ่งมีพิกัด (X₂, Y₂, Z₂) สามารถคำนวณได้จากรากที่สอง (Square root) ของผลรวมของผลต่างพิกัดแต่ละแกนที่นำมายกกำลังสอง ดังนี้:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$