Калькулятор шансів

Роблячи прогнози, люди часто плутають терміни «ймовірність» та «шанси», використовуючи їх як синоніми. Однак з математичної точки зору це не тотожні поняття. Розуміння різниці між ймовірністю та шансами має вирішальне значення, особливо в таких сферах, як статистика, фінансова аналітика та спортивні ставки. Розберімо їхні точні визначення, ключові відмінності та навчімося правильно їх розраховувати.

Визначення ймовірності

Ймовірність події — це математична міра вірогідності того, що конкретна подія дійсно відбудеться. Простіше кажучи, це відношення кількості сприятливих для вас результатів до загальної кількості всіх можливих результатів.

Розгляньмо практичний приклад, щоб краще це зрозуміти.

Приклад ймовірності

У стандартній колоді з 52 карт є 12 фігурних карт (карт із картинками): король, дама та валет у кожній із чотирьох мастей.

Припустімо, ваш друг тасує колоду і просить вас витягнути одну карту навмання. Ви вірите у свою удачу, тому робите ставку: якщо ви не витягнете фігурну карту, то платите йому 1 долар. Якщо витягнете — він платить вам 5 доларів.

Яка ваша ймовірність виграшу?

Ваша ймовірність виграшу — це шанс витягнути фігурну карту з-поміж усіх можливих варіантів. Оскільки в колоді 52 карти, загалом існує 52 можливих результати. Бажаною (сприятливою) для вас подією є витягування саме фігурної карти. Існує 12 потенційних результатів для цієї події, оскільки перетасована колода містить рівно 12 фігурних карт.

Щоб обчислити ймовірність, ви визначаєте частку бажаних подій відносно загальної кількості можливих результатів. Це дає вам 12/52. Саме за таким принципом і розраховується ймовірність виграшу.

Визначення шансів

Шанси вимірюють вірогідність події шляхом порівняння кількості сприятливих результатів із кількістю несприятливих. Іншими словами, шанси відображають пропорцію між успіхом та невдачею в певній ситуації.

Повернімося до попереднього прикладу з картковою грою, щоб побачити різницю на практиці.

Приклад шансів

У нашому картковому парі вашим сприятливим результатам відповідає витягування фігурної карти. Відповідно, ми маємо 12 сприятливих результатів. Кількість несприятливих результатів обчислюється шляхом віднімання сприятливих результатів від загальної кількості всіх можливих варіантів. Отже, віднімаємо 12 від 52, оскільки всього є 52 карти.

Кількість несприятливих результатів = Загальна кількість результатів - Кількість сприятливих результатів = 52 - 12 = 40

Тепер ви можете використати пропорцію, щоб виразити кількість бажаних результатів відносно кількості небажаних. Саме це співвідношення ми і називаємо «шансами».

Обчислення ймовірності

Ймовірність обчислюється шляхом ділення кількості бажаних результатів на загальну кількість можливих результатів.

Ймовірність = Кількість бажаних результатів / Загальна кількість результатів

Тепер розрахуймо ймовірність виграшу для нашого прикладу.

Ймовірність виграшу = Кількість фігурних карт / Загальна кількість карт у колоді = 12 / 52 = 3 / 13

Далі обчислимо ймовірність програшу. Це еквівалентно оцінці ймовірності події, що є доповняльною (протилежною) до нашої бажаної події.

Якщо бажана подія — A, то доповняльна подія позначається як Aᶜ або A¹. Ймовірність доповняльної події обчислюється шляхом віднімання ймовірності бажаної події від 1.

P(Aᶜ) = 1 - P(A)

Розрахуймо ймовірність програшу:

Ми вже визначили, що ймовірність виграшу становить 3 / 13. Отже:

Ймовірність програшу = 1 - Ймовірність виграшу = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Обчислення шансів

Розрахунок шансів полягає у знаходженні найменшого відношення між кількістю бажаних і небажаних результатів. Це також можна зробити, обчисливши співвідношення між ймовірністю бажаного результату та ймовірністю небажаної події.

Існує два основних типи обчислення шансів:

• шанси на користь,
• шанси проти.

Шанси на користь

Шанси на користь (odds in favor) відображають найменше співвідношення кількості результатів, за яких бажана подія відбувається, до кількості результатів, за яких вона відбутися не може. Припустімо, наша бажана подія — A. Шанси на користь події A обчислюються так:

За кількістю результатів:

Шанси на користь події A = n(A) : n(Aᶜ)

За ймовірністю:

Шанси на користь події A = P(A) : P(Aᶜ)

Обчислімо шанси на виграш у нашому прикладі з колодою карт.

1. За кількістю результатів

Бажаною подією є витягування фігурної карти.

Кількість бажаних результатів = 12

Кількість небажаних результатів = Загальна кількість результатів - Кількість бажаних результатів = 52 - 12 = 40

Отже,

Шанси на користь = Кількість бажаних результатів / Кількість небажаних результатів = 12 / 40 = 3 / 10

2. За ймовірністю

Бажаною подією є витягування фігурної карти.

Ймовірність виграшу = Кількість бажаних результатів / Загальна кількість результатів = 12 / 52 = 3 / 13

Ймовірність програшу = 1 - Ймовірність виграшу = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Шанси на користь = Ймовірність виграшу / Ймовірність програшу = 3 / 13 : 10 / 13 = 3 : 10

Шанси проти

Шанси проти (odds against) відображають найменше співвідношення кількості результатів, за яких бажана подія відбутися не може, до кількості результатів, за яких вона відбувається. Якщо припустити, що бажана подія — A, шанси проти події A обчислюються так:

За кількістю результатів:

Шанси проти події A = n(Aᶜ) : n(A)

За ймовірністю:

Шанси проти події A = P(Aᶜ) : P(A)

Обчислімо шанси проти виграшу для нашого прикладу.

1. За кількістю результатів

Бажаною подією є витягування фігурної карти.

Кількість бажаних результатів = 12

Кількість небажаних результатів = Загальна кількість результатів - Кількість бажаних результатів = 52 - 12 = 40

Отже,

Шанси проти виграшу = Кількість небажаних результатів : Кількість бажаних результатів = 40 : 12 = 10 : 3

2. За ймовірністю

Бажаною подією є витягування фігурної карти.

Ймовірність виграшу = Кількість бажаних результатів / Загальна кількість результатів = 12 / 52 = 3 / 13

Ймовірність програшу = 1 - Ймовірність виграшу = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Шанси проти виграшу = Ймовірність програшу : Ймовірність виграшу = 10 / 13 : 3 / 13 = 10 : 3

Форми запису

Вираження ймовірності

Ймовірність можна легко подати у вигляді десяткового дробу, відсотка, звичайного дробу або пропорції.

У попередньому прикладі ми обчислили ймовірність виграшу у вигляді дробу:

• Ймовірність виграшу = Кількість бажаних результатів / Загальна кількість результатів = 12 / 52 = 3 / 13

Ми можемо виразити цю ймовірність у вигляді десяткового дробу:

• Ймовірність виграшу = Кількість бажаних результатів / Загальна кількість результатів = 12 / 52 = 3 / 13 = 0.2308

Також ймовірність виграшу чудово конвертується у відсотки:

• Ймовірність виграшу = (Кількість бажаних результатів / Загальна кількість результатів) × 100% = (12 / 52) × 100% = (3 / 13) × 100% = 23.08%

Для представлення ймовірності можна використати співвідношення:

• Ймовірність виграшу = Кількість бажаних результатів : Загальна кількість результатів = 12 : 52 = 3 : 13

Підсумовуючи:

• Ймовірність виграшу = 3 / 13 = 0.2308 = 23.08%

Вираження шансів

Шанси найчастіше виражаються як співвідношення, скорочене до найменших цілих значень.

Згідно з нашим прикладом:

• Шанси на користь = Кількість бажаних результатів : Кількість небажаних результатів = 12 : 40 = 3 : 10

• Шанси проти = Кількість небажаних результатів : Кількість бажаних результатів = 40 : 12 = 10 : 3

Діапазон значень

Діапазон ймовірності

Коли подія є абсолютно достовірною (гарантованою), її ймовірність дорівнює 1. Коли подія неможлива і за жодних умов не відбудеться, її ймовірність дорівнює 0. Як наслідок, математична ймовірність будь-якої заданої події завжди лежить строго в межах від 0 до 1. Якщо ймовірність виражена у відсотках, цей діапазон становитиме від 0% до 100%.

Діапазон шансів

Шанси на користь прагнуть до нескінченності, коли подія є достовірною. І навпаки, якщо подія ніколи не відбудеться, шанси дорівнюють нулю. Тому математично шанси представлені числом від 0 до нескінченності.

Як у нашому прикладі:

• Шанси на користь = 3 : 10 = 0.3

• Шанси проти = 10 : 3 = 3.33

Конвертація шансів у ймовірність

Як ми вже з'ясували, шанси відображають співвідношення між позитивними та негативними результатами.

Однак шанси не є прямим показником вірогідності настання події у відсотках. Тому часто виникає потреба перевести шанси у ймовірність, щоб оцінити реальний шанс на успіх. Ви можете легко виконати таку конвертацію за допомогою наступної формули.

Якщо сприятливою подією є A, ми знаємо, що:

n(S) = n(A) + n(Aᶜ)

Отже,

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

Приклад розрахунку: як перевести шанси у ймовірність

У нашому прикладі:

• Шанси на користь = 3 : 10

Тоді,

• Ймовірність виграшу = Кількість бажаних результатів / (Кількість бажаних результатів + Кількість небажаних результатів) = 3 / (3 + 10) = 3 / 13

Аналогічно:

• Шанси проти = 10 : 3

Тоді,

• Ймовірність програшу = Кількість небажаних результатів / (Кількість небажаних результатів + Кількість бажаних результатів) = 10 / (10 + 3) = 10 / 13

Переведення шансів у ймовірність — або зведення шансів до їхнього найпростішого співвідношення — не обов'язково робити вручну. Спеціальний калькулятор ймовірності та шансів допоможе вам миттєво конвертувати шанси на виграш у ймовірність успіху та скоротити їх до найпростіших значень. Інструмент також автоматично обробить шанси проти виграшу і легко переведе їх у ймовірність програшу.

Щоб отримати відповіді для нашого прикладу за допомогою калькулятора, просто введіть значення 12 у поле A та 40 у поле B, виберіть опцію «Odds are for winning» (Шанси на виграш) і натисніть «Calculate» (Обчислити). Ви отримаєте абсолютно ідентичні результати, якщо введете 40 для A та 12 для B і виберете «The odds are against winning» (Шанси проти виграшу). Точні математичні розрахунки будуть готові за частку секунди.

Практичне значення шансів

Розуміння та правильний розрахунок шансів мають важливе практичне застосування в багатьох галузях реального світу.

У наукових дослідженнях, зокрема в епідеміології, шанси використовуються для аналізу поширення захворювань. Щоб зрозуміти динаміку вірусу та розробити ефективні заходи для системи охорони здоров'я, вчені застосовують відношення шансів (odds ratio) для порівняння частки населення, яка захворіла, з часткою тих, хто залишився здоровим.

Фінансові аналітики та інвестори покладаються на шанси при оцінці співвідношення ризику та потенційного прибутку. Це допомагає їм визначити, чи несе певний актив надмірний ризик, чи, навпаки, пропонує суттєві перспективи, перш ніж ухвалювати важливі інвестиційні рішення.

Спортивні ставки (беттінг) та азартні ігри — ще одна величезна індустрія, де розрахунок шансів має ключове значення. Однак важливо розуміти: букмекерські коефіцієнти (які по суті є шансами) майже ніколи не відображають ідеальну математичну ймовірність події. Букмекери завжди закладають у ці коефіцієнти свою маржу прибутку («комісію»). Саме тому підсумкова виплата гравцеві завжди буде трохи нижчою, ніж якби коефіцієнти ставки ідеально відповідали справжній імовірності.