Kikokotoo cha Odds

Wakati wa kufanya utabiri, watu mara nyingi hutumia maneno "uwezekano" (probability) na "odds" kwa kubadilishana. Hata hivyo, uwezekano na odds si visawe. Kuelewa tofauti kati ya uwezekano na odds ni muhimu, hasa katika nyanja kama vile takwimu, fedha, na kubeti michezo (sports betting). Hebu tuchanganue fasili na tofauti kuu.

Fasili ya uwezekano

Uwezekano wa tukio huonyesha uwezekano wa kihisabati kwamba tukio hilo litatokea. Kwa lugha rahisi, ni sehemu ya matokeo yote yanayowezekana ambayo yanaleta tukio lako unalotaka.

Hebu tutumie mfano ili kuelewa hili vizuri.

Mfano wa uwezekano

Kuna kadi 12 zenye picha (face cards) katika bunda la kawaida la kadi 52: Mfalme (King), Malkia (Queen), na Shujaa (Jack) katika kila suti nne.

Chukulia kwamba rafiki yako anachanganya kadi na kukuomba uchague kadi moja bila kuangalia. Unaamini unaweza kushinda odds, hivyo unaweka dau: ikiwa hutachagua kadi yenye picha, utamlipa $1. Ikiwa utachagua, atakupa $5.

Uwezekano wako wa kushinda ni upi?

Uwezekano wako wa kushinda ni nafasi ya kupata kadi yenye picha kati ya matokeo yote yanayowezekana. Kwa kuwa kuna kadi 52 kwenye bunda, kuna jumla ya matokeo 52 yanayowezekana. Tukio lako unalotaka ni kuchagua kadi yenye picha. Kuna matokeo 12 yanayowezekana kwa tukio unalotaka kwa sababu bunda lililochanganywa lina kadi 12 zenye picha.

Ili kukokotoa uwezekano, unaeleza jumla ya idadi ya matukio unayotaka kuhusiana na jumla ya idadi ya matokeo yote yanayowezekana. Hiyo inakupa 12/52. Hivi ndivyo hasa uwezekano wa kushinda unavyokokotolewa.

Fasili ya odds

Odds hupima uwezekano wa tukio kwa kulinganisha idadi ya matokeo yanayotakikana na idadi ya matokeo yasiyotakikana. Kwa maneno mengine, odds inawakilisha uwiano kati ya matokeo chanya na matokeo yasiyopendelewa katika hali maalum.

Hebu tutumie mfano uliopita wa mchezo wa kadi ili kuelewa hili vizuri.

Mfano wa odds

Katika mfano hapo juu, matokeo yako unayopendelea ni kuchagua kadi yenye picha. Kwa sababu hiyo, kuna matokeo 12 yanayopendelewa. Idadi ya matokeo yasiyopendelewa inakokotolewa kwa kutoa jumla ya idadi ya matokeo yanayopendelewa kutoka kwenye jumla ya idadi ya matokeo yote yanayowezekana. Lazima utoe 12 kutoka 52 kwa sababu kuna jumla ya matokeo 52.

Idadi ya matokeo yasiyopendelewa = Jumla ya idadi ya matokeo - Idadi ya matokeo yanayopendelewa = 52 - 12 = 40

Sasa unaweza kutumia uwiano kueleza jumla ya idadi ya matokeo unayotaka kulingana na jumla ya idadi ya matokeo usiyotaka. Uwiano huu ndio tunaita "odds."

Ukokotoaji wa uwezekano

Uwezekano hukokotolewa kwa kugawanya idadi ya matokeo unayotaka kwa jumla ya idadi ya matokeo yanayowezekana.

Uwezekano = Idadi ya matokeo unayotaka / Jumla ya idadi ya matokeo

Hebu sasa tukokotoe uwezekano wa kushinda kwa mfano uliopita.

Uwezekano wa kushinda = Idadi ya kadi zenye picha / Jumla ya idadi ya kadi kwenye bunda = 12 / 52 = 3 / 13

Kisha, tutakokotoa uwezekano wa kushindwa. Hii ni sawa na kukadiria uwezekano wa kijalizo (complement) cha tukio unalolitaka.

Ikiwa tukio unalolitaka ni A, tukio la kijalizo linatajwa kama Aᶜ au A¹. Uwezekano wa tukio la kijalizo unakokotolewa kwa kutoa uwezekano wa tukio unalolitaka kutoka kwenye 1.

P(Aᶜ) = 1 - P(A)

Hebu tukokotoe uwezekano wa kushindwa kwa mfano wetu uliopita.

Tayari tulikokotoa uwezekano wa kushinda kama 3 / 13. Hivyo basi:

Uwezekano wa kushindwa = 1 - Uwezekano wa kushinda = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Ukokotoaji wa odds

Odds hukokotolewa kwa kutafuta uwiano mdogo zaidi kati ya idadi ya matokeo unayotaka na idadi ya matokeo usiyotaka. Hili pia linaweza kubainishwa kwa kukokotoa uwiano kati ya uwezekano wa matokeo unayotaka na uwezekano wa tukio usilolitaka.

Kuna aina mbili kuu za ukokotoaji wa odds:

• odds za upendeleo (odds in favor),
• odds za kupinga (odds against).

Odds za upendeleo

Odds za upendeleo zinawakilisha uwiano mdogo zaidi wa idadi ya matokeo ambapo tukio unalolitaka linatokea ukilinganisha na idadi ya matokeo ambapo tukio unalolitaka haliwezi kutokea. Tuseme tukio letu tunalolitaka ni A. Odds za kuunga mkono tukio A zinakokotolewa kama ifuatavyo:

Kulingana na idadi ya matokeo:

Odds zinazounga mkono tukio A = n(A) : n(Aᶜ)

Kulingana na uwezekano:

Odds zinazounga mkono tukio A = P(A) : P(Aᶜ)

Hebu tukokotoe odds za upendeleo wa kushinda katika mfano wa kadi uliotolewa hapo juu.

1. Kulingana na idadi ya matokeo

Katika mfano uliopita, tukio lililotarajiwa lilikuwa kuchagua kadi yenye picha.

Idadi ya matokeo unayotaka = 12

Idadi ya matokeo usiyotaka = Jumla ya idadi ya matokeo - Idadi ya matokeo unayotaka = 52 - 12 = 40

Hivyo basi,

Odds za upendeleo = Idadi ya matokeo unayotaka / Idadi ya matokeo usiyotaka = 12 / 40 = 3 / 10

2. Kulingana na uwezekano

Tukio linalotarajiwa ni kuchagua kadi yenye picha.

Uwezekano wa kushinda = Idadi ya matokeo unayotaka / Jumla ya idadi ya matokeo = 12 / 52 = 3 / 13

Uwezekano wa kushindwa = 1 - Uwezekano wa kushinda = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Odds za upendeleo = Uwezekano wa kushinda / Uwezekano wa kushindwa = 3 / 13 : 10 / 13 = 3 : 10

Odds za kupinga

Odds za kupinga zinawakilisha uwiano mdogo zaidi wa idadi ya matokeo ambapo tukio unalolitaka haliwezi kutokea ukilinganisha na idadi ya matokeo ambapo tukio unalolitaka linaweza kutokea. Kwa kudhani tukio unalolitaka ni A, odds zinazopinga tukio A zinakokotolewa kama ifuatavyo:

Kulingana na idadi ya matokeo:

Odds zinazopinga tukio A = n(Aᶜ) : n(A)

Kulingana na uwezekano:

Odds zinazopinga tukio A = P(Aᶜ) : P(A)

Hebu tukokotoe odds zinazopinga ushindi kwa mfano uliotolewa hapo juu.

1. Kulingana na idadi ya matokeo

Tukio linalotarajiwa ni kuchagua kadi yenye picha.

Idadi ya matokeo unayotaka = 12

Idadi ya matokeo usiyotaka = Jumla ya idadi ya matokeo - Idadi ya matokeo unayotaka = 52 - 12 = 40

Hivyo basi,

Odds zinazopinga ushindi = Idadi ya matokeo usiyotaka : Idadi ya matokeo unayotaka = 40 : 12 = 10 : 3

2. Kulingana na uwezekano

Tukio linalotarajiwa ni kuchagua kadi yenye picha.

Uwezekano wa kushinda = Idadi ya matokeo unayotaka / Jumla ya idadi ya matokeo = 12 / 52 = 3 / 13

Uwezekano wa kushindwa = 1 - Uwezekano wa kushinda = 1 - 3 / 13 = 10 / 13

Odds zinazopinga ushindi = Uwezekano wa kushindwa : Uwezekano wa kushinda = 10 / 13 : 3 / 13 = 10 : 3

Uwasilishaji

Uwasilishaji wa uwezekano

Uwezekano unaweza kuwasilishwa kwa urahisi kama desimali, asilimia, sehemu (fraction), au uwiano (ratio).

Katika mfano uliopita, tulikokotoa uwezekano wa kushinda kama sehemu:

• Uwezekano wa kushinda = Idadi ya matokeo unayotaka / Jumla ya idadi ya matokeo = 12 / 52 = 3 / 13

Tunaweza kuwasilisha uwezekano wa kushinda kama desimali:

• Uwezekano wa kushinda = Idadi ya matokeo unayotaka / Jumla ya idadi ya matokeo = 12 / 52 = 3 / 13 = 0.2308

Uwezekano wa kushinda unaweza pia kuwasilishwa kama asilimia:

• Uwezekano wa kushinda = (Idadi ya matokeo unayotaka / Jumla ya idadi ya matokeo) × 100% = (12 / 52) × 100% = (3 / 13) × 100% = 23.08%

Uwiano unaweza kutumika kuwakilisha uwezekano wa kushinda:

• Uwezekano wa kushinda = Idadi ya matokeo unayotaka : Jumla ya idadi ya matokeo = 12 : 52 = 3 : 13

Kwa muhtasari:

• Uwezekano wa kushinda = 3 / 13 = 0.2308 = 23.08%

Uwasilishaji wa odds

Odds kawaida huwasilishwa kama uwiano uliopunguzwa hadi kiwango chake cha chini kabisa.

Kulingana na mfano wetu:

• Odds za upendeleo = Idadi ya matokeo unayotaka : Idadi ya matokeo usiyotaka = 12 : 40 = 3 : 10

• Odds za kupinga = Idadi ya matokeo usiyotaka : Idadi ya matokeo unayotaka = 40 : 12 = 10 : 3

Upeo (Range)

Upeo wa uwezekano

Wakati tukio lina uhakika kabisa kutokea, uwezekano wake ni 1. Wakati tukio haliwezekani na halitatokea kamwe, uwezekano wake ni 0. Kutokana na hilo, uwezekano wa tukio lolote mara zote huwa hasa kati ya 0 na 1. Ikiwa uwezekano unawasilishwa kama asilimia, utakuwa katika upeo wa kati ya 0% na 100%.

Upeo wa odds

Odds za upendeleo hazina kikomo (infinite) wakati tukio lina uhakika wa kutokea. Kinyume chake, ikiwa tukio halitatokea kamwe, odds ni sifuri. Kwa hivyo, odds huwasilishwa kihisabati kama nambari kati ya 0 na ukomo (infinity).

Kama ilivyo kwa mfano wetu:

• Odds za upendeleo = 3 : 10 = 0.3

• Odds za kupinga = 10 : 3 = 3.33

Kubadili odds kuwa uwezekano

Kama ulivyojifunza, odds zinawakilisha uwiano kati ya matokeo chanya na matokeo yasiyopendelewa katika hali maalum.

Hata hivyo, odds sio mwakilisho wa moja kwa moja wa jinsi tukio linavyoweza kutokea. Hivyo, unapaswa kubadili odds hizo kuwa uwezekano ili kuelewa uhalisi wa tukio kutokea. Unaweza kubadili kwa urahisi odds kuwa uwezekano kwa kutumia mbinu ifuatayo.

Ikiwa tukio linalopendelewa ni A, unajua kwamba:

n(S) = n(A) + n(Aᶜ)

Hivyo basi,

$$P\left(A\right)=\frac{n\left(A\right)}{n\left(S\right)}=\frac{n\left(A\right)}{n\left(A\right)+n(A^c)}$$

Mfano wa kukokotoa ubadilishaji wa odds kuwa uwezekano

Katika mfano wetu:

• Odds za upendeleo = 3 : 10

Hivyo,

• Uwezekano wa kushinda = Idadi ya matokeo unayotaka / (Idadi ya matokeo unayotaka + Idadi ya matokeo usiyotaka) = 3 / (3 + 10) = 3 / 13

Vilevile:

• Odds za kupinga = 10 : 3

Hivyo,

• Uwezekano wa kushindwa = Idadi ya matokeo usiyotaka / (Idadi ya matokeo usiyotaka + Idadi ya matokeo unayotaka) = 10 / (10 + 3) = 10 / 13

Kubadili odds kuwa uwezekano—au kupunguza odds kuwa uwiano wake wa chini kabisa—sio lazima iwe kazi ngumu ya kufanya kwa mkono. Kikokotoo cha uwezekano wa odds (odds probability calculator) kinaweza kukusaidia kwa urahisi kubadili odds za ushindi kuwa uwezekano wa kushinda na kupunguza odds za ushindi katika nambari rahisi. Pia kitapunguza odds zinazopinga ushindi kwa uwiano wake wa chini kabisa na kubadili odds hizo kuwa uwezekano wa kushindwa bila shida yoyote.

Ili kukokotoa majibu ya mfano uliopita kwa kutumia kikokotoo cha uwezekano wa odds, weka tu 12 kwa A na 40 kwa B, chagua "Odds za kushinda (Odds are for winning)," kisha bonyeza kokotoa (calculate). Utapata majibu yaleyale ikiwa utaweka 40 kwa A na 12 kwa B na kuchagua "Odds za kupinga ushindi (The odds are against winning)." Majibu sahihi yatakuwa tayari ndani ya sekunde.

Umuhimu wa odds

Odds zina matumizi muhimu sana katika ulimwengu halisi katika tasnia na nyanja mbalimbali.

Katika sekta ya utafiti wa kisayansi, hasa kuhusu uambukizaji wa magonjwa, odds hutumika mara kwa mara. Ili kuelewa jinsi ugonjwa unavyosambaa na kuandaa mikakati madhubuti ya afya ya umma, wanasayansi hutumia odds kulinganisha uwiano wa watu wanaopata ugonjwa na uwiano wa wale wasiopata.

Wataalamu wa fedha hutegemea odds kutathmini vipimo vya hatari dhidi ya faida (risk-to-reward metrics), kuwasaidia kubaini iwapo rasilimali fulani ina hatari kubwa au inatoa faida kubwa kabla ya kufanya maamuzi muhimu ya uwekezaji.

Kubeti kwenye michezo na kamari ni sekta nyingine kubwa zinazotegemea odds kwa kiasi kikubwa. Hata hivyo, ni muhimu kutambua kwamba odds za kubeti zinazoonyeshwa mara chache sana huwakilisha uwezekano halisi wa kihisabati wa tukio kutokea. Watoa huduma za kubeti (bookmakers) daima hujumuisha kiwango cha faida ("vig" au "juice") kwenye odds hizi. Kwa sababu hii, malipo ya mwisho kwa mbashiri aliyeshinda siku zote huwa chini kidogo kuliko yale ambayo angepata ikiwa odds zingeakisi uwezekano halisi kabisa.