حاسبة المثلث

حاسبة المثلث

حاسبة المثلث هي أداة مجانية عبر الإنترنت تتيح لك حساب جميع قياسات المثلث بسرعة ودقة بناءً على ثلاث قيم معروفة. بمجرد إدخال أطوال أضلاع المثلث وزواياه، تقوم الآلة الحاسبة الذكية بإيجاد القياسات التالية:

• أطوال الأضلاع المجهولة،
• زوايا المثلث المجهولة،
• مساحة المثلث،
• محيط المثلث،
• نصف المحيط،
• الارتفاعات الساقطة على جميع أضلاع المثلث،
• القطع المتوسطة (المتوسطات) لجميع أضلاع المثلث،
• نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث،
• نصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث.

توفر الآلة الحاسبة أيضاً إحداثيات رؤوس المثلث، والنقطة المركزية (المركز الهندسي)، ومركز كل من الدائرة الداخلية والخارجية للمثلث، بافتراض أن إحداثيات الرأس A هي [0, 0].

تعليمات الاستخدام

لاستخدام حاسبة المثلث هذه، أدخل أي ثلاث قيم في حقول الإدخال المخصصة. يمكنك إدخال قيم لأي زوايا أو أطوال أضلاع. يُرجى ملاحظة أنه يجب أن تمثل واحدة على الأقل من هذه القيم طول ضلع؛ وإلا، سيكون للمثلث عدد لا نهائي من الحلول الممكنة.

بعد إدخال القيم، حدد وحدة قياس زوايا المثلث. يمكنك الاختيار بين الدرجات (Degrees) أو الراديان (Radians). عند اختيار الراديان، استخدم "pi" لتمثيل π. على سبيل المثال، إذا كانت قيمة الزاوية هي \$\frac{π}{3}\$، فأدخل "pi/3". بعد إدخال القيم المعروفة، اضغط على زر "احسب". ستعرض الآلة الحاسبة فوراً جميع القيم المجهولة المذكورة في القائمة أعلاه، بالإضافة إلى رسم تخطيطي للمثلث لمساعدتك على تصوره بشكل أفضل.

بعد ظهور النتائج، يمكنك توسيع حقل "إظهار خطوات الحل" للتعرف على الخوارزميات، ونظريات الحل، والمعادلات الرياضية المستخدمة للوصول إلى النتيجة.

لمسح جميع المدخلات والبدء من جديد، اضغط على زر "مسح".

شروط قيم الإدخال

يجب أن تكون إحدى القيم الثلاث المعروفة على الأقل طول ضلع.

عند إدخال زاويتين وطول ضلع واحد، لاحظ أن مجموع قيمتي الزاويتين يجب أن يكون أقل من 180° أو π.

عند إدخال ثلاثة أطوال أضلاع، تذكر متباينة المثلث: مجموع طولي أي ضلعين يجب أن يكون دائماً أكبر من طول الضلع الثالث المتبقي.

مثال

تخيل أنك تنتقل إلى منزل جديد وتريد استعارة شاحنة من صديقك. ستحتاج إلى تحميل وتفريغ الشاحنة، لكنها لا تحتوي على منحدر مدمج. لديك منحدر محمول، ولكن يجب عليك التأكد من أن أبعاده تتناسب مع ارتفاع الشاحنة. المنحدر الخاص بك غير قابل للتعديل، وقد قمت بقياس طول ضلعيه ووجدت أنهما 1 م و 0.8 م، والزاوية المقابلة للضلع الذي طوله 1 م تساوي 85 درجة (انظر الصورة). أنت تعلم أنه يمكنك ضبط ارتفاع الشاحنة ليتراوح من 0.5 متر إلى 1 متر. هل سيناسبك هذا المنحدر؟

المعطيات

• الضلع b = 1 ؛
• الضلع c = 0.8 ؛
• الزاوية B = 85 درجة.

الحل

لتحديد ما إذا كان المنحدر الخاص بك يناسب الشاحنة أم لا، تحتاج إلى حل المثلث أعلاه وتقدير ما إذا كان طول الضلع المجهول a يناسب النطاق المحدد لارتفاع الشاحنة: 0.5 < a < 1.

بإدخال القيم الموضحة أعلاه في حاسبة المثلث، ستحصل على الإجابة. في هذه المهمة العملية، سنحتاج فقط إلى معرفة طول الضلع المجهول a.

على الرغم من أن حاسبة المثلث تستخرج جميع القيم، إلا أننا سنكتفي بعرض القيم التي تهمنا في هذا المثال العملي:

النتيجة

• الضلع a=0.67376

• الضلع b=1

• الضلع c=0.8

• الزاوية \$\angle\ A\ =\ 42.16° = 42°9'35" = 0.73582 rad\$

• الزاوية \$\angle\ B\ =\ 85° = 1.48353 rad\$

• الزاوية \$\angle\ C\ =\ 52.84° = 52°50'25" = 0.92224 rad\$

سيبدو المنحدر بهذا الشكل:

نرى من النتائج أن a≈0.674، ونعلم مسبقاً أنه يمكن تعديل ارتفاع الشاحنة ضمن النطاق 0.5 < a < 1. هذا يعني أن ارتفاع المنحدر يتناسب تماماً مع الارتفاع القابل للتعديل للشاحنة، وبالتالي يمكنك استعارة الشاحنة من صديقك بدلاً من تكبد تكاليف استئجار واحدة جديدة!

المثلث: التعريفات والمعادلات المهمة

في علم الهندسة، المثلث هو شكل هندسي ثنائي الأبعاد يتكون من تقاطع ثلاثة خطوط مستقيمة غير متوازية. يمكن أيضاً وصف المثلث بأنه مضلع يتكون من ثلاثة رؤوس وثلاثة أضلاع. تُعرف حواف المثلث عادةً باسم "الأضلاع".

شروط وجود المثلث

هناك شرطان أساسيان يحددان إمكانية رسم أو وجود أي مثلث؛ أحدهما يتعلق بالأضلاع، والآخر يتعلق بالزوايا.

الشرط الخاص بالأضلاع يعتمد على "متباينة المثلث". وتنص هذه القاعدة على أن مجموع طولي أي ضلعين في المثلث يجب أن يكون أكبر من أو يساوي طول الضلع الثالث المتبقي. إذا كان مجموع طولي الضلعين يساوي تماماً طول الضلع الثالث، فإن المثلث يُسمى "مثلثاً متدهوراً".

المثلث المتدهور هو حالة تقع فيها الرؤوس الثلاثة على نفس الخط المستقيم. إنها حالة هندسية خاصة جداً، ولا تتم مناقشتها عادةً في الهندسة الأساسية، ولذلك لا يتم التطرق إليها في حساباتنا هنا.

أما الشرط الخاص بالزوايا، فينص على أن مجموع الزوايا الداخلية الثلاث لأي مثلث يجب أن يساوي دائماً 180 درجة أو π راديان.

قياسات المثلث

دعونا نستعرض أهم قياسات المثلث ونتعرف على المعادلات والصيغ الرياضية المستخدمة لحساب قيمها.

محيط المثلث هو إجمالي مجموع أطوال أضلاعه الثلاثة، ويمكن إيجاده باستخدام المعادلة التالية:

$$p=a+b+c$$

نصف محيط المثلث هو نصف القيمة الإجمالية لمحيط المثلث:

$$s=\frac{p}{2}=\frac{a+b+c}{2}$$

مساحة المثلث هي خاصية تعبر عن مقدار المساحة التي يشغلها المثلث في المستوى ثنائي الأبعاد. إذا كان طولا ضلعين في المثلث والزاوية المحصورة بينهما معروفين، فيمكن حساب مساحة المثلث كما يلي:

$$A=\frac{1}{2}a× b×\sin{C}$$

ارتفاع المثلث هو الخط العمودي الساقط من أحد رؤوس المثلث إلى الضلع المقابل (أو امتداده). وبما أن المثلث يحتوي على ثلاثة أضلاع وثلاثة رؤوس، فإنه يمتلك أيضاً ثلاثة ارتفاعات متعامدة. عادةً ما يُرمز للارتفاع الساقط على الضلع a بالرمز hₐ. وبالمثل، يُشار إلى الارتفاعين الآخرين بالرمزين \$h_b\$ و h꜀. أسهل طريقة لإيجاد ارتفاع المثلث هي من خلال قانون مساحة المثلث:

$$A=\frac{1}{2}× a× h_a=\frac{1}{2}× b× h_b=\frac{1}{2}× c× h_c$$

$$h_a=\frac{2A}{a}, h_b=\frac{2A}{b}, h_c=\frac{2A}{c}$$

القطعة المتوسطة للمثلث (المتوسط) هي قطعة مستقيمة تصل بين أحد رؤوس المثلث ومنتصف الضلع المقابل لهذا الرأس. أي مثلث له ثلاث قطع متوسطة.

عادةً ما يُشار إلى القطعة المتوسطة الساقطة على الضلع a بالرمز mₐ. وبالمثل، يُشار إلى القطعتين المتوسطتين الأخريين بالرمزين \$m_b\$ و m꜀. يمكننا حساب أطوال القطع المتوسطة باستخدام الصيغة التالية:

$$m_a=\frac{1}{2}\sqrt{2b²+2c^2-a^2}$$

نصف قطر الدائرة الداخلية للمثلث هو نصف قطر الدائرة المرسومة بالكامل داخل المثلث بحيث تمس أضلاعه الثلاثة من الداخل.

يمكن إيجاد طول نصف قطر الدائرة الداخلية r باستخدام هذه المعادلة:

$$r=\frac{A}{s}$$

نصف قطر الدائرة الخارجية للمثلث هو نصف قطر الدائرة التي تحيط بالمثلث وتمر برؤوسه الثلاثة.

يمكننا حساب طول نصف قطر الدائرة الخارجية R باستخدام قانون الجيب (قاعدة الجيب):

$$2R=\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}$$

يُعد قاعدة الجيب (قانون الجيب) مفيداً جداً أيضاً في إيجاد القيم المجهولة لأطوال أضلاع أو زوايا المثلث. وهناك قاعدة أخرى هامة وأساسية وهي قاعدة جيب التمام (قانون جيب التمام):

$$a=\sqrt{b²+c^2-2bc\cos{A}}$$

$$b=\sqrt{a^2+c^2-2ac\cos{B}}$$

$$c=\sqrt{a^2+b²-2ab\cos{C}}$$

تتيح لك المعادلات المذكورة أعلاه حساب جميع قياسات وخصائص المثلث. وتعتمد حاسبة المثلث المجانية الخاصة بنا على هذه الصيغ الرياضية بدقة وسرعة لاستخراج كافة القيم المجهولة.