Kubikwurzel-Rechner

Mit diesem Online-Kubikwurzelrechner können Sie ganz einfach alle Kubikwurzeln einer beliebigen Zahl berechnen. Das Tool ermittelt für Sie zuverlässig sowohl die reellen als auch die komplexen (imaginären) Wurzeln.

Gebrauchsanweisung

Um die Kubikwurzel (auch dritte Wurzel genannt) einer Zahl zu berechnen, geben Sie den gewünschten Wert in das Eingabefeld ein und klicken Sie auf "Berechnen". Der Rechner präsentiert Ihnen das Ergebnis übersichtlich in zwei Teilen: die "Hauptwurzel (reell)" und "alle Wurzeln". Der Bereich "alle Wurzeln" listet neben der reellen Hauptwurzel auch die imaginären Wurzeln auf.

Bitte beachten Sie: Dieser Kubikwurzelrechner akzeptiert ausschließlich positive und negative ganze Zahlen. Brüche und imaginäre Zahlen werden als direkte Eingabe nicht unterstützt. Sollten Sie dennoch einen Bruch oder eine komplexe Zahl eingeben, ignoriert das Tool automatisch alle Zeichen, die nach dem ersten nicht-numerischen Symbol folgen. Wenn Sie beispielsweise 8/15 eingeben, zieht der Rechner die Kubikwurzel aus 8. Bei der Eingabe von 5 + 3i wird entsprechend nur die Kubikwurzel aus 5 berechnet.

Definition der Kubikwurzel

Die Kubikwurzel einer Zahl ist definiert als jener Wert, der dreimal mit sich selbst multipliziert werden muss, um die ursprüngliche Zahl zu erhalten. Die Kubikwurzel von x wird in der Mathematik üblicherweise als ∛x dargestellt. Gemäß dieser Definition ist y die Kubikwurzel aus x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

wenn

$$y \times y \times y = x$$

Das Ziehen der Kubikwurzel aus einer Zahl ∛x ist mathematisch gleichbedeutend mit dem Potenzieren dieser Zahl mit 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Das Ziehen der Kubikwurzel ist die exakte Umkehroperation zum Kubieren (eine Zahl zur dritten Potenz erheben). Um die Kubikzahl zu erhalten, muss der Ausgangswert dreimal multipliziert werden:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

Und im Umkehrschluss gilt:

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Kubikzahlen (Perfekte Kuben)

Eine sogenannte Kubikzahl (oder ein perfekter Kubus) ist eine Zahl, deren Kubikwurzel eine glatte ganze Zahl ergibt. Ein klassisches Beispiel dafür ist die 8, denn:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Da ganze Zahlen sowohl positiv als auch negativ sein können, gibt es auch positive und negative Kubikzahlen. So ist beispielsweise -8 ebenfalls eine perfekte Kubikzahl, da:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

Die 0 ist ebenfalls eine ganze Zahl und es gilt:

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Somit ist auch die 0 eine perfekte Kubikzahl.

Die Zahl 4 hingegen ist keine Kubikzahl, da ihre reelle Kubikwurzel einen Dezimalwert ergibt:

∛4 ≈ 1,58740105

Dies ist offensichtlich keine ganze Zahl.

Eigenschaften der Kubikwurzel

Die Kubikwurzel aus einer negativen Zahl entspricht exakt dem negativen Wert der Kubikwurzel aus der entsprechenden positiven Zahl. Es gilt also:

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Zum Beispiel:

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Zudem gilt für die Multiplikation von Kubikwurzeln folgende Gesetzmäßigkeit:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Wie man die Kubikwurzel berechnet

Berechnung der reellen Kubikwurzel einer perfekten Kubikzahl

Um die Kubikwurzel einer Zahl manuell zu ermitteln, eignet sich die Methode der Primfaktorzerlegung besonders gut. Gehen Sie dabei wie folgt vor:

1. Ermitteln Sie alle Primfaktoren der gegebenen Zahl.
2. Fassen Sie die Primfaktoren in Gruppen von jeweils drei identischen Faktoren zusammen.
3. Nehmen Sie aus jeder dieser Gruppen genau einen Faktor und multiplizieren Sie diese miteinander, um das Endergebnis zu erhalten.

Ein praktisches Beispiel: Wir wollen die reelle Kubikwurzel aus 3375, also ∛3375, berechnen:

1. Die Primfaktorzerlegung von 3375 ergibt: 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Wenn wir diese in Dreiergruppen aufteilen, erhalten wir: 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5).
3. Nun nehmen wir einen Faktor aus jeder Gruppe und multiplizieren diese: 3 × 5 = 15.

Daraus folgt: ∛3375 = 15.

Sollten sich die Primfaktoren einer Zahl nicht vollständig in solche Dreiergruppen aufteilen lassen, handelt es sich nicht um eine perfekte Kubikzahl. In diesem Fall kann diese Methode nicht angewendet werden, um eine glatte Kubikwurzel zu finden.

Berechnung der reellen Kubikwurzel für Dezimalzahlen zwischen -1 und 1 (außer 0)

Wenn eine Zahl im Bereich größer als -1 und kleiner als 1 liegt, kann sie (mit Ausnahme der 0) per Definition keine perfekte Kubikzahl sein. Jede Zahl y aus dem Intervall -1 < y < 1 liefert keine ganze Zahl als Wurzel. Dennoch gibt es Tricks, um die reelle Kubikwurzel solcher Dezimalzahlen relativ unkompliziert zu berechnen.

Angenommen, wir suchen die reelle Kubikwurzel aus -0,000125. Da dies keine ganze Zahl ist, funktioniert die reine Primfaktorzerlegung hier nicht direkt.

Wir können den Wert jedoch mathematisch umschreiben: -0,000125 = -125 × 10⁻⁶. Daraus folgt:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Wenden wir nun die Multiplikationseigenschaft für Kubikwurzeln an, erhalten wir:

$$\sqrt[3]{-0,000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Da wir wissen, dass die Kubikwurzel einer negativen Zahl das Negativ der positiven Wurzel ist, können wir den Ausdruck umschreiben:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Jetzt ist es deutlich einfacher zu erkennen, dass 125 = 5 × 5 × 5 und 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻² entspricht. Daher gilt:

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

und

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=10⁻²$$

Zusammengesetzt ergibt das unseren finalen Lösungsweg:

$$\sqrt[3]{(-0,000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0,05$$

Praxisbeispiele und Anwendungen

Im realen Leben wird die Berechnung von Kubikwurzeln häufig genutzt, um die Kantenlänge eines würfelförmigen Objekts anhand seines Volumens zu bestimmen. Wenn Sie beispielsweise das Volumen einer großen Kiste kennen und wissen möchten, ob sie durch eine Tür passt, liefert Ihnen die Kubikwurzel die genaue Seitenlänge. Ähnlich verhält es sich, wenn Sie die Menge an Farbe für die Wände eines exakt quadratischen (kubischen) Raums berechnen wollen oder ermitteln müssen, wie viele Fliesen für den Boden eines solchen Raumes benötigt werden.

Volumenberechnung von Holz

Stellen Sie sich vor, Sie planen den Bau eines Hauses und entdecken ein Angebot für 64 Kubikmeter (m³) Bauholz. Welche Dimensionen – also Länge, Breite und Höhe – hätte ein solcher Holzstapel, wenn er perfekt würfelförmig wäre?

Um diese Frage zu beantworten, müssen Sie lediglich die Kubikwurzel aus 64 ziehen. Die Kantenlänge dieses fiktiven Würfels wäre ∛64 = 4. Das bedeutet, der Stapel wäre 4 Meter lang, 4 Meter breit und 4 Meter hoch. Durch das Ziehen der Kubikwurzel bekommt man so eine viel bessere räumliche Vorstellung davon, wie viel Platz ein bestimmtes Volumen in der Realität einnimmt.