Quadratwurzel-Rechner

Mit diesem präzisen Wurzelrechner können Sie im Handumdrehen die Quadratwurzel einer beliebigen Zahl berechnen. Egal, ob Sie positive oder negative Zahlen eingeben: Unser Online-Rechner ermittelt sofort die Hauptquadratwurzel (die positive Wurzel) sowie die entgegengesetzte (negative) Wurzel.

Gebrauchsanweisung

Die Bedienung des Quadratwurzelrechners ist denkbar einfach: Geben Sie Ihre gewünschte Zahl ein und klicken Sie auf "Berechnen". Der Rechner liefert Ihnen umgehend die Hauptquadratwurzel sowie die entgegengesetzte (negative) Quadratwurzel. Zusätzlich zeigt das Tool an, ob es sich bei Ihrer Eingabe um ein sogenanntes perfektes Quadrat (eine Quadratzahl) handelt.

Quadrate und Quadratwurzeln

Quadrate

Das Quadrat einer Zahl entsteht, wenn man diese Zahl mit sich selbst multipliziert. Ein Beispiel: 3 × 3 = 9. Das bedeutet, das Quadrat von 3 ist 9, oder "drei zum Quadrat" ergibt 9. Mathematisch wird das Quadrieren einer Zahl meist als x² geschrieben. Ist also x = 3, lässt sich die Gleichung als 3² = 9 darstellen. Hier sind einige Beispiele für das Quadrieren verschiedener Zahlen:

Betrachten wir nun negative Zahlen und berechnen (-3)². Da die Multiplikation von zwei negativen Vorzeichen (Minus mal Minus) ein positives Ergebnis (Plus) liefert, gilt: (-3)² = (-3) × (-3) = 9. Folglich ist (-3)² = 3² = 9.

Perfekte Quadrate

Ein perfektes Quadrat (auch Quadratzahl genannt) ist das Quadrat einer ganzen Zahl. Die Zahlen 4, 9, 16 und 25 sind beispielsweise allesamt perfekte Quadrate. In der folgenden Tabelle sind die perfekten Quadrate der ersten ganzen Zahlen aufgeführt. Es ist im Alltag und in der Mathematik äußerst hilfreich, diese auswendig zu kennen.

Wenn das Ziehen der Quadratwurzel einer Zahl eine ganze Zahl ergibt, handelt es sich folglich um ein perfektes Quadrat. Unser Online-Wurzelrechner zeigt Ihnen bei jeder Berechnung automatisch an, ob die von Ihnen eingegebene Zahl eine solche Quadratzahl ist.

Quadratwurzeln

Die Quadratwurzel einer Zahl ist der Wert, der, mit sich selbst multipliziert, die ursprüngliche Zahl ergibt. Die Quadratwurzeln von 9 sind beispielsweise 3 und -3, da 3 × 3 = 9 und (-3) × (-3) = 9 (es gilt also (-3)² = 3² = 9). Ähnlich verhält es sich bei der Zahl 16: Hier lauten die Quadratwurzeln 4 und -4. Jede positive reelle Zahl besitzt demnach genau zwei Quadratwurzeln – eine positive und eine negative.

Die positive Quadratwurzel einer Zahl wird in der Mathematik als "Hauptquadratwurzel" bezeichnet. Wenn nicht ausdrücklich anders gefordert, wird standardmäßig immer nach dieser Hauptwurzel gesucht. Wird also gefragt: "Was ist die Quadratwurzel aus 36?", ist in der Regel nur EINE Lösung gemeint. Man fokussiert sich auf die Hauptwurzel, und die Antwort lautet schlicht "6".

Das Quadratwurzel-Symbol

Das mathematische Symbol für die Quadratwurzel nennt man Wurzelzeichen (oder Radikal) und es wird so dargestellt: √. Um die Quadratwurzel aus 16 zu notieren, schreiben wir folglich: √16.

Nach der strengen mathematischen Definition einer Funktion y = f(x) muss es für jeden Wert von x genau einen eindeutigen Wert von y geben. Hätten wir nun eine Funktion, bei der y die Quadratwurzel von x ist, gäbe es für jeden x-Wert zwei y-Werte (die positive und die negative Wurzel). Dies würde jedoch der Definition einer eindeutigen Funktion widersprechen! Um dieses mathematische Problem zu lösen, wurde festgelegt, dass das Wurzelzeichen √ ausschließlich die Hauptwurzel (den positiven Wert) repräsentiert.

Das bedeutet: Obwohl die Quadratwurzeln von 16 formal 4 und -4 lauten, gilt mathematisch strikt √16 = 4. Diese Regel ist besonders beim Lösen von Gleichungen essenziell. Eine quadratische Gleichung der Form y² = x hat zwei Lösungen, die korrekt als y = √x und y = -√x (oder zusammengefasst als y = ±√x) notiert werden.

Quadratwurzeln von negativen Zahlen

Im vorherigen Abschnitt haben wir gesehen, dass das Quadrat einer beliebigen reellen Zahl immer positiv ist. Quadriert man eine positive Zahl, bleibt das Ergebnis positiv. Quadriert man eine negative Zahl, wird das Ergebnis ebenfalls positiv, da Minus mal Minus stets Plus ergibt.

Was passiert jedoch, wenn wir nach einer Zahl suchen, die beim Quadrieren ein negatives Ergebnis liefert? Solche Zahlen existieren in der erweiterten Mathematik und werden als imaginäre Zahlen bezeichnet. Die wichtigste Grundlage hierfür ist die imaginäre Einheit i, die wie folgt definiert ist:

i² = -1

oder

i = √(-1)

Wenn wir nun versuchen, die Quadratwurzel aus (-4) zu ziehen, gehen wir wie folgt vor:

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) = 2 × i = 2i

Die Hauptquadratwurzel aus (-4) ist somit 2i. Berücksichtigen wir zusätzlich die entgegengesetzte (negative) Quadratwurzel von 4 (also -√4 = -2), so erhalten wir als zweite Lösung: -2i.

Wie man die Quadratwurzel aus einer Zahl findet

Das Wurzelziehen bei perfekten Quadratzahlen ist noch recht einfach und lässt sich oft im Kopf lösen. Das manuelle Berechnen der Quadratwurzel aus Dezimalzahlen oder ganzen Zahlen, die keine perfekten Quadrate sind, kann jedoch sehr aufwendig und fehleranfällig sein. Zwar gibt es verschiedene mathematische Näherungsmethoden, am einfachsten und präzisesten ist jedoch die Nutzung unseres Quadratwurzelrechners auf dieser Seite, der Ihnen sofort das exakte Ergebnis für jede beliebige Zahl liefert.

Anwendung im wirklichen Leben

Johannes plant, eine Einzimmerwohnung zu mieten. In einer Anzeige entdeckt er ein Studio mit einer Wohnfläche von exakt 20,25 Quadratmetern. Wie kann er die Länge der Wände schätzen, um sich die tatsächliche Größe des Zimmers besser vorstellen zu können?

Lösung

In der Immobilienbranche werden Flächen von Wohnungen und Grundstücken klassischerweise in Quadratmetern angegeben. Zwar finden sich in manchen Exposés auch Angaben zur Wandlänge, meistens fehlt diese Information jedoch. Oft fällt es schwer, sich die wahren Dimensionen eines Raumes nur anhand der bloßen Quadratmeterzahl auszumalen. Stellen wir uns die Gesamtfläche jedoch als ein exaktes Quadrat mit gleich langen Seiten vor, bekommen wir sofort ein besseres räumliches Gefühl. Um die Seitenlänge dieses Quadrats zu ermitteln, müssen wir einfach die Quadratwurzel aus der Gesamtfläche ziehen:

√20,25 = 4,5

Da es sich hier um die physische Abmessung eines echten Raumes handelt, macht ein negativer Wert keinen Sinn. Daher benötigen wir ausschließlich die Hauptwurzel.

Ein interessanter mathematischer Fakt am Rande: Das Wurzelziehen funktioniert auch direkt mit den entsprechenden Maßeinheiten! Da die Fläche in diesem Beispiel in Quadratmetern (m²) gemessen wurde, ziehen wir beim Bestimmen der Wandlänge mathematisch betrachtet die Quadratwurzel aus 20,25 m²:

√(20,25 m²) = √20,25 × √(m²) = 4,5 m

Antwort

Ein Studio mit einer Wohnfläche von 20,25 Quadratmetern entspricht einem quadratischen Raum, bei dem jede der vier Wände exakt 4,5 Meter lang ist.