Kikokotoo cha Kipeo cha Tatu

Kikokotoo hiki kinaweza kutumika kupata kwa urahisi vipeo vyote vya tatu vya namba yoyote ile. Kinakokotoa kwa usahihi vipeo halisi na vya kufikirika (imaginary), na kukifanya kuwa zana muhimu kwa mahesabu yako ya hisabati.

Maelekezo ya matumizi

Ili kupata kipeo cha tatu cha namba, ingiza tu thamani hiyo kwenye sehemu ya kuingizia data kisha ubofye "Kokotoa" (Calculate). Kikokotoo kitaonyesha matokeo katika sehemu mbili tofauti: "kipeo kikuu (halisi)" (principal (real) root) na "vipeo vyote" (all roots). Sehemu ya "vipeo vyote" inajumuisha kipeo kikuu halisi na vipeo vyake vya kufikirika vinavyohusika.

Kikokotoo hiki cha kipeo cha tatu kinakubali namba kamili chanya na hasi au desimali kama ingizo. Hata hivyo, sehemu (fractions) na namba changamano za kufikirika (complex imaginary numbers) hazitumiki. Tafadhali kumbuka kuwa ukiingiza sehemu au namba ya kufikirika, zana itapuuza kiotomatiki kila kitu kinachofuata alama ya kwanza isiyo ya namba. Kwa mfano, ukiingiza 8/15, kikokotoo kitatafuta kipeo cha tatu cha 8. Vilevile, ukiingiza 5 + 3i, kitakokotoa kipeo cha tatu cha 5.

Maana ya kipeo cha tatu

Kipeo cha tatu cha namba kinafafanuliwa kama thamani ya kihisabati ambayo, ikizidishwa yenyewe mara tatu, inakuwa sawa na namba ya asili. Kipeo cha tatu cha x kwa kawaida huonyeshwa kwa alama ∛x. Kimsingi, y ni kipeo cha tatu cha x:

$$y=\sqrt[3]{x}$$

ikiwa

$$y \times y \times y = x$$

Kutafuta kipeo cha tatu cha namba, ∛x, kihisabati ni sawa na kuweka namba hiyo katika kipeo (power) cha 1/3:

$$\sqrt[3]{x}=x^{\frac{1}{3}}$$

Ukokotoaji wa kipeo cha tatu ni kinyume kamili cha kutafuta mchemraba (cube) wa namba. Ili kutafuta mchemraba wa namba, unaizidisha yenyewe mara tatu:

$$y^3 = y \times y \times y = x$$

Na kinyume chake:

$$\sqrt[3]{x}=\sqrt[3]{y×y×y}=y$$

Mchemraba Kamili

Mchemraba kamili ni namba ambayo kipeo chake cha tatu kamili ni namba kamili (integer). Kwa mfano, 8 ni mchemraba kamili kwa sababu:

$$\sqrt[3]{8}=\sqrt[3]{2×2×2}=2$$

Kwa kuwa namba kamili ni namba nzima ambazo zinaweza kuwa chanya (positive) au hasi (negative), michemraba kamili inaweza pia kuwa chanya na hasi. Kwa mfano, -8 ni mchemraba kamili kwa sababu:

$$\sqrt[3]{-8}=\sqrt[3]{-2×-2×-2}=-2$$

Sifuri (0) pia ni namba kamili, na:

$$\sqrt[3]{0}=\sqrt[3]{0×0×0}=0$$

Kwa hivyo, 0 inachukuliwa kuwa mchemraba kamili.

Kwa upande mwingine, 4 si mchemraba kamili kwa sababu kipeo kikuu halisi cha tatu cha 4 ni:

∛4 ≈ 1.58740105

ambayo ni desimali inayoendelea na si namba kamili.

Sifa za kipeo cha tatu

Kipeo cha tatu cha namba hasi kinafafanuliwa kama kisawe hasi cha kipeo cha tatu cha namba chanya. Kwa lugha ya kihisabati:

$$\sqrt[3]{-x}=-\sqrt[3]{x}$$

Kwa mfano:

$$\sqrt[3]{-27}=-\sqrt[3]{27}=-3$$

Sifa ya kuzidisha ya vipeo vya tatu:

$$\sqrt[3]{x}×\sqrt[3]{y} =\sqrt[3]{x×y}$$

Jinsi ya kukokotoa kipeo cha tatu

Kukokotoa kipeo halisi cha tatu cha mchemraba kamili

Ili kutafuta kipeo cha tatu cha namba kwa mkono, njia ya vigawe tasa (prime factorization) inafaa sana:

1. Tafuta vigawe tasa vya namba hiyo.
2. Gawanya vigawe hivi tasa katika makundi yenye vigawe vitatu vinavyofanana.
3. Chukua kigawe kimoja kutoka kila kundi, na uvizidishe pamoja ili kupata jibu lako la mwisho.

Kwa mfano, hebu tutafute kipeo halisi cha tatu cha 3375 (∛3375):

1. Tukitafuta vigawe tasa vya 3375, tunapata: 3375 = 3 × 3 × 3 × 5 × 5 × 5.
2. Tukivigawanya katika makundi ya vigawe vitatu vinavyofanana, tunapata: 3375 = (3 × 3 × 3) × (5 × 5 × 5).
3. Mwishowe, tukichukua kigawe kimoja kutoka kwa kila kundi na kuvizidisha, tunapata: 3 × 5 = 15.

Kwa hivyo, ∛3375 = 15.

Kama vigawe tasa vya namba haviwezi kupangwa katika makundi ya namba tatu zinazofanana, namba hiyo si mchemraba kamili, na njia hii haiwezi kutumika kutafuta kipeo cha tatu kilicho namba kamili.

Kukokotoa kipeo halisi cha tatu cha namba kubwa kuliko -1 na ndogo kuliko 1 (bila kujumuisha 0)

Ikiwa namba fulani iko katikati ya -1 na 1 pekee, haiwezi kuwa mchemraba kamili. Kimsingi, mchemraba kamili lazima utoe kipeo cha tatu kilicho namba kamili, na namba yoyote isiyo sifuri y ndani ya mbalio wa -1 < y < 1 haitatoa matokeo hayo. Hata hivyo, kukokotoa kipeo halisi cha tatu cha sehemu (fractions) na desimali kama hizo bado kunaweza kuwa rahisi kiasi.

Kwa mfano, hebu tutafute kipeo halisi cha tatu cha -0.000125. Kwa kuwa namba hii ni desimali na si namba kamili, hatuwezi kutumia njia ya kawaida ya vigawe tasa iliyoelezwa hapo juu.

Hata hivyo, tunaweza kuona kwa urahisi kuwa -0.000125 kimahesabu ni sawa na -125 × 10⁻⁶. Kwa hivyo:

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}$$

Tukitumia sifa ya kuzidisha ya vipeo vya tatu, tunapata:

$$\sqrt[3]{-0.000125}=\sqrt[3]{(-125)×10⁻⁶}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Tukiandika upya kipeo cha tatu cha namba hasi kama hasi ya kipeo cha tatu cha namba chanya, tunapata:

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{10⁻⁶}$$

Tunaweza kutambua kwa urahisi kwamba 125 = 5 × 5 × 5, na 10⁻⁶ = 10⁻² × 10⁻² × 10⁻². Kwa hivyo:

$$\sqrt[3]{(125)}=\sqrt[3]{(5×5×5)}=5$$

na

$$\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=10⁻²$$

Mwishowe, tukiweka thamani hizi kwenye mlinganyo wa asili, tunapata:

$$\sqrt[3]{(-0.000125)}=\sqrt[3]{((-125) × 10⁻⁶)}=\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$\sqrt[3]{(-125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}$$

$$-\sqrt[3]{(125)}×\sqrt[3]{(10⁻⁶)}=-\sqrt[3]{(5×5×5)}×\sqrt[3]{(10⁻²)×(10⁻²)×(10⁻²)}=(-5)×10⁻²=-0.05$$

Mifano katika maisha halisi

Vipeo vya tatu vina matumizi muhimu sana katika maisha ya kila siku, hasa unapohitaji kujua vipimo halisi vya pande za vitu vya mchemraba. Kwa mfano, ikiwa unajua ujazo jumla wa boksi na unahitaji kupata urefu wake wa kwenda juu ili kuhakikisha linatoshea vizuri katika eneo la kuhifadhia, ukokotoaji wa kipeo cha tatu unahitajika. Vilevile, kukadiria kiasi halisi cha rangi kinachohitajika kwa kuta za chumba chenye umbo kamili la mchemraba, au kukokotoa idadi ya vigae vinavyohitajika kufunika sakafu ya chumba cha mchemraba chenye ujazo unaojulikana, hutegemea kupata kipeo cha tatu.

Ujazo wa mchemraba wa mbao

Fikiria unajenga nyumba na unakutana na tangazo la kuuza mita za ujazo (cubic meters) 64 za mbao. Je, vipimo halisi vya ujazo huo wa mbao vitakuwa vipi kulingana na urefu, upana, na urefu kwenda juu (height)?

Ili kutatua tatizo hili na kupata picha ya nafasi hiyo, unahitaji kutafuta kipeo cha tatu cha 64. Kwa kukokotoa ∛64 = 4, unabaini kwamba urefu wa upande wa mchemraba kamili wa kufikirika unaowakilisha ujazo huu wote ni mita 4. Ukokotoaji huu rahisi wa kipeo cha tatu unabadilisha data dhahania ya ujazo kuwa vipimo halisi, vilivyo rahisi kueleweka (4m × 4m × 4m), ukikupa picha wazi kabisa ya ukubwa wa vifaa vyako.