Kalkulator Standar Deviasi dan Batas Kesalahan

Kalkulator standar deviasi menghitung standar deviasi dari sekumpulan data. Selain itu, kalkulator standar deviasi memberikan informasi tambahan tentang data, termasuk mean dan variansnya. Kalkulator ini juga menghitung selang kepercayaan dari himpunan data dari berbagai tingkat kepercayaan dan memberikan tabel distribusi frekuensinya.

Untuk menggunakan kalkulator ini, masukkan data yang dipisahkan dengan koma ke dalam kalkulator. Pilih apakah angka tersebut mewakili populasi atau sampel, dan klik "Hitung." Dengan tombol "Hapus", Anda juga bisa menghapus kalkulator dan memasukkan sekumpulan angka yang berbeda.

Standar Deviasi

Standar deviasi adalah ukuran statistik yang mendefinisikan tingkat penyebaran atau variabilitas sekumpulan data. Standar deviasi menunjukkan rata-rata kedekatan titik data agregat dari mean himpunan data. Semakin kecil standar deviasi, berarti semakin dekat titik data data dengan mean. Sebaliknya, semakin besar standar deviasi, semakin jauh titik data dari mean. Standar deviasi adalah akar kuadrat dari ukuran lain penyebaran yang disebut varians.

Standar deviasi dihitung berdasarkan informasi tentang himpunan datanya. Jika himpunan datanya mewakili semua titik data yang diteliti (populasi), standar deviasiya disebut standar deviasi populasi. Akan tetapi, jika himpunan datanya mewakili sampel dari suatu populasi, standar deviasinya disebut standar deviasi sampel.

Standar Deviasi Populasi

Standar deviasi populasi dihitung jika himpunan data mewakili populasi yang diteliti. Artinya, himpunan datanya mewakili semua pengamatan yang diteliti. Standar deviasi populasi dilambangkan dengan σ.

σ adalah huruf kecil dari huruf Yunani yang disebut Sigma. Standar deviasi populasi dihitung dengan menggunakan rumus:

$$\sigma=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{(x_i-\mu)^2}}{N}}$$

Di mana:

• Σ adalah huruf kapital Yunani Sigma, yang digunakan untuk melambangkan penjumlahan dalam matematika;
• xᵢ mewakili setiap titik data (setiap pengamatan himpunan data), mulai dari titik data pertama hingga titik data ke-N (terakhir);
• μ mewakili mean populasi;
• n adalah ukuran populasi.

Contoh penghitungan standar deviasi populasi umum

Contoh berikut menunjukkan cara menghitung standar deviasi dari data populasi.

Para investor melihat saham sebagai aset berisiko karena volatilitasnya yang tinggi dibandingkan dengan kelas aset lainnya. Seorang manajer investasi ingin menganalisis volatilitas beberapa saham di bulan sebelumnya dan tidak akan merekomendasikan kepada kliennya saham yang standar deviasinya lebih besar atau sama dengan mean-nya karena dia menganggap saham seperti itu "terlalu berisiko".

Di bawah ini adalah semua harga penutupan harian saham (dalam dolar Amerika) untuk bulan sebelumnya. Hitung standar deviasi dan tentukan apakah manajer itu menganggap sahamnya "terlalu berisiko":

1,31, 1,30, 1,36, 1,40, 1,40, 1,41, 1,27, 1,19, 1,15, 1,12, 0,99, 1,00, 0,97, 0,94, 0,88, 0,90, 0,86, 0,88, 0,80, 0,81

Ingat bahwa sang manajer hanya tertarik pada harga saham bulan sebelumnya, dan harga yang tercantum di atas adalah semua harga di bulan sebelumnya. Kini kita punya populasinya. Jadi kita akan menghitung standar deviasinya dengan rumus standar deviasi populasi.

Untuk menghitung standar deviasi, pertama-tama hitung mean-nya. Ingat bahwa mean μ diperoleh dengan menjumlahkan seluruh data kemudian dibagi dengan banyaknya data.

$$\mu=\frac{1,31+1,30+1,36+1,40+1,40+1,41+1,27+1,19+1,15+1,12+0,99+1,00+0,97+0,94+0,88+0,90+0,86+0,88+0,80+0,81}{20}=1,097$$

Selanjutnya, kurangi mean dari setiap nilai data dan kuadratkan selisihnya. Kemudian jumlahkan hasilnya dan bagi hasilnya dengan jumlah nilai. Hasilnya disebut varians σ².

$$\sigma^2=\frac{\left(1,31-1,097\right)^2+\left(1,30-1,097\right)^2+\left(1,36-1,097\right)^2+\left(1,40-1,097\right)^2+\ldots+\left(0,81-1,097\right)^2}{20}=0,045031$$

Langkah terakhir, gunakan akar kuadrat varians untuk mendapatkan standar deviasi.

$$\sigma=\sqrt{0,045031}\approx0,21$$

Seperti yang Anda lihat, standar deviasi harga saham ini di bulan sebelumnya lebih kecil dari mean. Oleh karena itu, sang manajer tidak akan menganggap saham ini "terlalu berisiko".

Standar Deviasi Sampel

Standar deviasi sampel dihitung ketika himpunan data yang diteliti mewakili sampel populasi yang diinginkan. Himpunan datanya merupakan himpunan yang lebih kecil dari yang diamati dari keseluruhan pengamatan yang ingin diteliti. Standar deviasi sampel dilambangkan dengan s. Standar deviasi sampel dihitung menggunakan rumus:

$$s=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}\left(x_i-\bar{x}\right)^2}{n-1}}$$

Di mana:

• Σ menunjukkan penjumlahan;
• xᵢ mewakili setiap titik data;
• x̄ mewakili mean sampel;
• n adalah ukuran sampel.

Kita akan mengilustrasikan bagaimana cara mencari standar deviasi data sampel menggunakan contoh yang sama seperti standar deviasi populasi. Namun dalam situasi ini, sang manajer investasi tidak punya akses ke harga penutupan perdagangan seluruh hari di bulan sebelumnya. Meskipun begitu, dia punya 5 hari harga penutupan secara acak dari bulan sebelumnya. Jadi dia akan memperkirakan standar deviasi harga penutupan saham menggunakan data dari sampel yang ada.

Mari kita asumsikan bahwa dia punya harga penutupan selama 5 hari:

1,31, 1,40, 0,86, 0,88, 1,40

Catat bahwa sang manajer tertarik pada harga saham bulan sebelumnya. Meskipun begitu dia tidak punya seluruh harga di bulan sebelumnya, melainkan hanya sebagian kecil dari harga penutupan sebanyak 5 hari. Jadi dalam hal ini kita berhadapan dengan sampel. Kita akan menghitung standar deviasi menggunakan rumus standar deviasi sampel.

Pertama, hitung mean dari sampel.

$$\bar{x}=\frac{1,31+1,40+0,86+0,88+1,40}{5}=1,17$$

lalu hitung varians s².

$$s^2=\frac{\left(1,31-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2+\left(0,86-1,17\right)^2+\left(0,88-1,17\right)^2+\left(1,40-1,17\right)^2}{5-1}=0,0764$$

Langkah terakhir, gunakan akar kuadrat varians untuk mendapatkan standar deviasi.

$$s=\sqrt{0,0764}\approx 0,28$$

Batas Kesalahan

Salah satu kegunaan standar deviasi adalah untuk menghitung rentang nilai yang "dapat diterima". Hal ini berperan penting dalam analisis prediktif dan jaminan kualitas statistik industri. Misalkan data pokok yang ingin diteliti sesuai dengan distribusi normal. Dalam hal ini, rentangnya disebut sebagai selang kepercayaan (lihat bagian berikutnya). Selang kepercayaan ini diberikan pada berbagai tingkat kepercayaan (atau persentase).

Batas kesalahan adalah komponen dari selang kepercayaan yang memberikan lebar selang kepercayaan. Artinya, batas kesalahan memberikan nilai maksimum dan minimum yang diterima dari kuantitas yang ingin diteliti.

Batas kesalahan dihitung dengan menggunakan rumus:

$$Margin\ kesalahan = z_{\alpha/2}\left(\dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

Kita menerapkan rumus ini jika standar deviasi populasi, σ, diketahui. Dan pada saat yang sama sampel harus cukup besar (biasanya n>30).

Jika standar deviasi populasi tidak diketahui dan sampelnya kecil (biasanya n≤30), kita akan menggunakan rumus berikut:

$$Margin\ kesalahan = t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

Dalam rumus ini kita menggunakan standar deviasi sampel s karena standar deviasi populasi σ tidak diketahui.

\$z_{\alpha/2}\$ dan \$t_{n-1, \alpha/2}\$ masing-masing ditentukan menggunakan uji z dan uji t, dan disebut nilai kritis. Nilai ini adalah konstanta yang terkait dengan tingkat kepercayaan.

Selang kepercayaan yang paling umum digunakan dalam statistik adalah 90%, 95%, dan 99%. Dan nilai \$z_{\alpha/2}\$ mereka adalah 1,645 (untuk 90%), 1,96 (untuk 95%), dan 2,575 (untuk 99%)

\$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ atau \$\frac{s}{\sqrt n}\$ disebut kesalahan standar.

• \$\frac{\sigma}{\sqrt n}\$ digunakan ketika kita mengetahui standar deviasi populasi σ dan kita punya sampel yang besar (biasanya n>30).
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ digunakan untuk kasus di mana kita tidak mengetahui standar deviasi populasi dan sampelnya kecil (biasanya n≤30). Artinya, sebagai ganti standar deviasi dari populasi umum σ, kita harus menggunakan standar deviasi sampel yang kita punya s.

Selang Kepercayaan

Seperti yang sudah dijelaskan di atas, selang kepercayaan adalah interval (rentang nilai) di mana kuantitas tertentu diharapkan berada pada tingkat kepercayaan tertentu.

Misalnya, kita dapat mengatakan bahwa jumlah tertentu, katakanlah tinggi badan anak perempuan 13 tahun, adalah antara 150 cm dan 167 cm di tingkat kepercayaan 90%. Artinya, jika kita memilih sekelompok anak perempuan berusia 13 tahun, sekitar 90% kemunculannya, tinggi badan mereka akan berada di antara nilai yang diberikan.

Selang kepercayaan dihitung menggunakan rumus:

$$\bar{x}± z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ adalah mean sampel,
• \$z_{\alpha/2}\$ adalah nilai kritis,
• σ adalah standar deviasi populasi,
• n adalah jumlah pengamatan.

Rumus lain yang digunakan jika kita tidak mengetahui standar deviasi populasi σ dan akibatnya kita harus menggunakan standar deviasi sampel s :

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ adalah mean sampel,
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ adalah nilai kritis,
• s adalah standar deviasi sampel,
• n adalah jumlah pengamatan.

Seperti yang dapat kita ingat dari bab sebelumnya \$z_{\alpha/2}\left(\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right)\$ dan \$t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)\$ adalah batas kesalahan.

Contoh penghitungan selang kepercayaan

Misalkan kita tahu bahwa harga saham harian yang kita teliti punya distribusi normal. Contoh harga saham yang kita miliki:

1,31, 1,36, 1,40, 1,27, 1,15, 0,99, 0,97, 0,88, 0,86, 0,80

Kita perlu menghitung dalam kisaran berapa harga saham akan berfluktuasi dengan kepercayaan 95%.

Ini adalah sampel kecil dan kita tidak mengetahui standar deviasi populasinya, jadi kita akan menggunakan standar deviasi sampel dan rumus menghitungnya:

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

• x̄ adalah mean sampel, 1,10
• \$t_{n-1,\alpha/2}\$ adalah nilai kritis, \$t_{9, 0,025}\$ = 2,26 (nilai kritis untuk ukuran sampelnya dan tingkat kepercayaan biasanya dihitung dari tabel z atau tabel t)
• s adalah standar deviasi sampel, 0,23
• n adalah jumlah pengamatan, 10,
• \$\frac{s}{\sqrt n}\$ adalah kesalahan standar \$\frac{0,23}{\sqrt{10}}=0,07\$

Jadi kita memasukkan angka-angkanya ke dalam rumus

$$\bar{x}± t_{n-1,\alpha/2}\left(\frac{s}{\sqrt{n}}\right)$$

dan kita mendapatkan:

$$1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 - 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 - 2,26 × 0,07 = 1,10 - 0,16 = 0,94$$

$$1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{\sqrt{10}}) = 1,10 + 2,26 (\frac{0,23}{3,16}) = 1,10 + 2,26 × 0,07 = 1,10 + 0,16 = 1,26$$

Artinya kita 95% yakin bahwa rata-rata harga saham berada pada selang kepercayaan (0,94, 1,26).