Kalkulator Standar Deviasi

Standar deviasi sebagai ukuran statistik

Standar deviasi adalah salah satu metrik yang paling umum digunakan untuk memperlihatkan statistik dari suatu himpunan data. Standar deviasi, secara sederhana, adalah ukuran persebaran suatu himpunan data. Dengan menghitung standar deviasi, Anda bisa mengetahui apakah angka-angka itu dekat atau jauh dari mean. Jika titik data jauh dari mean, maka ada penyimpangan besar dalam himpunan datanya. Dengan demikian, semakin besar sebaran datanya, semakin tinggi standar deviasinya.

Kalkulator ini menentukan standar deviasi dari himpunan data dan menunjukkan langkah-langkah matematika yang digunakan dalam penghitungan.

Aturan dalam menggunakan kalkulator ini

Kalkulator menerima input sebagai daftar angka yang dipisahkan oleh pembatas. Beberapa contoh input diperlihatkan pada tabel di bawah ini.

Angka-angkanya bisa dipisahkan dengan koma/spasi/jeda baris atau campurannya dan bisa disisipkan dalam format baris atau kolom. Untuk semua format yang ditunjukkan di tabel di atas, kalkulator akan memroses input sebagai 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, dan 89.

Setelah memasukkan data, pilih apakah itu data sampel atau populasi dan tekan enter. Kalkulator menampilkan lima parameter statistik dari himpunan data: jumlah (banyaknya pengamatan), mean, total kuadrat deviasi, varians, dan deviasi standar.

Soal yang dirancang untuk dipecahkan oleh kalkulator ini

Kalkulator ini dirancang untuk menghitung standar deviasi dari suatu himpunan data diskrit dan memberikan pemahaman tentang teori di balik penghitungannya.

Datanya bisa terdiri dari populasi yang terdiri dari semua pengamatan yang mungkin dilakukan dalam sebuah eksperimen (dalam bentuk apa pun) berdasarkan kondisi yang ditentukan. Dalam banyak kasus, tidak mungkin untuk mengambil sampel dari setiap anggota populasi.

Dalam praktik statistik, adalah hal yang umum untuk bekerja dengan sebagian dari 'populasi' yang lebih besar, yang kami sebut sebagai 'sampel'. Hal ini dikarenakan sering kali tidak praktis atau tidak mungkin untuk mengumpulkan data dari setiap individu dalam populasi. Kami membuat estimasi atau kesimpulan tentang populasi berdasarkan informasi yang dikumpulkan dari sampel.

Saat menghitung standar deviasi, rumus yang kami gunakan disesuaikan tergantung pada apakah kami berurusan dengan sampel atau seluruh populasi. Penyesuaian ini dilakukan melalui faktor yang dikenal sebagai 'derajat kebebasan'. Untuk sebuah sampel, kami membagi dengan n - 1 (di mana n adalah ukuran sampel), bukan n saat menghitung varians, yang kemudian dikuadratkan untuk menemukan deviasi standar. Koreksi ini mengimbangi fakta bahwa kami menggunakan data sampel untuk memperkirakan deviasi standar populasi dan memastikan estimasi kami tidak bias.

Standar deviasi mengukur rata-rata persebaran/deviasi/variabilitas suatu himpunan data relatif dengan mean-nya. Hal ini sering dilambangkan dengan huruf Yunani σ untuk populasi atau s untuk sampel. Nilai σ atau s yang lebih besar menyiratkan penyebaran titik data yang lebih besar dari mean sampel dan sebaliknya.

Perhatikan contoh himpunan data berikut.

(Set I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Set II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20 Memasukkan himpunan data ini ke dalam kalkulator, kita mendapatkan set I

• x̄=16 - nilai mean
• s=8,3904708 - standar deviasi

Untuk set II

• x̄=16 - nilai mean
• s=2,3664319 - standar deviasi

Pada Set I, angka-angka menyimpang secara signifikan dari mean sampel (s=8,39) sedangkan pada Set II variabilitasnya kecil (s=2,36) jika dibandingkan dengan Set I.

Rumus untuk menghitung standar deviasi

Rumus ini berlaku ketika semua data dalam populasi dianalisis.

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ adalah standar deviasi populasi,
• xᵢ adalah nilai data individu dari populasi,
• μ adalah mean aritmatika dari populasi,
• n adalah ukuran populasi.

Rumus di bawah ini digunakan jika ukuran populasi sangat besar dan hanya sampelnya yang dianalisis.

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s adalah standar deviasi dari sampel,
• xᵢ adalah nilai dari data sampel individual,
• x̄ adalah mean sampel,
• n adalah ukuran sampel.

Penghitungan Standar Deviasi

Langkah-langkah berikut digunakan untuk menghitung standar deviasi.

Langkah 1: Hitung mean sampel/populasi. Ini adalah total semua nilai titik data dibagi dengan banyaknya data N atau n yaitu

Mean sampel:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

Mean Populasi

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

Langkah 2: Hitung deviasi dengan mengurangi mean sampel/populasi dari setiap titik data, yaitu

Deviasi sampel:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Deviasi populasi:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

Langkah 3: Hitung kuadrat deviasi untuk setiap titik data.

Kuadrat deviasi sampel:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Kuadrat deviasi populasi:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

Langkah 4: Hitung total kuadrat deviasi dengan menambahkan semua kuadrat deviasi individu

Total kuadrat deviasi sampel

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Total kuadrat deviasi populasi

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x_3-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

Langkah 5: Bagilah jumlah deviasi kuadrat dengan jumlah derajat kebebasan untuk mendapatkan varians. Untuk populasi, bagi dengan N, dan untuk sampel, bagi dengan n-1.

Varians sampel

$$ s^2 = \frac{\jumlah_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Varians populasi

$$ \sigma^2 = \frac{\jumlah_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Saat menghitung varians dari sampel, kita bisa mengasumsikan bahwa kita akan menggunakan rumus ini untuk penghitungan:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

di mana

x̄ adalah mean sampel dan n adalah ukuran sampel. Tetapi rumus ini tidak digunakan.

Rumus seperti itu bukan perkiraan yang baik untuk varians populasi. Ketika populasinya sangat besar dan sampelnya sangat kecil, varians yang dihitung dengan rumus ini akan meremehkan varians populasi. Ini akan menunjukkan varians yang terlalu kecil karena kurangnya data. Jadi dengan menggunakan rumus n-1 kita meningkatkan potensi nilai variansnya.

Bukannya membagi dengan n, kita menemukan varians sampel dengan membaginya dengan n-1. Rumus ini memberikan nilai varians yang sedikit lebih besar, yang lebih mendekati nilai sebenarnya.

Langkah 6: Hitung akar kuadrat dari angka yang dihasilkan. Standar deviasi adalah akar kuadrat dari varians.

Standar deviasi sampel

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Standar deviasi populasi

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Contoh penghitungan standar deviasi sampel

Mari kita perhatikan nilai berikut dari n=8 siswa di ujian final Fisika:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82, dan 84

Kalkulator menghitung simpangan baku sampel menggunakan langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Menghitung mean.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Langkah 2: Menghitung deviasi

Langkah 3: Menghitung kuadrat deviasi

Langkah 4: Menjumlahkan kuadrat deviasi.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Langkah 5: Menghitung varians dengan membagi jumlah kuadrat deviasi dengan degree of freedom (n-1). Untuk populasi, varians dalam langkah ini akan dibagi dengan N dan bukan N-1. Dalam hal ini, kita punya sampel, yaitu data dari sebagian populasi siswa, bukan dari seluruh populasi.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Langkah 6: Ambil akar kuadrat varians untuk memperoleh standar deviasi.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12,80$$

Aplikasi Standar Deviasi

Penyebaran dan standar deviasi bisa digunakan untuk menentukan sebaran data. Jika varians atau standar deviasi besar, artinya data lebih tersebar. Informasi ini berguna ketika kita membandingkan dua (atau lebih) himpunan data untuk menentukan mana yang lebih (paling) bervariasi.

Dalam dunia industri, standar deviasi banyak digunakan untuk pengendalian kualitas. Dalam produksi skala besar, karakteristik produk tertentu harus berada dalam rentang yang ditentukan yang dapat diketahui dengan menghitung standar deviasinya. Misalnya, dalam produksi mur dan baut, variasi diameternya harus kecil, jika tidak, bagian-bagiannya tidak akan cocok satu sama lain.

Standar deviasi digunakan di bidang keuangan dan banyak bidang lainnya untuk menilai risiko. Dalam analisis teknis, standar deviasi digunakan untuk membangun Bollinger bands dan menghitung volatilitas.

Selain itu, standar deviasi juga digunakan dalam keuangan sebagai ukuran volatilitas, dan dalam sosiologi digunakan dalam jajak pendapat publik untuk membantu menghitung ketidakpastian.

Varians dan standar deviasi digunakan untuk menentukan banyaknya nilai data yang termasuk dalam interval distribusi tertentu. Misalnya, teorema Chebyshev menunjukkan bahwa untuk setiap sebaran, setidaknya 75% dari nilai data akan berada dalam standar deviasi 2 dari mean.

Mari kita ambil contoh sederhana sehubungan iklim. Misalkan kita mempelajari suhu harian dua kota di wilayah yang sama. Satu kota berada di pesisir dan yang lainnya di pedalaman. Rata-rata suhu harian maksimum di kedua kota ini mungkin sama. Tetapi standar deviasinya, yaitu penyebaran suhu harian maksimum akan lebih besar untuk kota yang terletak di pedalaman, dan kota di pesisir akan memiliki standar deviasi suhu harian maksimum yang lebih kecil.

Ini berarti bahwa kota di pedalaman akan punya variasi suhu udara maksimum yang lebih besar di hari apa pun dalam setahun dibandingkan kota pesisir. Artinya, kota pesisir akan punya iklim yang tidak terlalu kuat.