거리 공식 계산기

이 계산기는 점들의 좌표가 알려져 있을 때 평면 상의 두 점 사이의 거리를 찾습니다. 계산기는 2차원 공간에서 작동합니다.

직선은 2점 사이의 최단 거리를 나타내므로, 이 계산기는 선 길이 계산기로 사용될 수 있습니다.

사용 방법

계산기는 좌표 (X₁, Y₁)를 가진 점 1과 좌표 (X₂, Y₂)를 가진 점 2 사이의 거리를 찾습니다.

두 점 사이의 거리를 찾기 위해, 해당 필드에 그들의 좌표를 입력하세요. 입력 좌표는 다음과 같이 입력해야 합니다:

• 각 점의 두 좌표 사이는 쉼표로 구분해야 합니다; 예를 들어, x좌표가 4이고 y좌표가 5인 점 1에 대해 “4,5”를 (X₁, Y₁) 필드에 입력하세요. 좌표 중 하나가 소수로 표현되는 경우, 정수 부분과 소수 부분을 구분하기 위해 소수점을 사용하세요; 예를 들어, x좌표가 4.5이고 y좌표가 7인 점에 대해 “4.5,7”을 입력하세요.
• 점 좌표로는 정수와 소수만 사용할 수 있습니다. 분수는 허용되지 않습니다.
• 좌표 사이의 공백은 필요하지 않지만, 편의를 위해 사용할 수 있습니다.

좌표를 입력한 후 “계산”을 누르세요. 계산기는 최종 답과 상세한 해결 알고리즘을 반환할 것입니다.

거리 공식

2차원 평면에서 좌표 (X₁, Y₁)를 가진 점 1과 좌표 (X₂, Y₂)를 가진 점 2 사이의 거리 d는 다음 공식을 이용하여 찾을 수 있습니다:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

다시 말해, 2차원 공간에서 2점 사이의 거리는 해당 좌표의 제곱 차의 합의 제곱근으로 찾을 수 있습니다. 이 공식은 유클리드 거리 공식으로 알려져 있습니다. 따라서 이 계산기는 유클리드 거리 계산기라고도 불릴 수 있습니다.

유클리드 거리 공식 유도

공식을 유도하기 위해, (X, Y) 좌표 평면상의 두 주어진 점을 살펴봅시다:

점 1과 점 2 사이의 거리를 찾기 위해, 점 2에서 수직으로 선을 그리고, 점 1에서 오른쪽으로 수평선을 그립니다. 그려진 두 선과 필요한 거리는 직각 삼각형을 형성할 것입니다. 이 삼각형의 수직 변은 점 1과 점 2 사이의 수직 거리에 의해 형성됩니다: Y₂ – Y₁. 삼각형의 수평 변은 두 점 사이의 수평 거리에 의해 형성됩니다: X₂ – X₁. 이 삼각형의 빗변은 점들 사이의 필요한 거리를 나타냅니다. 직각 삼각형의 변의 길이가 알려져 있을 때, 피타고라스의 정리를 이용하여 빗변의 길이를 찾을 수 있습니다:

$$d^2=(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2$$

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}$$

계산 예시

예제 1

점 1 (X₁, Y₁) = (3, 1)과 점 2 (X₂, Y₂) = (5, 7) 사이의 거리를 찾아봅시다. X₁, Y₁, X₂, Y₂의 값을 유클리드 거리 공식에 대입하면 다음과 같습니다:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(5-3)^2+(7-1)^2}=\sqrt{2^2+6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

좌표 차이를 제곱하기 때문에 점의 순서를 바꾸어도 최종 결과는 변하지 않습니다. (X₁, Y₁) = (5, 7), (X₂, Y₂) = (3, 1)라고 가정하고 위 계산을 반복해 봅시다:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-5)^2+(1-7)^2}=\sqrt{-2^2+-6^2}$$

$$\sqrt{2^2+6^2}=\sqrt{4+36}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}\approx 6.32$$

예제 2

음수 좌표를 가진 예를 보고 점 1 (X₁, Y₁) = (-4, 2)와 점 2 (X₂, Y₂) = (6, -6) 사이의 거리를 찾아봅시다. X₁, Y₁, X₂, Y₂의 값을 유클리드 거리 공식에 대입하면 다음과 같습니다:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(6-(-4))^2+(-6-2)^2}=\sqrt{10^2+(-8)^2}$$

$$\sqrt{10^2+(-8)^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}=2\sqrt{41}\approx 12.8$$

위에서 보여준 것처럼, 유클리드 거리 공식은 피타고라스 정리를 기반으로 하지만, 피타고라스 정리가 사용하는 삼각형의 변의 길이 대신 점의 좌표만 알려져 있는 상황에 정리를 적용합니다. 이 공식은 지도나 그래프 상의 좌표로부터 거리를 계산해야 할 때 유용합니다. 또한 복소수와 벡터의 크기를 계산하는 데에도 사용됩니다.

예제 3

벽에 기대어 있는 사다리를 상상해 보세요. 이 상황에서 바닥은 2D 평면의 x축을 나타내고, 벽은 y축을 나타냅니다. 아래 이미지와 같이 보입니다. 사다리가 벽에 (0, 2) 지점에서 닿고, 바닥에 (3, 0) 지점에서 닿는다면, 사다리의 길이를 찾으세요.

해설

벽과 바닥으로 형성된 2차원 평면에서 사다리의 길이를 찾기 위해, 먼저 사다리의 끝점의 좌표 X₁, Y₁, X₂, Y₂를 식별합시다. 사다리가 벽에 닿는 지점을 점 1 (X₁, Y₁)이라고 하고, 사다리가 바닥에 닿는 지점을 점 2 (X₂, Y₂)라고 합시다. 사다리가 (0, 2) 좌표의 지점에서 벽에 닿는다는 것을 알고 있습니다. 따라서, (X₁, Y₁) = (0, 2):

X₁ = 0, Y₁ = 2

X₁ = 0이며, 이는 위의 이미지에서 벽이 바닥과 만나는 물리적 지점에 해당하는 점 (0, 0)을 명확하게 보여줍니다. 이로 인해 X와 Y의 음수 값은 불가능합니다.

또한, 사다리가 (3, 0) 좌표의 지점에서 바닥에 닿는다는 것을 알고 있습니다. 따라서, (X₂, Y₂) = (3, 0):

X₂ = 3, Y₂ = 0

Y₂ = 0이며, 이 좌표는 바로 바닥 위의 점에 해당합니다. 이제 거리 공식을 사용하여 사다리의 길이를 계산합시다:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2}=\sqrt{(3-0)^2+(0-2)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}$$

$$\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}\approx 3.6$$

정답

사다리의 길이는 3.6입니다.

3차원 공간에서의 거리

유클리드 거리는 대부분의 사람들이 "거리"라고 생각하는 것입니다. 우리가 무언가가 우리로부터 5미터 떨어져 있다고 말할 때, 우리가 염두에 두는 것은 유클리드 거리입니다. 위에서 설명한 거리 공식은 쉽게 3차원(또는 그 이상의 차원)으로 확장될 수 있습니다.

3차원 공간에서 좌표 (X₁, Y₁, Z₁)를 가진 점 1과 좌표 (X₂, Y₂, Z₂)를 가진 점 2 사이의 거리는 해당 좌표 간의 제곱 차의 합의 제곱근으로 계산할 수 있습니다:

$$d=\sqrt{(X₂-X₁)^2+(Y₂-Y₁)^2+(Z₂-Z₁)^2}$$