피타고라스 정리 계산기

이 피타고라스 계산기는 직각삼각형의 두 변의 길이를 알고 있을 때, 나머지 한 변의 길이를 빠르고 정확하게 구해줍니다. 모든 계산은 피타고라스 정리(Pythagorean Theorem)를 기반으로 이루어집니다.

사용 방법

알고 있는 두 변의 길이를 입력한 후 "계산하기" 버튼을 누르세요. 계산 결과로 다음과 같은 항목들을 확인할 수 있습니다:

• 나머지 한 변의 길이
• 직각(90°)을 제외한 나머지 두 예각의 크기 (도 및 라디안)
• 직각삼각형의 넓이
• 직각삼각형의 둘레
• 빗변에 내린 수선의 길이 (높이)

또한, "+ 계산 단계 표시"를 클릭하면 정답 도출까지의 상세한 풀이 과정도 함께 확인할 수 있습니다.

각 변의 입력 필드는 정수뿐만 아니라 제곱근(루트) 형태도 지원하므로, 2√3, √3과 같은 무리수 값도 편리하게 입력할 수 있습니다.

단, 직각을 낀 두 짧은 변(밑변과 높이)인 a와 b의 길이는 항상 빗변인 c의 길이보다 짧아야 합니다.

피타고라스 정리

피타고라스 정리에 따르면, 직각삼각형에서 빗변의 길이의 제곱은 나머지 두 변의 길이를 각각 제곱하여 더한 값과 같습니다.

피타고라스 정리 공식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다:

a² + b² = c²

여기서 a와 b는 직각삼각형에서 직각을 낀 두 짧은 변(밑변과 높이)의 길이이며, c는 가장 긴 변인 빗변의 길이입니다. 즉, 위의 방정식은 "a의 제곱과 b의 제곱의 합은 c의 제곱과 같다"는 것을 의미합니다.

피타고라스 정리 증명

도형의 넓이를 활용하여 피타고라스 정리를 증명해 봅시다.

위 이미지에서, 한 변의 길이가 (a + b)인 큰 정사각형은 한 변의 길이가 c인 작은 정사각형 1개와 세 변의 길이가 각각 a, b, c인 직각삼각형 4개로 이루어져 있습니다. 이 큰 정사각형의 넓이를 두 가지 다른 방법으로 구해봅시다:

1. 한 변의 길이가 (a + b)인 정사각형의 넓이는 (a + b)²로 계산할 수 있습니다:

A = (a + b)²

2. 같은 넓이를 정사각형을 구성하는 내부 도형들의 넓이의 합으로도 구할 수 있습니다. 즉, 한 변의 길이가 c인 정사각형의 넓이와 세 변의 길이가 a, b, c인 직각삼각형 4개의 넓이를 더하는 것입니다. 한 변의 길이가 c인 정사각형의 넓이는 c²입니다. 세 변의 길이가 a, b, c인 직각삼각형의 넓이는 (ab)/2로 구할 수 있습니다. 따라서,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

이 두 수식은 동일한 정사각형의 넓이를 나타내므로, 다음과 같이 같다고 놓을 수 있습니다:

(a + b)² = c² + 2ab

방정식 왼쪽의 완전제곱식을 전개하면,

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

양변에서 2ab를 빼면,

a² + b² = c²

우리가 증명하고자 했던 피타고라스 정리 공식이 도출됩니다.

계산 알고리즘

직각삼각형의 변의 길이 구하기

직각삼각형의 두 변의 길이를 알고 있다면, 피타고라스 정리를 사용하여 나머지 세 번째 변의 길이를 구할 수 있습니다. 예를 들어, 변 a와 b가 주어진 경우 빗변 c의 길이는 다음과 같이 계산합니다:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

마찬가지로, 변 a와 b의 길이는 다음과 같이 구합니다:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

그리고,

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

직각삼각형의 각도 찾기

직각삼각형의 세 변의 길이를 모두 알고 있다면, 직각(90°)을 제외한 나머지 두 예각의 크기는 다음 공식을 사용하여 구할 수 있습니다:

• ∠α = arcsin(a/c) 또는 ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) 또는 ∠β = arccos(a/c)

여기서 ∠α는 변 'a'와 마주보는 대각이고, ∠β는 변 'b'와 마주보는 대각이며, 'c'는 빗변입니다. arcsin(아크사인)과 arccos(아크코사인) 중 어떤 함수를 사용할지는 기준 각도에 대해 대변(마주보는 변)을 쓸지, 인접변(이웃한 변)을 쓸지에 따라 결정됩니다. arcsin을 사용할 때는 기준 각도의 대변을, arccos를 사용할 때는 인접변을 활용합니다. 두 가지 방법 모두 유효하며 직각삼각형의 각도를 정확하게 계산해 줍니다.

직각삼각형의 넓이

직각삼각형의 넓이는 직각을 낀 두 변의 곱을 2로 나누어 계산합니다:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

직각삼각형의 둘레

직각삼각형의 둘레는 세 변의 길이를 모두 더하여 계산합니다:

P = a + b + c

빗변에 내린 수선의 길이 (높이)

직각삼각형의 세 변의 길이를 모두 알고 있을 때, 빗변에 직각으로 내린 수선의 길이 h는 다음과 같이 계산할 수 있습니다:

h = (a × b)/c

실생활 활용 예시

피타고라스 정리는 건축 및 건설 분야에서 필요한 자재의 길이를 계산하거나, 건물의 모서리가 정확한 직각을 이루는지 확인하는 데 널리 사용됩니다. 이 정리가 실생활에서 어떻게 적용되는지 예시를 통해 살펴봅시다.

사다리 적재하기

이사를 위해 적재함의 길이가 4m이고 높이가 3m인 이사 트럭을 대여했다고 가정해 봅시다. 부피가 큰 짐은 별로 없지만, 길이가 4.5m인 사다리를 실어야 합니다. 과연 이 사다리가 트럭 적재함에 들어갈 수 있을까요?

풀이 과정

사다리의 길이(4.5m)가 트럭의 길이(4m)보다 길기 때문에, 사다리를 트럭 내부에 실을 수 있는 유일한 방법은 대각선으로 눕히는 것입니다. 이것이 가능한지 확인하려면 트럭의 길이와 높이를 각각 밑변과 높이로 하는 직각삼각형의 빗변을 피타고라스 정리로 계산해 보아야 합니다. 이 경우 a = 4, b = 3이며, 빗변 c를 구해야 합니다:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

a = 4, b = 3인 직각삼각형의 빗변의 길이는 c = 5입니다. 즉, 트럭에 실을 수 있는 가장 긴 물체의 길이는 대각선 길이인 5m입니다. 사다리의 길이는 4.5m이므로 트럭에 충분히 실을 수 있습니다!

정답

네, 사다리는 트럭에 무사히 들어갑니다.

추가 계산

이 온라인 계산기는 입력된 값을 바탕으로 직각삼각형의 추가적인 기하학적 특성도 함께 계산해 줍니다. a = 4, b = 3, c = 5인 직각삼각형의 추가 특성들을 구해보겠습니다.

직각삼각형의 넓이:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

직각삼각형의 둘레:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

빗변에 내린 수선의 길이 (높이):

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

변 a와 마주보는 각 (대각):

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 라디안

변 b와 마주보는 각 (대각):

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 라디안