Rätvinklig triangel-kalkylator

Kalkylator för rätvinkliga trianglar

Vår kalkylator för rätvinkliga trianglar är ett mångsidigt verktyg online, utformat specifikt för rätvinkliga trianglar. Oavsett om du behöver hitta okända sidor, vinklar eller andra egenskaper, fyller du bara i två kända värden, så beräknar kalkylatorn direkt resten. Inmatningar som stöds är sidlängder (a, b och c), spetsiga vinklar (α och β), omkrets (P), area (A) samt höjden mot hypotenusan (h).

För att använda kalkylatorn anger du helt enkelt två av de ovanstående värdena och klickar på "Beräkna".

Du kan ange vinkelvärden i antingen grader eller radianer. För att använda radianer som involverar π skriver du bara "pi". Om din vinkel till exempel är π/3 anger du "pi/3".

Tillsammans med de okända värdena ger denna triangelkalkylator detaljerade, steg-för-steg-beräkningar. Den genererar också en proportionellt skalad visuell representation av din triangel, tillsammans med exakta värden för dess inskrivna och omskrivna cirkels radie.

Begränsningar för inmatningsvärden i triangelkalkylatorn

1. Du kan endast ange exakt två värden.
2. Vinkelvärdena för α och β måste vara strikt mindre än 90° eller (π/2) rad.
3. Längden på höjden mot hypotenusan (h) får inte överstiga längden på någon av kateterna (a eller b).
4. Längden på varje sida av triangeln (a, b eller c) måste vara mindre än summan av de andra två sidorna.
5. För en given längd på hypotenusan har triangeln en maximalt möjlig omkrets. Kalkylatorn accepterar inte en omkrets som överstiger denna gräns. Den maximala omkretsen för en rätvinklig triangel med en given hypotenusa uppstår när triangeln är likbent (a=b). I detta fall är \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, och den maximala omkretsen är \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Rätvinklig triangel: definition och användbar information

En rätvinklig triangel är en polygon där en inre vinkel är exakt 90° eller \$\frac{π}{2}\ rad\$. Sidan som är direkt motsatt den räta vinkeln kallas hypotenusa. De andra två sidorna som bildar den räta vinkeln kallas för triangelns kateter.

Ofta betraktas katet b som den rätvinkliga triangelns bas, medan katet a representerar dess höjd.

Kateterna i en rätvinklig triangel är alltid kortare än hypotenusan. Eftersom en vinkel är exakt 90° och summan av alla inre vinklar i en triangel alltid är 180°, är summan av de två återstående spetsiga vinklarna alltid 90°: α+β=90°. Sidlängderna i en rätvinklig triangel delar ett distinkt matematiskt samband, berömt definierat av Pythagoras sats.

Pythagoras sats

Pythagoras sats är utan tvekan den mest kända principen inom euklidisk geometri. Den fastställer ett grundläggande samband mellan de tre sidorna i en rätvinklig triangel och slår fast att kvadraten på hypotenusan är lika med summan av kvadraterna på de två kateterna:

$$c^2=a^2+b²$$

Följaktligen, om du bara känner till längderna på de två kateterna, kan du enkelt beräkna hypotenusan med hjälp av denna formel:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Omvänt, om du vet längden på hypotenusan och den ena kateten, kan du beräkna den saknade katetens längd med följande ekvationer:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Andra viktiga formler

Utöver Pythagoras sats används en rad trigonometriska och geometriska formler för att beräkna de okända värdena i en rätvinklig triangel.

En triangels omkrets är helt enkelt summan av alla dess sidlängder:

$$P = a + b + c$$

Arean av en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av basen och höjden (de två kateterna):

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

För att hitta de spetsiga vinklarna i en rätvinklig triangel använder vi trigonometriska samband: sinus, cosinus och tangens. Dessa samband bygger på att identifiera vilka sidor som är hosliggande och motstående till den aktuella vinkeln. Hypotenusan och den ena kateten bildar en spetsig vinkel; denna katet kallas den hosliggande kateten. Den andra kateten, som är placerad mittemot vinkeln, är den motstående kateten. I illustrationen nedan är exempelvis katet a den motstående kateten till vinkel α, medan katet b är den hosliggande kateten.

Sinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel är förhållandet mellan den motstående katetens längd och hypotenusan:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Cosinus för en spetsig vinkel är förhållandet mellan den hosliggande katetens längd och hypotenusan:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Tangens för en spetsig vinkel är förhållandet mellan den motstående och den hosliggande katetens längd:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Längden på höjden mot hypotenusan (h) beräknas enligt följande:

$$h=\frac{ab}{c}$$

Vår kalkylator beräknar även inkretsens radie (radien för den största cirkel som ryms inuti triangeln) och den omskrivna cirkelns radie (radien för den cirkel som passerar genom triangelns alla tre hörn) med hjälp av dessa formler:

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Circumradius=\frac{c}{2}$$

Beräkningsexempel

Låt oss titta på ett praktiskt exempel där längderna på de två kateterna är kända: a = 3 och b = 4. Vi ska beräkna alla återstående mått för denna rätvinkliga triangel.

Först beräknar vi hypotenusans längd (c) med hjälp av Pythagoras sats:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Härnäst bestämmer vi de spetsiga vinklarna. Som vi konstaterade tidigare:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

Därför kan vi använda funktionen arcus sinus (invers sinus):

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

På motsvarande sätt för vinkel β:

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Vilket ger:

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Låt oss nu beräkna höjden mot hypotenusan (h):

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

För att få fram triangelns area (A):

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Och dess omkrets (P):

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Inkretsradien beräknas enligt följande:

$$inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Slutligen beräknar vi den omskrivna cirkelns radie:

$$circumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

Speciella rätvinkliga trianglar

Det finns två välkända, speciella rätvinkliga trianglar som lärs ut överallt inom geometrin: 45-45-90-triangeln och 30-60-90-triangeln. Sidlängderna i dessa specifika trianglar följer alltid fasta och förutsägbara förhållanden.

Den likbenta rätvinkliga triangeln

En rätvinklig triangel med två spetsiga vinklar som mäter exakt 45° kallas för en likbent rätvinklig triangel. Eftersom två vinklar är identiska, är även de två kateterna lika långa. Förhållandet mellan dess sidor (a : b : c) är alltid:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

30-60-90-triangeln

I denna rätvinkliga triangel mäter de spetsiga vinklarna exakt 30° och 60°. Sidlängderna följer detta exakta förhållande:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

där 'a' är sidan motsatt 30°-vinkeln, 'b' är sidan motsatt 60°-vinkeln, och 'c' är hypotenusan.