محاسبه‌گر مثلث قائم‌الزاویه

محاسبه‌گر مثلث قائم‌الزاویه

محاسبه‌گر مثلث قائم‌الزاویه، یک حل‌کننده آنلاین مثلث است که تنها بر روی مثلث‌های قائم‌الزاویه تمرکز دارد. این محاسبه‌گر با گرفتن هر دو مقدار از مثلث قائم‌الزاویه به عنوان ورودی، اندازه‌های گمشده مثلث را محاسبه می‌کند. مقادیر شامل شده عبارتند از – طول اضلاع مثلث (a، b و c)، مقادیر زاویه به جز زاویه قائم (α و β)، محیط (P)، مساحت (A)، و ارتفاع تا وتر (h).

برای استفاده از محاسبه‌گر، هر دو از مقادیر فوق را وارد کنید و دکمه "محاسبه" را فشار دهید.

مقادیر زاویه می‌توانند هم به درجه و هم به رادیان وارد شوند. برای وارد کردن مقدار به رادیان با استفاده از π، از نمادگذاری زیر استفاده کنید: "pi." به عنوان مثال، اگر مقدار زاویه داده شده π/3 باشد، "pi/3" را وارد کنید.

محاسبه‌گر تمام مقادیر گمشده و مراحل محاسبه را نشان می‌دهد. همچنین، محاسبه‌گر نمای مقیاس‌شده از مثلث مربوطه و مقادیر شعاع داخلی و محیطی را نمایش می‌دهد.

محدودیت‌ها در مقادیر ورودی محاسبه‌گر مثلث

1. فقط می‌توانید دو مقدار وارد کنید.
2. مقادیر زاویه‌های α و β باید کمتر از 90 درجه یا (π/2) راد باشند.
3. طول ارتفاع تا وتر (h) نباید از طول هیچ یک از کاتت‌ها (a یا b) بیشتر باشد.
4. طول هر ضلع از مثلث (a، b، یا c) باید کمتر از مجموع دو ضلع دیگر باشد.
5. برای هر طول وتر داده شده، مثلث حداکثر محیطی دارد. محاسبه‌گر هیچ محیطی را که از این مقدار بیشتر باشد، قبول نمی‌کند. حداکثر محیط مثلث قائم‌الزاویه با طول وتر داده شده متناظر با حالت مثلث متساوی‌الساقین است (a=b). در این حالت \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$ و حداکثر محیط \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$ است.

مثلث قائم‌الزاویه: تعریف و اطلاعات مفید

مثلث قائم‌الزاویه، مثلثی است که یکی از زوایای آن برابر با 90 درجه یا \$\frac{π}{2}\ rad\$ است. ضلع مقابل به زاویه قائم، وتر نامیده می‌شود. دو ضلع دیگر، کاتت‌ها یا پاهای مثلث نامیده می‌شوند.

پای b گاهی اوقات به عنوان پایه مثلث قائم‌الزاویه و پای a به عنوان ارتفاع مثلث قائم‌الزاویه نامیده می‌شود.

پاهای مثلث همیشه کوتاه‌تر از وتر هستند. از آنجایی که یکی از زوایای مثلث برابر با 90 درجه است و مجموع تمام زوایای هر مثلث 180 درجه است، مجموع دو زاویه دیگر مثلث قائم‌الزاویه نیز 90 درجه است: α+β=90°. طول اضلاع مثلث به یکدیگر مرتبط هستند همانطور که در قضیه فیثاغورس توضیح داده شده است.

قضیه فیثاغورس

قضیه فیثاغورس، طول همه اضلاع یک مثلث قائم‌الزاویه را به هم مرتبط می‌کند. این قضیه بیان می‌کند که مربع طول وتر برابر با مجموع مربعات طول دو پا است:

$$c^2=a^2+b^2$$

بنابراین، اگر تنها طول کاتت‌ها معلوم باشد، طول وتر به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

فرض کنید ما طول یکی از کاتت‌ها و طول وتر را می‌دانیم. در این صورت، می‌توانیم طول کاتت دیگر را به شکل زیر محاسبه کنیم:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

قضیه فیثاغورس مهم‌ترین قضیه در مورد مثلث قائم‌الزاویه و یکی از مهم‌ترین قضایا در هندسه اقلیدسی است.

فرمول‌های ضروری دیگر

به جز قضیه فیثاغورس، روابط زیر برای محاسبه مقادیر گمشده یک مثلث قائم‌الزاویه استفاده می‌شوند:

محیط یک مثلث، جمع طول همه اضلاع آن است و به صورت زیر یافت می‌شود:

$$P = a + b + c$$

مساحت یک مثلث قائم‌الزاویه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

برای یافتن زوایای یک مثلث قائم‌الزاویه، باید سینوس، کسینوس، و تانژانت زوایا را محاسبه کنیم. برای یافتن سینوس، کسینوس، یا تانژانت یک زاویه، باید اضلاع مجاور و مقابل آن زاویه را شناسایی کنیم. یک وتر و یکی دیگر از اضلاع، هر دو زاویه حاده مثلث قائم‌الزاویه را تشکیل می‌دهند. این ضلع دیگر، ضلع مجاور زاویه مربوطه است. بنابراین، ضلع باقیمانده، ضلع مقابل این زاویه است. به عنوان مثال، در شکل زیر، a ضلع مقابل زاویه α و b ضلع مجاور است.

سینوس هر زاویه حاده در مثلث قائم‌الزاویه می‌تواند به عنوان نسبت طول ضلع مقابل به طول وتر یافت شود:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

کسینوس هر زاویه حاده در مثلث قائم‌الزاویه می‌تواند به عنوان نسبت طول ضلع مجاور به طول وتر محاسبه شود:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

تانژانت هر زاویه حاده در مثلث قائم‌الزاویه می‌تواند به عنوان نسبت طول ضلع مقابل به طول ضلع مجاور یافت شود:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

طول ارتفاع به وتر به صورت زیر محاسبه می‌شود:

$$h=\frac{ab}{c}$$

ماشین حساب همچنین شعاع و محیط یک مثلث داده شده را با استفاده از فرمول‌های زیر پیدا می‌کند:

$$شعاع داخلی=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$شعاع بیرونی=\frac{c}{2}$$

مثال محاسبه

فرض کنید ما یک مثلث داریم که طول دو پایه آن شناخته شده است: \$a = 3\$ و \$b = 4\$. بیایید تمام مقادیر ناشناخته مثلث را پیدا کنیم.

ابتدا، بیایید طول وتر \$c\$ را با استفاده از قضیه فیثاغورس پیدا کنیم:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

حالا، بیایید مقادیر زاویه‌های مثلث را پیدا کنیم. همانطور که بالاتر ذکر شد،

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

بنابراین،

$$\alpha=\arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=\arcsin(0.6)=0.6435\ رادیان\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

به طور مشابه

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

بنابراین

$$\beta=\arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=\arcsin(0.8)=0.9273\ رادیان\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

بیایید ارتفاع به وتر، \$h\$، را پیدا کنیم:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3\times4}{5}=\frac{12}{5}=2.4$$

برای مساحت مثلث، داریم:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a\times b}{2}=\frac{3\times4}{2}=6$$

برای محیط مثلث داده شده، داریم:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

شعاع داخلی می‌تواند به شکل زیر محاسبه شود:

$$شعاع داخلی=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3\times4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

و در نهایت، شعاع بیرونی:

$$شعاع بیرونی=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

مثلث‌های قائم‌الزاویه خاص

دو نوع خاص از مثلث‌های قائم‌الزاویه وجود دارد – مثلث 45-45-90 و مثلث 30-60-90. طول اضلاع این مثلث‌ها در نسبت خاصی به یکدیگر هستند.

مثلث متساوی‌الساقین قائم‌الزاویه

مثلث قائم‌الزاویه با اندازه‌های زاویه‌های حاده 45° و 45° دو زاویه برابر دارد. بنابراین، طول پایه‌های آن نیز برابر است، که این مثلث را هم متساوی‌الساقین و هم قائم‌الزاویه می‌سازد. طول اضلاع آن به شکل زیر با یکدیگر مرتبط هستند:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

مثلث 30-60-90

زاویه‌های حاده این مثلث 30° و 60° هستند. طول اضلاع آن به شکل زیر با یکدیگر مرتبط هستند:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

که در آن 'a' ضلع مقابل زاویه 30°، 'b' ضلع مقابل زاویه 60° و 'c' وتر است.