Kalkylator för Pythagoras sats

Denna kalkylator för Pythagoras sats hittar enkelt längden på en saknad sida i en rätvinklig triangel när de andra två sidorna är kända. Alla beräkningar baseras på den grundläggande Pythagoras sats.

Användarinstruktioner

Ange de kända sidlängderna och klicka på "Calculate" (Beräkna). Vår kalkylator för rätvinkliga trianglar returnerar omedelbart följande värden:

• Längden på den tredje sidan.
• Vinkelvärden för de icke-räta vinklarna i grader och radianer.
• Triangelns area.
• Triangelns omkrets.
• Längden på höjden mot hypotenusan.

Kalkylatorn ger också en detaljerad, steg-för-steg-lösning som du kan visa genom att klicka på "+ Show Calculation Steps" (Visa beräkningssteg).

För att underlätta inmatningen innehåller fälten för varje sida både ett heltalsvärde och ett kvadratrotsvärde, vilket gör att du enkelt kan ange exakta värden som 2√3, √3, och så vidare.

Observera att längderna på triangelns kateter (a och b) måste vara kortare än hypotenusans längd (c).

Pythagoras sats

Pythagoras sats säger att i en rätvinklig triangel är kvadraten på hypotenusan (den längsta sidan) lika med summan av kvadraterna på de andra två sidorna (kateterna).

Ekvationen för Pythagoras sats kan skrivas på följande sätt:

a² + b² = c²,

Där a och b representerar längderna på de kortare sidorna, eller kateterna, i en rätvinklig triangel, och c är längden på den längsta sidan, eller hypotenusan. Med ord utläses ekvationen ovan vanligtvis som: a i kvadrat plus b i kvadrat är lika med c i kvadrat.

Bevis av Pythagoras sats

Vi kan bevisa Pythagoras sats genom att jämföra areorna av specifika geometriska figurer.

I diagrammet ovan innehåller en stor kvadrat med sidlängden (a + b) en mindre inre kvadrat med sidlängden c, omgiven av fyra identiska rätvinkliga trianglar med sidorna a, b och c. Låt oss beräkna den totala arean för den stora kvadraten med hjälp av två olika metoder:

1. Arean av den större kvadraten med sidlängden (a + b) kan beräknas som (a + b)²:

A = (a + b)²

2. Alternativt kan samma totala area beräknas genom att addera areorna för de inre figurerna — arean av den inre kvadraten med sidan c, och areorna av de fyra rätvinkliga trianglarna med sidorna a, b och c. Arean av den inre kvadraten beräknas som c². Arean av varje rätvinklig triangel beräknas som (ab)/2. Därför får vi:

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Eftersom båda dessa beräkningar beskriver exakt samma totala area, kan vi likställa dem:

(a + b)² = c² + 2ab

Om vi utvecklar kvadreringsregeln på vänster sida av ekvationen får vi:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Genom att subtrahera 2ab från båda sidor av ekvationen får vi:

a² + b² = c²

vilket matematiskt bevisar Pythagoras sats.

Beräkningsalgoritmer

Hitta sidorna i en rätvinklig triangel

Om två sidor i en rätvinklig triangel är kända, kan den saknade tredje sidan enkelt beräknas med Pythagoras sats. Till exempel, om sidorna a och b är givna, kan längden på hypotenusan c beräknas enligt följande:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

På motsvarande sätt, för att hitta en saknad katet:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

och

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Beräkna vinklarna i en rätvinklig triangel

Om alla tre sidor i den rätvinkliga triangeln är kända kan de icke-räta vinklarna beräknas på följande sätt:

• ∠α = arcsin(a/c) eller ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) eller ∠β = arccos(a/c)

Här representerar ∠α vinkeln som står motsatt katet 'a', ∠β är vinkeln som står motsatt katet 'b', och 'c' är hypotenusan. Valet mellan att använda arcsin (invers sinus) och arccos (invers cosinus) beror på vilken katet du utgår ifrån i förhållande till vinkeln. Arcsin-funktionen använder kateten som står motsatt vinkeln (motstående katet), medan arccos-funktionen använder den närliggande kateten. Båda trigonometriska metoderna är helt korrekta och ger exakta vinkelmått för alla rätvinkliga trianglar.

Arean av en rätvinklig triangel

Arean av en rätvinklig triangel beräknas som hälften av produkten av dess två kateter:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Omkretsen av en rätvinklig triangel

Omkretsen av en rätvinklig triangel är helt enkelt summan av alla dess sidlängder:

P = a + b + c

Höjd mot hypotenusan

När alla tre sidor i en rätvinklig triangel är kända kan höjden mot hypotenusan (h) beräknas med följande formel:

h = (a × b)/c

Exempel från verkliga livet

Pythagoras sats används i stor utsträckning inom arkitektur, ingenjörskonst och byggnation för att beräkna exakta längder på nödvändiga komponenter och säkerställa att strukturer bibehåller perfekt raka, rätvinkliga hörn. Låt oss titta på ett praktiskt exempel på hur denna matematiska sats tillämpas i verkligheten.

Få plats med föremål

Föreställ dig att du ska flytta och har hyrt en flyttbil som är 4 meter lång och 3 meter hög. Du har inte många skrymmande föremål, men du äger en stege som är 4,5 meter lång. Kommer din stege att få plats i lastbilen?

Lösning

Eftersom stegens längd (4,5 meter) överstiger lastbilens längd (4 meter) är det enda sättet att få in stegen att placera den diagonalt. För att avgöra om det är matematiskt möjligt måste vi använda Pythagoras sats för att beräkna hypotenusan i en triangel där kateterna motsvarar lastbilens längd och höjd. I vårt fall är alltså a = 4 och b = 3, och vi behöver hitta hypotenusan c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Hypotenusan i en rätvinklig triangel med kateterna a = 4 och b = 3 är c = 5. Det betyder att det längsta stela föremål som får plats diagonalt inuti lastbilen är exakt 5 meter. Eftersom din stege är 4,5 meter lång kommer den enkelt att få plats!

Svar

Ja, stegen får plats.

Ytterligare beräkningar

Vår onlinekalkylator för hypotenusan beräknar även flera andra geometriska egenskaper hos den angivna rätvinkliga triangeln. Låt oss titta på de utökade resultaten för vår "flyttbilstriangel" med sidorna a = 4, b = 3 och hypotenusan c = 5.

Triangelns area:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Triangelns omkrets:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Höjd mot hypotenusan:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Vinkel motsatt sida a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Vinkel motsatt sida b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad