Калькулятор прямоугольного треугольника

Калькулятор прямоугольного треугольника

Калькулятор прямоугольного треугольника — это онлайн калькулятор, ориентированный только на прямоугольные треугольники. Он принимает в качестве входных данных любые два значения прямоугольного треугольника и вычисляет недостающие измерения. Доступны такие значения, как длины сторон треугольника (a, b и c), значения углов, кроме прямого угла (α и β), периметр (P), площадь (A) и высота к гипотенузе (h).

Чтобы использовать данный калькулятор, введите любые два из перечисленных значений и нажмите «Рассчитать». Чтобы удалить все введенные значения, нажмите «Очистить». Значения углов можно вводить как в градусах, так и в радианах.

Чтобы ввести значение в радианах с помощью π, используйте следующее обозначение: «пи». Например, если данное значение угла равно π/3, укажите «pi/3».

Калькулятор покажет все недостающие значения и этапы расчета. Также калькулятор продемонстрирует масштабируемый вид соответствующего треугольника и значения радиуса вписанной и описанной окружности.

Ограничения в отношении входных значений калькулятора треугольников

1. Вы можете ввести только два значения.
2. Угловые значения α и β должны быть меньше 90° или (π/2)rad.
3. Длина высоты к гипотенузе (h) не должна превышать длину какого-либо из катетов (a или b).
4. Длина каждой стороны треугольника (a, b или c) должна быть меньше суммы двух других сторон.
5. При любой заданной длине гипотенузы у треугольника есть максимальный периметр. Калькулятор не примет периметр, превышающий это значение. Максимальный периметр прямоугольного треугольника при заданной длине гипотенузы соответствует случаю равнобедренного треугольника (a=b). В этом случае \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, а максимальный периметр \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Прямоугольный треугольник: определение и полезная информация

Прямоугольный треугольник – это треугольник, в котором один угол равен 90° или \$\frac{π}{2}\ rad\$. Сторона, противолежащая прямому углу, называется гипотенузой. Две другие стороны называются катетами или сторонами треугольника. Катет b иногда называют основанием прямоугольного треугольника, а катет a - его высотой.

Катеты треугольника всегда короче гипотенузы. Поскольку один угол треугольника равен 90°, а сумма всех углов любого треугольника равна 180°, сумма двух других углов прямоугольного треугольника также равна 90°: α+β=90°. Длины сторон треугольника связаны друг с другом, как это описано в теореме Пифагора.

Теорема Пифагора

Теорема Пифагора связывает длины всех сторон прямоугольного треугольника. В ней говорится, что квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов:

$$c^2=a^2+b²$$

Cледовательно, если известны только длины катетов, длину гипотенузы можно вычислить следующим образом:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Предположим, мы знаем длину одного катета и длину гипотенузы. В этом случае мы можем рассчитать длину другого катета следующим образом:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Теорема Пифагора — это важнейшая теорема о прямоугольном треугольнике и одна из важнейших теорем евклидовой геометрии.

Другие важные формулы

Помимо теоремы Пифагора, для вычисления недостающих значений прямоугольного треугольника используются следующие соотношения:

Периметр треугольника равен сумме длин всех его сторон и находится как

$$P = a + b + c$$

Площадь прямоугольного треугольника рассчитывается как

$$A = \left(\frac{1}{2}\right)ab$$

Чтобы найти углы прямоугольного треугольника, нужно вычислить синус, косинус и тангенс углов. Чтобы найти синус, косинус или тангенс угла, нужно определить прилежащие и противоположные стороны угла. Гипотенуза и другая сторона образуют два острых угла прямоугольного треугольника. Эта другая сторона является прилежащей стороной соответствующего угла. Таким образом, оставшаяся сторона является противоположной стороной этого угла. Например, на прилагаемой к калькулятору иллюстрации a — это сторона, противоположная углу α, а b - прилежащая сторона.

Синус любого острого угла прямоугольного треугольника можно найти как длину противоположной стороны, разделенную на длину гипотенузы:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Косинус любого острого угла прямоугольного треугольника можно рассчитать, как длину прилежащей стороны, разделенную на длину гипотенузы:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Тангенс любого острого угла прямоугольного треугольника можно найти как отношение длины противолежащего катета к длине прилежащего:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Длина высоты к гипотенузе рассчитывается как

$$h=\frac{ab}{c}$$

Калькулятор также находит значения радиуса вписанной и описанной окружности данного треугольника с помощью следующих формул:

$$Радиус\ вписанной\ окружности=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Радиус\ описанной\ окружности=\frac{c}{2}$$

Пример расчета

Предположим, у нас есть треугольник, у которого известны длины двух катетов: a=3 и b=4 Найдем все недостающие значения.

Сначала найдем длину гипотенузы c по теореме Пифагора:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Теперь найдем значения углов треугольника. Как упоминалось выше,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

следовательно,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

Аналогично,

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

следовательно

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Найдем высоту к гипотенузе, h

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Для площади треугольника мы имеем:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Для периметра данного треугольника мы имеем:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Радиус вписанной окружности рассчитывается следующим образом:

$$Радиус \ вписанной \ окружности=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

И наконец, радиус описанной окружности:

$$Радиус \ описанной \ окружности=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Особые прямоугольные треугольники

Существует два особых типа прямоугольных треугольников — треугольник 45-45-90 и треугольник 30-60-90. Длины сторон этих треугольников находятся в особом соотношении.

Равнобедренный прямоугольный треугольник

Прямоугольный треугольник с величинами острых углов 45° и 45° имеет два равных угла. Следовательно, длины его катетов также равны, что делает этот треугольник равнобедренным и прямоугольным. Длины его сторон соотносятся следующим образом:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Треугольник 30-60-90

Острые углы этого треугольника равны 30° и 60°. Длины его сторон соотносятся следующим образом:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

где "a" - сторона, противоположная углу 30°, "b" - сторона, противоположная углу 60°, а "c" - гипотенуза.