Kalkulator Trójkąta Prostokątnego

Kalkulator trójkąta prostokątnego

Kalkulator trójkąta prostokątnego to internetowe narzędzie do rozwiązywania problemów dotyczących wyłącznie trójkątów prostokątnych. Kalkulator przyjmuje dowolne dwie wartości trójkąta prostokątnego jako dane wejściowe i oblicza brakujące wymiary trójkąta. Wśród uwzględnionych wartości są – długości boków trójkąta (a, b i c), wartości kątów poza kątem prostym (α i β), obwód (P), pole (A) oraz wysokość na przeciwprostokątną (h).

Aby użyć kalkulatora, wprowadź dowolne dwie z wymienionych powyżej wartości i naciśnij "Oblicz".

Wartości kątów można wprowadzać zarówno w stopniach, jak i w radianach. Aby wprowadzić wartość w radianach używając π, użyj następującej notacji: "pi". Na przykład, jeśli podana wartość kąta to π/3, wpisz "pi/3".

Kalkulator pokaże wszystkie brakujące wartości i kroki obliczeniowe. Kalkulator pokaże również skalowany widok odpowiedniego trójkąta oraz wartości promienia okręgu wpisanego i promienia okręgu opisanego.

Ograniczenia wartości wejściowych kalkulatora trójkąta

1. Można wprowadzić tylko dwie wartości.
2. Wartości kątów α i β powinny być mniejsze niż 90° lub (π/2) rad.
3. Długość wysokości na przeciwprostokątną (h) nie powinna przekraczać długości żadnego z przyprostokątnych (a lub b).
4. Długość każdego boku trójkąta (a, b lub c) musi być mniejsza niż suma dwóch pozostałych boków.
5. Dla każdej danej długości przeciwprostokątnej trójkąt ma maksymalny obwód. Kalkulator nie zaakceptuje żadnego obwodu przekraczającego tę wartość. Maksymalny obwód trójkąta prostokątnego o danej długości przeciwprostokątnej odpowiada przypadkowi trójkąta równoramiennego (a=b). W tym przypadku \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, a maksymalny obwód \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Trójkąt prostokątny: definicja i przydatne informacje

Trójkąt prostokątny to trójkąt, w którym jeden kąt wynosi 90° lub \$\frac{π}{2}\ rad\$. Bok przeciwległy kątowi prostemu nazywa się przeciwprostokątną. Pozostałe dwa boki nazywane są przyprostokątnymi.

Przyprostokątna b jest czasami nazywana podstawą trójkąta prostokątnego, a przyprostokątna a - wysokością trójkąta prostokątnego.

Przyprostokątne trójkąta są zawsze krótsze od przeciwprostokątnej. Ponieważ jeden z kątów trójkąta wynosi 90°, a suma wszystkich kątów każdego trójkąta wynosi 180°, suma dwóch pozostałych kątów trójkąta prostokątnego wynosi również 90°: α+β=90°. Długości boków trójkąta są ze sobą powiązane, jak to jest opisane w twierdzeniu Pitagorasa.

Twierdzenie Pitagorasa

Twier

dzenie Pitagorasa wiąże długości wszystkich boków trójkąta prostokątnego. Stanowi ono, że kwadrat przeciwprostokątnej równa się sumie kwadratów przyprostokątnych:

$$c^2=a^2+b^2$$

W związku z tym, jeśli znamy tylko długości przyprostokątnych, długość przeciwprostokątnej można obliczyć następująco:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}$$

Załóżmy, że znamy długość jednej przyprostokątnej i długość przeciwprostokątnej. W takim przypadku możemy obliczyć długość drugiej przyprostokątnej następująco:

$$a=\sqrt{c^2-b^2}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Twierdzenie Pitagorasa jest najważniejszym twierdzeniem o trójkącie prostokątnym i jednym z najważniejszych twierdzeń w geometrii euklidesowej.

Inne niezbędne wzory

Oprócz twierdzenia Pitagorasa, do obliczenia brakujących wartości trójkąta prostokątnego używane są następujące zależności:

Obwód trójkąta to suma długości wszystkich jego boków i jest obliczany jako

$$P = a + b + c$$

Pole trójkąta prostokątnego oblicza się jako

$$A=\left( \frac{1}{2} \right)ab$$

Aby znaleźć kąty trójkąta prostokątnego, należy obliczyć sinus, cosinus i tangens kątów. Aby znaleźć sinus, cosinus lub tangens kąta, musimy zidentyfikować boki przyległe i przeciwległe do kąta. Przeciwprostokątna i jeden z pozostałych boków tworzą oba ostre kąty trójkąta prostokątnego. Ten drugi bok to bok przyległy do odpowiedniego kąta. Bok, który zostaje, jest więc bokiem przeciwległym do tego kąta. Na przykład, na poniższym rysunku, a jest bokiem przeciwległym do kąta α, a b jest bokiem przyległym.

Sinus dowolnego ostrego kąta w trójkącie prostokątnym można znaleźć jako długość boku przeciwległego podzieloną przez długość przeciwprostokątnej:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Cosinus dowolnego ostrego kąta w trójkącie prostokątnym można obliczyć jako długość boku przyległego podzieloną przez długość przeciwprostokątnej:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Tangens dowolnego ostrego kąta w trójkącie prostokątnym można znaleźć jako stosunek długości boku przeciwległego do długości boku przyległego:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Długość wysokości na przeciwprostokątną oblicza się jako

$$h=\frac{ab}{c}$$

Kalkulator znajduje również promień i obwód danego trójkąta, używając następujących wzorów:

$$Promień\ wpisany=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Promień\ opisany=\frac{c}{2}$$

Przykład obliczeń

Załóżmy, że mamy trójkąt, w którym znane są długości dwóch przyprostokątnych: a = 3 i b = 4. Znajdźmy wszystkie brakujące wartości trójkąta.

Najpierw znajdźmy długość przeciwprostokątnej c, używając twierdzenia Pitagorasa:

$$c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Teraz znajdźmy wartości kątów trójkąta. Jak wspomniano powyżej,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

więc

$$\alpha=\arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=\arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=\arcsin(0.6)=0.6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

Podobnie

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

więc

$$\beta=\arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=\arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=\arcsin(0.8)=0.9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Znajdźmy wysokość na przeciwprostokątną, h:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Dla pola trójkąta mamy:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Dla obwodu danego trójkąta mamy:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Promień wpisany można obliczyć w następujący sposób:

$$Promień\ wpisany=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

I wreszcie, promień opisany:

$$Promień\ opisany=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Specjalne trójkąty prostokątne

Istnieją dwa specjalne rodzaje trójkątów prostokątnych – trójkąt 45-45-90 i trójkąt 30-60-90. Długości boków tych trójkątów są w specjalnej proporcji.

Trójkąt równoramienny prostokątny

Trójkąt prostokątny o miarach kątów ostrych 45° i 45° ma dwa równe kąty. Dlatego długości jego przyprostokątnych są również równe, czyniąc ten trójkąt równoramiennym i prostokątnym. Długości jego boków są powiązane następująco:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Trójkąt 30-60-90

Kąty ostre tego trójkąta to 30° i 60°. Długości jego boków są powiązane następująco:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

gdzie 'a' to bok przeciwległy kątowi 30°, 'b' to bok przeciwległy kątowi 60°, a 'c' to przeciwprostokątna.