Rechner für rechtwinklige Dreiecke

Rechner für rechtwinklige Dreiecke

Der Rechner für rechtwinklige Dreiecke ist ein Online-Dreieckslöser, der sich nur auf rechtwinklige Dreiecke konzentriert. Der Rechner nimmt zwei beliebige Werte des rechtwinkligen Dreiecks als Eingabe und berechnet die fehlenden Maße des Dreiecks. Die einbezogenen Werte sind - die Längen der Seiten des Dreiecks (a, b und c), die Winkelwerte außer dem rechten Winkel (α und β), der Umfang (P), der Flächeninhalt (A) und die Höhe zur Hypotenuse (h).

Um den Rechner zu benutzen, geben Sie zwei beliebige der oben aufgeführten Werte ein und drücken Sie "Calculate" (Berechnen).

Die Winkelwerte können sowohl in Grad als auch in Radiant eingegeben werden. Um den Wert in Bogenmaß mit π einzugeben, verwenden Sie die folgende Schreibweise: "pi". Wenn der angegebene Winkelwert zum Beispiel π/3 ist, geben Sie "pi/3" ein.

Der Rechner zeigt alle fehlenden Werte und die Berechnungsschritte an. Der Rechner zeigt auch die maßstabsgetreue Ansicht des betreffenden Dreiecks sowie die Werte des Innenradius und des Außenradius an.

Einschränkungen bei den Eingabewerten des Dreiecksrechners

1. Sie können nur zwei Werte eingeben.
2. Die Winkelwerte von α und β sollten kleiner als 90° oder (π/2)rad sein.
3. Die Länge der Höhe-zu-Hypotenuse (h) sollte nicht größer sein als die Länge einer Kathete (a oder b).
4. Die Länge jeder Seite des Dreiecks (a, b oder c) muss kleiner sein als die Summe der beiden anderen Seiten.
5. Für jede gegebene Hypotenusenlänge hat das Dreieck einen maximalen Umfang. Der Rechner akzeptiert keine Umfänge, die diesen Wert überschreiten. Der maximale Umfang des rechtwinkligen Dreiecks mit der gegebenen Hypotenusenlänge entspricht dem Fall eines gleichschenkligen Dreiecks (a=b). In diesem Fall \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$, und der maximale Umfang \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Rechtwinkliges Dreieck: Definition und hilfreiche Informationen

Ein rechtwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei dem ein Winkel gleich 90° oder \$\frac{π}{2}\ rad\$ ist. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird Hypotenuse genannt. Die beiden anderen Seiten werden als Katheten oder Schenkel des Dreiecks bezeichnet.

Der Schenkel b wird manchmal auch als Basis des rechtwinkligen Dreiecks bezeichnet, und der Schenkel a ist die Höhe des rechtwinkligen Dreiecks.

Die Schenkel des Dreiecks sind immer kürzer als die Hypotenuse. Da ein Winkel des Dreiecks gleich 90° ist und die Summe aller Winkel eines beliebigen Dreiecks 180° beträgt, ist die Summe der beiden anderen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks ebenfalls 90°: α+β=90°. Die Längen der Seiten des Dreiecks stehen in einem Verhältnis zueinander, wie es im Satz des Pythagoras beschrieben ist.

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras setzt die Längen aller Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks zueinander in Beziehung. Er besagt, dass das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der beiden Schenkel ist:

$$c^2=a^2+b²$$

Wenn also nur die Längen der Katheten bekannt sind, kann die Länge der Hypotenuse wie folgt berechnet werden:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Angenommen, wir kennen die Länge einer Kathete und die Länge der Hypotenuse. In diesem Fall können wir die Länge der anderen Kathete wie folgt berechnen:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

Der Satz des Pythagoras ist der wichtigste Satz über das rechtwinklige Dreieck und einer der wichtigsten Lehrsätze der euklidischen Geometrie.

Andere wichtige Formeln

Neben dem Satz des Pythagoras werden die folgenden Beziehungen verwendet, um die fehlenden Werte eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen:

Der Umfang eines Dreiecks ist die Summe der Längen aller Seiten des Dreiecks und ergibt sich aus

$$P = a + b + c$$

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks wird berechnet als

$$A=\left(\frac{1}{2}\right)ab$$

Um die Winkel des rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen, müssen wir den Sinus, den Kosinus und den Tangens der Winkel berechnen. Um den Sinus, Kosinus oder Tangens eines Winkels zu bestimmen, müssen wir die angrenzenden und gegenüberliegenden Seiten des Winkels identifizieren. Eine Hypotenuse und eine weitere Seite bilden die beiden spitzen Winkel des rechtwinkligen Dreiecks. Diese andere Seite ist die angrenzende Seite des entsprechenden Winkels. Die Seite, die übrig bleibt, ist also die gegenüberliegende Seite dieses Winkels. In der folgenden Abbildung ist zum Beispiel a die gegenüberliegende Seite des Winkels α und b die angrenzende Seite.

Der Sinus eines jeden spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck lässt sich als Länge der gegenüberliegenden Seite geteilt durch die Länge der Hypotenuse ermitteln:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

Der Kosinus eines beliebigen spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck lässt sich berechnen als die Länge der angrenzenden Seite geteilt durch die Länge der Hypotenuse:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

Der Tangens eines beliebigen spitzen Winkels im rechtwinkligen Dreieck lässt sich als Verhältnis der Länge der gegenüberliegenden Seite zur Länge der angrenzenden Seite ermitteln:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

Die Länge der Höhe-zu-Hypotenuse wird berechnet als

$$h=\frac{ab}{c}$$

Der Rechner ermittelt auch den Radius und den Umfang eines gegebenen Dreiecks mit Hilfe der folgenden Formeln:

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$Zirkumradius=\frac{c}{2}$$

Berechnungsbeispiel

Nehmen wir an, wir haben ein Dreieck, bei dem die Längen der beiden Schenkel bekannt sind: a = 3 und b = 4. Lassen Sie uns alle fehlenden Werte des Dreiecks ermitteln.

Lassen Sie uns zunächst die Länge der Hypotenuse c mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermitteln:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Lassen Sie uns nun die Winkelwerte des Dreiecks ermitteln. Wie oben erwähnt,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

daher,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36,87° = 36°52'12"$$

Ähnlich

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

daher

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53,13° = 53°7'48"$$

Bestimmen wir die Höhe bis zur Hypotenuse, h:

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Für den Flächeninhalt des Dreiecks haben wir:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Für den Umfang des gegebenen Dreiecks haben wir:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

Der Inradius kann wie folgt berechnet werden:

$$Inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Und schließlich der Umfangsradius:

$$Zirkumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2.5$$

Besondere rechtwinklige Dreiecke

Es gibt zwei besondere Arten von rechtwinkligen Dreiecken - das 45-45-90-Dreieck und das 30-60-90-Dreieck. Die Längen der Seiten dieser Dreiecke stehen in einem besonderen Verhältnis.

Das gleichschenklige rechtwinklige Dreieck

Das rechtwinklige Dreieck mit den Maßen der spitzen Winkel von 45° und 45° hat zwei gleiche Winkel. Daher sind auch die Längen der Schenkel gleich, so dass dieses Dreieck gleichschenklig und rechtwinklig ist. Die Längen seiner Seiten hängen wie folgt zusammen:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

Das Dreieck 30-60-90

Die spitzen Winkel dieses Dreiecks sind 30° und 60°. Die Längen der Seiten stehen in folgender Beziehung zueinander:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

wobei "a" die Seite gegenüber dem 30°-Winkel, "b" die Seite gegenüber dem 60°-Winkel und "c" die Hypotenuse ist.