Calculadora de triángulos rectángulos

Calculadora de triángulos rectángulos

La calculadora de triángulos rectángulos es un solucionador de triángulos en línea que se enfoca únicamente en los triángulos rectángulos. La calculadora toma dos valores cualesquiera del triángulo rectángulo como entrada y calcula las medidas del triángulo que faltan. Los valores incluidos son: las longitudes de los lados del triángulo (a, b y \ c), los valores de los ángulos excepto el ángulo recto (α y β), el perímetro (P), el área (A) y la altura a hipotenusa (h).

Para usar la calculadora, ingrese cualquiera de los dos valores enumerados anteriormente y presione "Calcular". Para borrar todos los valores de entrada, presione "Borrar". Los valores de los ángulos se pueden ingresar tanto en grados como en radianes.

Para ingresar el valor en radianes usando π, use la siguiente notación: “pi”. Por ejemplo, si el valor del ángulo dado es π/3, inserte "pi/3".

La calculadora mostrará todos los valores faltantes y los pasos de cálculo. La calculadora también mostrará la vista a escala del triángulo y los valores del radio del círculo inscrito y el radio del círculo circunscrito.

Limitaciones en los valores de entrada de la calculadora de triángulos

1. Solo puede ingresar dos valores.
2. Los valores de los ángulos de α y β deben ser menores a 90° o (π/2)rad.
3. La longitud de la altura a la hipotenusa (h) no debe exceder la longitud de ninguno de los catetos (a o b).
4. La longitud de cada lado del triángulo (a, b o c) debe ser menor que la suma de los otros dos lados.
5. Para cualquier longitud dada de la hipotenusa, el triángulo tiene un perímetro máximo. La calculadora no aceptará ningún perímetro que supere este valor. El perímetro máximo del triángulo rectángulo con la longitud de hipotenusa dada correspondiente al caso de un triángulo isósceles (a=b). En este caso \$a=b=\frac{c}{\sqrt2}\$ , y el perímetro máximo \$P=a+b+c=c+\frac{2c}{\sqrt2}\$.

Triángulo rectángulo: definición e información útil

Un triángulo rectángulo es un triángulo donde un ángulo es igual a 90° o \$\frac{π}{2}\ rad\$. El lado opuesto al ángulo recto se llama hipotenusa. Los otros dos lados se llaman catetos del triángulo.

El cateto b a veces se llama la base del triángulo rectángulo, y el cateto a es la altura del triángulo rectángulo.

Los catetos del triángulo siempre son más cortos que la hipotenusa. Dado que un ángulo del triángulo es igual a 90°, y la suma de todos los ángulos de cualquier triángulo es 180°, la suma de los otros dos ángulos del triángulo rectángulo también es 90°: α+β=90°. Las longitudes de los lados del triángulo están relacionadas entre sí como se describe en el teorema de Pitágoras.

El teorema de Pitágoras

El teorema de Pitágoras relaciona las longitudes de todos los lados de un triángulo rectángulo. Establece que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los dos catetos:

$$c^2=a^2+b²$$

En consecuencia, si solo se conocen las longitudes de los catetos, la longitud de la hipotenusa se puede calcular de la siguiente manera:

$$c=\sqrt{a^2+b²}$$

Supongamos que conocemos la longitud de un cateto y la longitud de la hipotenusa. En ese caso, podemos calcular la longitud del otro cateto de la siguiente manera:

$$a=\sqrt{c^2-b²}$$

$$b=\sqrt{c^2-a^2}$$

El teorema de Pitágoras es el teorema más importante del triángulo rectángulo y uno de los teoremas más importantes de la geometría euclidiana.

Otras fórmulas importantes

Además del teorema de Pitágoras, las siguientes relaciones se utilizan para calcular los valores faltantes de un triángulo rectángulo:

El perímetro de un triángulo es la suma de las longitudes de todos sus lados y se encuentra como

$$P = a + b + c$$

El área de un triángulo rectángulo se calcula como

$$A = \left(\frac{1}{2}\right)ab$$

Para encontrar los ángulos del triángulo rectángulo, debemos calcular el seno, el coseno y la tangente de los ángulos. Para encontrar el seno, el coseno o la tangente de un ángulo, necesitamos identificar los lados adyacentes y opuestos del ángulo. Una hipotenusa y otro lado forman ambos ángulos agudos del triángulo rectángulo. Este otro lado es el lado adyacente del ángulo correspondiente. El lado que queda es, por lo tanto, el lado opuesto de este ángulo. Por ejemplo, en la figura proporcionada con la calculadora, a es el lado opuesto del ángulo α y b es el lado adyacente.

El seno de cualquier ángulo agudo en el triángulo rectángulo se puede encontrar como la longitud del lado opuesto dividida por la longitud de la hipotenusa:

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}, \sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

El coseno de cualquier ángulo agudo en el triángulo rectángulo se puede calcular como la longitud del lado adyacente dividida por la longitud de la hipotenusa:

$$\cos{\alpha}=\frac{b}{c}, \cos{\beta}=\frac{a}{c}$$

La tangente de cualquier ángulo agudo en el triángulo rectángulo se puede encontrar como la razón de la longitud del lado opuesto a la longitud del lado adyacente:

$$\tan{\alpha}=\frac{a}{b}, \tan{\beta}=\frac{b}{a}$$

La longitud de la altura a la hipotenusa se calcula como

$$h=\frac{ab}{c}$$

La calculadora también encuentra los valores del radio de la circunferencia inscrita y el radio de la circunferencia circunscrita del triángulo dado con la ayuda de las siguientes fórmulas:

$$inradius=\frac{ab}{a+b+c}$$

$$circumradius=\frac{c}{2}$$

Ejemplo de cálculo

Supongamos que tenemos un triángulo donde se conocen las longitudes de los dos catetos: a=3 y b=4. Encontremos todos los valores faltantes del triángulo.

Primero, encontremos la longitud de la hipotenusa c usando el teorema de Pitágoras:

$$c=\sqrt{a^2+b²}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}+\sqrt{25}=5$$

$$c=5$$

Ahora, encontremos los valores de los ángulos del triángulo. Como se ha mencionado más arriba,

$$\sin{\alpha}=\frac{a}{c}$$

por lo tanto,

$$\alpha=arcsin\left(\frac{a}{c}\right)$$

$$\alpha=arcsin\left(\frac{3}{5}\right)=arcsin(0,6)=0,6435\ rad\ =\ 36.87° = 36°52'12"$$

Similarmente

$$\sin{\beta}=\frac{b}{c}$$

por lo tanto

$$\beta=arcsin\left(\frac{b}{c}\right)$$

$$\beta=arcsin\left(\frac{4}{5}\right)=arcsin(0,8)=0,9273\ rad\ =\ 53.13° = 53°7'48"$$

Encontremos la altura a la hipotenusa, h

$$h=\frac{ab}{c}=\frac{3×4}{5}=\frac{12}{5}=2,4$$

Para el área del triángulo tenemos:

$$A=\frac{1}{2}ab=\frac{a× b}{2}=\frac{3×4}{2}=6$$

Para el perímetro del triángulo dado, tenemos:

$$P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12$$

El radio del círculo inscrito se puede calcular de la siguiente manera:

$$inradius=\frac{ab}{a+b+c}=\frac{3×4}{3+4+5}=\frac{12}{12}=1$$

Y finalmente, el radio del círculo circunscrito:

$$circumradius=\frac{c}{2}=\frac{5}{2}=2,5$$

Triángulos rectángulos especiales

Hay dos tipos especiales de triángulos rectángulos: el triángulo 45-45-90 y el triángulo 30-60-90. Las longitudes de los lados de estos triángulos están en una relación especial.

El triángulo rectángulo isósceles

El triángulo rectángulo con las medidas de los ángulos agudos de 45° y 45° tiene dos ángulos iguales. Por lo tanto, las longitudes de sus catetos también son iguales, lo que hace que este triángulo sea isósceles y rectángulo. Las longitudes de sus lados se relacionan de la siguiente manera:

$$a : b : c = 1 : 1 : \sqrt{2}$$

El triángulo 30-60-90

Los ángulos agudos de este triángulo miden 30° y 60°. Las longitudes de sus lados se relacionan de la siguiente manera:

$$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$$

donde "a" es el lado opuesto al ángulo de 30°, "b" es el lado opuesto al ángulo de 60° y "c" es la hipotenusa.