Pisagor Teoremi Hesaplayıcı

Bu Pisagor hesaplayıcısı, dik üçgenin diğer iki kenar uzunluğu biliniyorsa üçüncü bir kenarın uzunluğunu bulur. Hesaplamalar, Pisagor teoremine dayanarak yapılır.

Kullanım Talimatları

Bilinen kenar uzunluklarını girin ve "Hesapla"ya basın. Hesaplayıcı aşağıdaki değerleri döndürecektir:

• Üçüncü kenarın uzunluğu.
• 90° olmayan açıların derece ve radyan cinsinden açı değerleri.
• Üçgenin alanı.
• Üçgenin çevresi.
• Hipotenüse dik olan yüksekliğin uzunluğu.

Hesaplayıcı ayrıca detaylı çözümü de döndürecektir, bunu "+ Hesaplama Adımlarını Göster"e basarak genişletebilirsiniz.

Her kenar için giriş alanlarının tam sayı kısmı ve karekök kısmı olduğunu unutmayın, böylece 2√3, √3 gibi değerleri kolayca girebilirsiniz.

Ayrıca, üçgenin bacakları olan a ve b değerlerinin, hipotenüs olan c değerinden daha kısa olması gerektiğini unutmayın.

Pisagor Teoremi

Pisagor teoremi, dik bir üçgende, hipotenüsün uzunluğunun karesi, dik kenarların uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir.

Pisagor teoremi şu şekilde yazılabilir:

a² + b² = c²,

Burada a ve b, dik bir üçgenin daha kısa kenarları veya bacakları, c ise en uzun kenar veya hipotenüsün uzunluğudur. Yukarıdaki denklem şu şekilde açıklanabilir: a'nın karesi artı b'nin karesi, c'nin karesine eşittir.

Pisagor Teoreminin Kanıtı

Alanları toplayarak Pisagor teoremini kanıtlayalım.

Yukarıdaki resimde, (a + b) kenarlı kare, c kenarlı bir kare ve a, b, c kenarları olan dört dik üçgenden oluşmaktadır. Bu karenin alanını iki farklı strateji kullanarak bulalım:

1. (a + b) kenar uzunluğuna sahip karenin yüzey alanı (a + b)² olarak hesaplanabilir:

A = (a + b)²

2. Aynı yüzey alanı, kareyi oluşturan şekillerin yüzey alanlarının toplamı olarak bulunabilir – c kenarlı bir karenin alanı ve a, b, c kenarlı dört üçgenin alanı. c kenarlı karenin alanı c² olarak hesaplanabilir. a, b, c kenarlı dik üçgenin alanı (ab)/2 olarak bulunabilir. Bu nedenle,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Bu iki hesaplama aynı yüzey alanını tarif ettiği için, onları eşitleyebiliriz:

(a + b)² = c² + 2ab

Denklemin sol tarafındaki karenin açılmasıyla şunu elde ederiz:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Her iki tarafından da 2ab çıkartarak şunu elde ederiz:

a² + b² = c²

ki bu da aranan sonuçtur.

Hesaplama Algoritmaları

Dik Üçgenin Kenarlarını Bulma

Eğer dik üçgenin iki kenarı verilmişse, üçüncü kenar Pisagor teoremi kullanılarak bulunabilir. Örneğin, a ve b kenarları verilmişse, c kenarının uzunluğu şu şekilde bulunabilir:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Benzer şekilde,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

ve

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Dik Üçgenin Açılarını Bulma

Dik üçgenin tüm kenarları biliniyorsa, 90° olmayan üçgenin açıları şu şekilde bulunabilir:

• ∠α = arcsin(a/c) veya ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) veya ∠β = arccos(a/c)

Burada, ∠α 'a' bacağına karşı olan açı, ∠β 'b' bacağına karşı olan açı ve 'c' hipotenüstür. arcsin ve arccos arasındaki seçim, hangi bacağı (a veya b) açıya göre düşündüğünüze bağlıdır. arcsin kullanırken, açıya karşı olan bacağı, arccos kullanırken ise açıya bitişik olan bacağı kullanırsınız. Her iki yaklaşım da geçerlidir ve size dik bir üçgende doğru açı ölçümlerini verecektir.

Dik Üçgenin Alanı

Dik üçgenin alanı, bacaklarının çarpımının yarısı olarak hesaplanabilir:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Dik Üçgenin Çevresi

Dik üçgenin çevresi, tüm kenarlarının toplamı olarak hesaplanır:

P = a + b + c

Hipotenüse Dik Yükseklik

Dik üçgenin tüm kenarları biliniyorsa, hipotenüse dik yükseklik, h, şu şekilde bulunabilir:

h = (a × b)/c

Gerçek Hayat Örnekleri

Pisagor teoremi, mimarlık ve inşaat sektöründe gerekli bileşenlerin uzunluklarını hesaplamak ve inşa edilen binaların açılarının doğru olmasını sağlamak için yaygın olarak kullanılır. Teoremi uygulayan bir örneğe bakalım.

Nesnelerin Sığdırılması

Taşınmayı düşünün ve 4 metre uzunluğunda ve 3 metre yüksekliğinde bir taşıma kamyonu kiraladınız. Çok büyük eşyalarınız yok, ancak 4,5 metre uzunluğunda bir merdiveniniz var. Merdiveniniz kamyonun içine sığar mı?

Çözüm

Merdivenin uzunluğu, 4,5 metre, kamyonun uzunluğundan, 4 metre, fazla olduğundan, merdivenin içine sığabilmesi için tek yol çapraz olacaktır. Bunun mümkün olup olmadığını belirlemek için, kamyonun uzunluğu ve yüksekliğine eşit kenarları olan bir üçgenin hipotenüsünü hesaplamak için Pisagor teoremini kullanmamız gerekiyor. Bu durumda a = 4, b = 3 ve c'yi bulmamız gerekiyor:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

a = 4 ve b = 3 olan bir üçgenin hipotenüsü c = 5'tir. Bu nedenle, kamyonun içine sığabilecek en uzun nesne 5 metre olabilir. Merdiveniniz 4,5 metre uzunluğundadır. Bu nedenle, kolayca sığacaktır!

Cevap

Evet, merdiven sığacak.

Ek Hesaplamalar

Bu çevrimiçi hesaplayıcı, verilen üçgenin bazı ek özelliklerini de bulacaktır. a = 4, b = 3 ve c = 5 olan üçgen için bu özellikleri hesaplayın.

Üçgenin Alanı:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Üçgenin Çevresi:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Hipotenüse Dik Yükseklik:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

a Kenarına Karşı Açı:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

b Kenarına Karşı Açı:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad