ピタゴラスの定理計算機

このピタゴラスの定理計算機（三平方の定理計算ツール）は、直角三角形の2辺の長さから、残りの1辺の長さを自動的に計算します。計算はピタゴラスの定理（三平方の定理）に基づいて高精度に行われます。

使用方法

わかっている2辺の長さを入力し、「計算」ボタンを押すだけです。この計算機は以下の値を算出します：

• 3番目の辺の長さ
• 90°（直角）以外の角度（度数法および弧度法・ラジアン）
• 直角三角形の面積
• 直角三角形の周囲の長さ（外周）
• 斜辺に対する垂線の長さ（高さ）

当ツールは計算のプロセス（途中式）も提供しており、「+計算ステップを表示」をクリックすると詳細を確認できます。 各辺の入力フィールドは整数部分と平方根部分に分かれているため、「2√3」や「√3」といった無理数の値も簡単に入力可能です。

なお、直角三角形の直角を挟む2辺（短い辺）である a と b の値は、必ず斜辺 c の値よりも短くなければならない点にご注意ください。

ピタゴラスの定理（三平方の定理）とは

ピタゴラスの定理（三平方の定理）とは、直角三角形において「斜辺の長さの2乗は、他の2辺の長さの2乗の和に等しい」という幾何学の基本定理です。

ピタゴラスの定理の公式は次のように記述できます：

a² + b² = c²

ここで、aとbは直角三角形の直角を挟む2辺の長さを表し、cは最も長い辺である斜辺の長さを表します。上記の公式は「aの2乗とbの2乗の和は、cの2乗に等しい」ということを示しています。

ピタゴラスの定理の証明

図形の面積を利用して、ピタゴラスの定理を証明してみましょう。

上の画像において、1辺の長さが (a + b) の大きな正方形は、1辺が c の小さな正方形1つと、辺の長さが a、b、c の直角三角形4つで構成されています。この大きな正方形の面積を、2つの異なる方法で計算してみましょう：

1. 1辺の長さが (a + b) の正方形の面積は、(a + b)² として計算できます：

A = (a + b)²

2. 同じ正方形の面積を、それを構成する図形の面積の合計として求めることもできます。つまり、1辺が c の正方形の面積と、辺が a、b、c の4つの直角三角形の面積の和です。1辺が c の正方形の面積は c² となります。また、辺が a、b、c の直角三角形の面積は (ab)/2 となります。したがって、全体の面積は以下のようになります：

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

これら2つの計算式は同じ正方形の面積を表しているため、以下のように等式で結ぶことができます：

(a + b)² = c² + 2ab

方程式の左辺を展開すると、次のようになります：

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

方程式の両辺から 2ab を引くと、次の式が得られます：

a² + b² = c²

これにより、ピタゴラスの定理が証明されました。

計算アルゴリズム

直角三角形の辺の長さを求める

直角三角形の2辺の長さがわかっている場合、ピタゴラスの定理を使用して3番目の辺の長さを計算できます。たとえば、辺aとbが既知の場合、斜辺cの長さは次のように求められます：

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

同様に、他の辺の長さも次のように計算できます：

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

および

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

直角三角形の角度の求め方

直角三角形の3つの辺の長さがすべてわかっている場合、90°（直角）以外の角度は次のように求めることができます：

• ∠α = arcsin(a/c) または ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) または ∠β = arccos(a/c)

ここで、∠αは辺aの対角、∠βは辺bの対角であり、cは斜辺を表します。arcsin（アークサイン）とarccos（アークコサイン）のどちらを使用するかは、基準とする角度に対してどの辺（aまたはb）を用いるかによって決まります。arcsinを使用する場合は角度の対辺（向かい合う辺）を用い、arccosを使用する場合は角度の隣辺（隣り合う辺）を用います。どちらの計算方法も有効であり、直角三角形の正確な角度を算出できます。

直角三角形の面積の求め方

直角三角形の面積は、直角を挟む2辺の積を1/2にすることで計算できます（底辺×高さ÷2）：

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

直角三角形の周囲の長さ（外周）

直角三角形の周囲の長さは、3つの辺の長さの合計として計算されます：

P = a + b + c

斜辺に対する垂線の長さ（高さ）

直角三角形の3つの辺の長さがすべてわかっている場合、斜辺に下ろした垂線の長さ（高さ）hは次のように求められます：

h = (a × b)/c

日常生活における実例

ピタゴラスの定理（三平方の定理）は、必要な部材の長さを計算したり、建築物の角度が正確であることを確認したりするために、建築や建設の分野で広く活用されています。ここでは、定理を実際に応用する例を見てみましょう。

荷物の積み込みテスト

引っ越しをすることになり、荷台の長さが4メートル、高さが3メートルのトラックをレンタルしたと想像してください。大きな荷物はそれほど多くありませんが、長さ4.5メートルのはしごを持っています。このはしごはトラックの荷台に収まるでしょうか？

解法

はしごの長さ（4.5メートル）はトラックの荷台の長さ（4メートル）を超えているため、はしごを収める唯一の方法は対角線上に配置することです。これが可能かどうかを判断するために、ピタゴラスの定理を使用して、トラックの荷台の長さと高さを2辺とする直角三角形の斜辺を計算します。この場合、a = 4、b = 3として、斜辺cを求めます：

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

a = 4 および b = 3 の直角三角形の斜辺は c = 5 となります。したがって、このトラックの荷台に収まる物体の最大の長さは5メートルです。はしごの長さは4.5メートルなので、問題なく収まることがわかります！

答え

はい、はしごはトラックに収まります。

追加の計算機能

このオンラインピタゴラス計算機では、入力された直角三角形に関するその他の重要な特性も自動的に算出します。先ほどの a = 4、b = 3、c = 5 の直角三角形を例に、これらの特性を計算してみましょう。

直角三角形の面積:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

直角三角形の周囲の長さ:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

斜辺に下ろした垂線の長さ（高さ）:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2.4

辺aの対角:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0.8) = 53.13° = 53°7'48" = 0.9273 rad

辺bの対角:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0.6) = 36.87° = 36°52'12" = 0.6435 rad