Rechner für den Satz des Pythagoras

Dieser Pythagoras-Rechner ermittelt präzise die fehlende Seitenlänge eines rechtwinkligen Dreiecks, sobald die beiden anderen Seiten bekannt sind. Alle Berechnungen basieren auf dem berühmten Satz des Pythagoras.

So nutzen Sie den Rechner

Geben Sie einfach die bekannten Seitenlängen ein und klicken Sie auf "Berechnen". Unser Rechner liefert Ihnen umgehend die folgenden Werte:

• Die Länge der dritten Seite.
• Die Winkelwerte der beiden spitzen Winkel (Nicht-90°-Winkel) in Grad und Bogenmaß (Radiant).
• Den Flächeninhalt des Dreiecks.
• Den Umfang des Dreiecks.
• Die Länge der Höhe, die senkrecht auf die Hypotenuse trifft.

Zusätzlich erstellt der Rechner einen detaillierten Lösungsweg, den Sie sich mit einem Klick auf "+ Berechnungsschritte anzeigen" ausklappen lassen können.

Praktischer Hinweis: Die Eingabefelder für jede Seite unterstützen sowohl ganze Zahlen als auch Quadratwurzeln. So können Sie ganz bequem exakte Werte wie 2√3 oder √3 eingeben.

Bitte beachten Sie: Die Werte für a und b (die Katheten des Dreiecks) müssen stets kleiner sein als der Wert für c (die Hypotenuse).

Der Satz des Pythagoras einfach erklärt

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse exakt der Summe der Quadrate der beiden Kathetenlängen entspricht.

Als mathematische Formel lässt sich der Satz des Pythagoras wie folgt ausdrücken:

a² + b² = c²

Hierbei stehen a und b für die Längen der kürzeren Seiten (die sogenannten Katheten) eines rechtwinkligen Dreiecks und c repräsentiert die Länge der längsten Seite (die Hypotenuse). In Worten ausgedrückt lautet die obige Gleichung: a zum Quadrat plus b zum Quadrat ist gleich c zum Quadrat.

Beweis des Satzes von Pythagoras

Lassen Sie uns den Satz des Pythagoras anhand einer Flächenaddition beweisen.

In der obigen Abbildung setzt sich das große Quadrat mit der Seitenlänge (a + b) aus einem kleineren Quadrat mit der Seitenlänge c und vier rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten a, b und c zusammen. Wir können den Flächeninhalt dieses großen Quadrats über zwei verschiedene Wege bestimmen:

1. Die Gesamtfläche des Quadrats mit der Seitenlänge (a + b) lässt sich über die binomische Formel (a + b)² berechnen:

A = (a + b)²

2. Dieselbe Gesamtfläche ergibt sich auch aus der Summe der Einzelflächen der geometrischen Figuren, die das Quadrat bilden: Das ist zum einen die Fläche des inneren Quadrats mit der Seite c und zum anderen die Flächen der vier Dreiecke mit den Seiten a, b und c. Die Fläche des Quadrats mit der Seite c berechnet sich als c². Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks mit den Katheten a und b lautet (ab)/2. Daraus folgt:

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Da beide Rechenwege dieselbe Fläche beschreiben, können wir sie gleichsetzen:

(a + b)² = c² + 2ab

Löst man die Klammer auf der linken Seite der Gleichung auf, erhält man:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Subtrahiert man nun 2ab von beiden Seiten der Gleichung, bleibt folgendes übrig:

a² + b² = c²

Damit ist der mathematische Beweis erbracht.

Berechnungsgrundlagen: Seitenlängen ermitteln

Sind zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben, kann die dritte Seite problemlos mithilfe des Satzes von Pythagoras berechnet werden. Sind beispielsweise die Katheten a und b bekannt, ermittelt sich die Länge der Hypotenuse c wie folgt:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Analog dazu lassen sich die Katheten berechnen:

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

und

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Winkel im rechtwinkligen Dreieck berechnen

Wenn alle drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, lassen sich die spitzen Winkel (die von 90° abweichen) wie folgt bestimmen:

• ∠α = arcsin(a/c) oder ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) oder ∠β = arccos(a/c)

Hierbei ist ∠α der Winkel, der der Seite 'a' gegenüberliegt, ∠β ist der Winkel gegenüber der Seite 'b' und 'c' ist die Hypotenuse. Ob Sie den Arkussinus (arcsin) oder den Arkuskosinus (arccos) verwenden, hängt davon ab, welche Kathete (a oder b) Sie in Relation zum Winkel betrachten. Nutzen Sie den arcsin, verwenden Sie die dem Winkel gegenüberliegende Seite (Gegenkathete). Nutzen Sie den arccos, verwenden Sie die am Winkel anliegende Seite (Ankathete). Beide Ansätze sind mathematisch korrekt und liefern Ihnen exakte Winkelmaße für das rechtwinklige Dreieck.

Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks

Die Fläche (A) eines rechtwinkligen Dreiecks entspricht der Hälfte des Produkts seiner Katheten:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks

Der Umfang (P) eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich aus der Summe aller drei Seitenlängen:

P = a + b + c

Höhe auf die Hypotenuse

Sind alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt, lässt sich die Höhe auf die Hypotenuse, h, durch folgende Formel ermitteln:

h = (a × b)/c

Praxisbeispiel: Der Satz des Pythagoras im Alltag

Der Satz des Pythagoras ist nicht nur graue Theorie, sondern wird in der Architektur, im Handwerk und im Bauwesen täglich angewendet. Er hilft dabei, Bauteile exakt zuzuschneiden und sicherzustellen, dass Konstruktionen im perfekten rechten Winkel errichtet werden. Schauen wir uns ein alltägliches Beispiel an.

Passt der Gegenstand in den Lkw?

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen um und haben einen Transporter mit einer Ladefläche von 4 Metern Länge und 3 Metern Höhe gemietet. Sie haben nicht viele sperrige Möbelstücke, müssen aber eine 4,5 Meter lange Leiter transportieren. Passt diese Leiter in den Lkw?

Lösung

Da die Leiter mit 4,5 Metern länger ist als die Ladefläche des Transporters (4 Meter), kann sie nur diagonal hineinpassen. Um herauszufinden, ob der Platz ausreicht, wenden wir den Satz des Pythagoras an. Wir berechnen die Hypotenuse eines gedachten rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Länge und Höhe des Laderaums bilden. In unserem Fall ist also a = 4, b = 3 und wir suchen c:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Die Hypotenuse des Dreiecks mit a = 4 und b = 3 ist c = 5. Das bedeutet: Der längste Gegenstand, der diagonal in den Lkw passt, darf maximal 5 Meter lang sein. Da Ihre Leiter 4,5 Meter lang ist, wird sie problemlos hineinpassen!

Antwort

Ja, die Leiter wird passen.

Zusätzliche Berechnungen

Unser Online-Rechner ermittelt zudem weitere nützliche Eigenschaften des gegebenen Dreiecks. Hier sehen Sie die Berechnungen für unser Beispieldreieck mit a = 4, b = 3 und c = 5.

Fläche des Dreiecks:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Umfang des Dreiecks:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Höhe auf die Hypotenuse:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Winkel gegenüber der Seite a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Winkel gegenüber der Seite b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) = arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad