Rechner für den Satz des Pythagoras

Dieser Pythagoras-Rechner ermittelt die Länge einer Seite eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn die beiden anderen Seiten des Dreiecks bekannt sind. Die Berechnungen werden auf der Grundlage des Satzes von Pythagoras durchgeführt.

Gebrauchsanweisung

Geben Sie die bekannten Seitenlängen ein und drücken Sie "Berechnen". Der Rechner gibt die folgenden Werte aus:

• Länge der dritten Seite.
• Winkelwerte der Nicht-90°-Winkel in Grad und Bogenmaß.
• Fläche des Dreiecks.
• Umfang des Dreiecks.
• Länge der Höhe, die senkrecht zur Hypotenuse verläuft.

Der Rechner gibt auch die detaillierte Lösung aus, die Sie durch Drücken von "+ Berechnungsschritte anzeigen" erweitern können.

Beachten Sie, dass die Eingabefelder für jede Seite einen Ganzzahlteil und einen Quadratwurzelteil enthalten, so dass Sie bequem Werte wie 2√3, √3 usw. eingeben können.

Beachten Sie auch, dass die Werte von a und b, den Schenkeln des Dreiecks, kürzer sein müssen als der Wert von c, der Hypotenuse.

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras besagt, dass in einem rechtwinkligen Dreieck das Quadrat der Länge der Hypotenuse gleich der Summe der Quadrate der Längen der Katheten ist.

Der Satz des Pythagoras kann wie folgt geschrieben werden:

a² + b² = c²,

Dabei sind a und b die Längen der kürzeren Seiten oder Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks und c - ist die Länge der längsten Seite oder Hypotenuse. Die obige Gleichung lässt sich wie folgt beschreiben: a zum Quadrat plus b zum Quadrat gleich c zum Quadrat.

Beweis des Satzes von Pythagoras

Beweisen wir den Satz des Pythagoras, indem wir die Flächen addieren.

In der obigen Abbildung besteht das Quadrat mit der Seite (a + b) aus einem Quadrat mit der Seite c und vier rechtwinkligen Dreiecken mit den Seiten a, b und c. Wir wollen den Flächeninhalt dieses Quadrats mit zwei verschiedenen Strategien bestimmen:

1. Der Flächeninhalt des Quadrats mit der Seitenlänge (a + b) kann als (a + b)² berechnet werden:

A = (a + b)²

2. Dieselbe Fläche ergibt sich aus der Summe der Flächen der Figuren, die das Quadrat bilden: die Fläche eines Quadrats mit der Seite c und vier Flächen eines Dreiecks mit den Seiten a, b und c. Die Fläche des Quadrats mit der Seite c kann als c² berechnet werden. Der Flächeninhalt des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten a, b und c lässt sich als (ab)/2 berechnen. Daraus folgt,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Da beide Berechnungen die gleiche Fläche beschreiben, können wir sie gleichsetzen:

(a + b)² = c² + 2ab

Erweitert man das Quadrat auf der linken Seite der Gleichung, erhält man:

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

Subtrahiert man 2ab von beiden Seiten der Gleichung, erhält man:

a² + b² = c²

was das gewünschte Ergebnis ist.

Berechnungsalgorithmen

Ermittlung der Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

Wenn zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks gegeben sind, kann die dritte Seite mit Hilfe des Satzes von Pythagoras ermittelt werden. Wenn zum Beispiel die Seiten a und b gegeben sind, kann die Länge der Seite c wie folgt ermittelt werden:

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

Ähnlich,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

und

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Ermittlung der Winkel eines rechtwinkligen Dreiecks

Wenn alle drei Seiten des rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, können die von 90° abweichenden Winkel des Dreiecks wie folgt ermittelt werden:

• ∠α = arcsin(a/c) oder ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) oder ∠β = arccos(a/c)

Hier ist ∠α der Winkel gegenüber der Seite 'a', ∠β ist der Winkel gegenüber der Seite 'b' und 'c' ist die Hypotenuse. Die Wahl zwischen arcsin und arccos hängt davon ab, welche Seite (a oder b) Sie in Bezug auf den Winkel betrachten. Mit arcsin verwenden Sie die dem Winkel gegenüberliegende Seite, und mit arccos verwenden Sie die an den Winkel angrenzende Seite. Beide Ansätze sind gültig und werden Ihnen die richtigen Winkelmaße in einem rechtwinkligen Dreieck geben.

Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks

Der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks kann als 1/2 des Produkts der Schenkel berechnet werden:

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks

Der Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks ergibt sich aus der Summe aller Seiten:

P = a + b + c

Höhe bis Hypotenuse

Wenn alle drei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks bekannt sind, kann die Höhe der Hypotenuse, h, wie folgt ermittelt werden:

h = (a × b)/c

Beispiele aus der Praxis

Der Satz des Pythagoras wird in der Architektur und im Bauwesen häufig verwendet, um die Längen der erforderlichen Bauteile zu berechnen und sicherzustellen, dass die Winkel in den errichteten Gebäuden richtig sind. Schauen wir uns ein Beispiel für die Anwendung des Satzes an.

Passende Objekte

Stellen Sie sich vor, Sie ziehen um und haben einen Umzugswagen mit einer Länge von 4 Metern und einer Höhe von 3 Metern gemietet. Sie haben nicht viele sperrige Gegenstände, aber Sie besitzen eine Leiter, die 4,5 Meter lang ist. Passt Ihre Leiter in den Lkw?

Lösung

Da die Länge der Leiter, 4,5 Meter, die Länge des Lastwagens, 4 Meter, übersteigt, kann die Leiter nur diagonal hineinpassen. Um festzustellen, ob das möglich ist, müssen wir den Satz des Pythagoras anwenden, um die Hypotenuse eines Dreiecks zu berechnen, dessen Seiten der Länge und der Höhe des Lastwagens entsprechen. In unserem Fall ist also a = 4, b = 3, und wir müssen c finden:

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

Die Hypotenuse eines Dreiecks mit a = 4 und b = 3 ist c = 5. Daher kann das längste Objekt, das in den LKW passt, 5 Meter lang sein. Deine Leiter ist 4,5 Meter lang. Sie wird also problemlos hineinpassen!

Antwort

Ja, die Leiter wird passen.

Zusätzliche Berechnungen

Dieser Online-Rechner ermittelt auch einige zusätzliche Merkmale des gegebenen Dreiecks. Berechnen Sie diese Merkmale für das Dreieck mit a = 4, b = 3 und c = 5.

Fläche des Dreiecks:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Perimeter des Dreiecks:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Höhe zur Hypotenuse:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Winkel gegenüber der Seite a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Winkel gegenüber der Seite b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad