Calculateur du théorème de Pythagore

Ce calculateur de Pythagore trouve la longueur d'un côté d'un triangle droit si les deux autres côtés du triangle sont connus. Les calculs sont effectués sur la base du théorème de Pythagore.

Mode d'emploi

Entrez les longueurs des côtés connus et appuyez sur "Calculer". Le calculateur renvoie les valeurs suivantes :

• Longueur du troisième côté.
• Valeurs des angles non 90° en degrés et en radians.
• Surface du triangle.
• Périmètre du triangle.
• Longueur de l'altitude perpendiculaire à l'hypoténuse.

Le calculateur renvoie également la solution détaillée, que vous pouvez développer en appuyant sur "+ Afficher les étapes du calcul".

Notez que les champs de saisie pour chaque côté comprennent une partie de nombre entier et une partie de racine carrée, ce qui vous permet d'entrer facilement des valeurs telles que 2√3, √3, etc.

Notez également que les valeurs de a et b, les branches du triangle, doivent être plus courtes que la valeur de c, l'hypoténuse.

Théorème de Pythagore

Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle rectangle, le carré de la longueur de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des longueurs des cathètes.

Le théorème de Pythagore peut s'écrire comme suit :

a² + b² = c²,

où a et b sont les longueurs des plus petits côtés, ou jambes, d'un triangle rectangle, et c - est la longueur du plus grand côté ou hypoténuse. L'équation ci-dessus peut être décrite comme suit : a au carré plus b au carré égale c au carré.

Preuve du théorème de Pythagore

Prouvons le théorème de Pythagore en additionnant les aires.

Dans l'image ci-dessus, le carré de côté (a + b) est composé d'un carré de côté c et de quatre triangles rectangles de côtés a, b et c. Trouvons l'aire de ce carré en utilisant deux stratégies différentes :

1. L'aire du carré de côté (a + b) peut être calculée comme suit : (a + b)² :

A = (a + b)²

2. La même surface peut être trouvée comme la somme des surfaces des figures qui composent le carré - la surface d'un carré avec le côté c, et quatre surfaces d'un triangle avec les côtés a, b, et c. La surface du carré avec le côté c peut être calculée comme c². L'aire du triangle rectangle dont les côtés sont a, b et c est égale à (ab)/2. Par conséquent,

A = c² + 4 × (ab)/2 = c² + 2ab

Comme ces deux calculs décrivent la même surface, nous pouvons les mettre en équation :

(a + b)² = c² + 2ab

En développant le carré du côté gauche de l'équation, nous obtenons :

a² + 2ab + b² = c² + 2ab

En soustrayant 2ab des deux côtés de l'équation, on obtient :

a² + b² = c²

ce qui est le résultat requis.

Algorithmes de calcul

Trouver les côtés d'un triangle rectangle

Si deux côtés d'un triangle rectangle sont donnés, le troisième côté peut être trouvé en utilisant le théorème de Pythagore. Par exemple, si les côtés a et b sont donnés, la longueur du côté c peut être trouvée comme suit :

$$c=\sqrt{a²+b²}$$

De même,

$$a=\sqrt{c²-b²}$$

et

$$b=\sqrt{c²-a²}$$

Trouver les angles d'un triangle droit

Si les trois côtés d'un triangle rectangle sont connus, les angles non 90° du triangle peuvent être trouvés comme suit :

• ∠α = arcsin(a/c) ou ∠α = arccos(b/c)
• ∠β = arcsin(b/c) ou ∠β = arccos(a/c)

Ici, ∠α est l'angle opposé à la jambe 'a', ∠β est l'angle opposé à la jambe 'b', et 'c' est l'hypoténuse. Le choix entre arcsin et arccos dépend de la jambe (a ou b) que vous considérez par rapport à l'angle. En utilisant arcsin, vous utilisez la jambe opposée à l'angle, et avec arccos, vous utilisez la jambe adjacente à l'angle. Les deux approches sont valables et vous donneront les mesures d'angles correctes dans un triangle rectangle.

Surface d'un triangle rectangle

L'aire d'un triangle rectangle peut être calculée comme 1/2 du produit de ses branches :

A = 1/2 × (ab) = (ab)/2

Périmètre d'un triangle rectangle

Le périmètre d'un triangle rectangle se calcule comme la somme de tous ses côtés :

P = a + b + c

Altitude de l'hypoténuse

Si les trois côtés d'un triangle rectangle sont connus, l'altitude de l'hypoténuse, h, peut être calculée comme suit :

h = (a × b)/c

Exemples concrets

Le théorème de Pythagore est largement utilisé en architecture et dans la construction pour calculer les longueurs des éléments nécessaires et s'assurer que les angles des bâtiments construits sont droits. Voyons un exemple d'application du théorème.

Ajustement d'objets

Imaginez que vous déménagiez et que vous ayez loué un camion de déménagement d'une longueur de 4 mètres et d'une hauteur de 3 mètres. Vous n'avez pas beaucoup d'objets encombrants, mais vous possédez une échelle de 4,5 mètres de long. Votre échelle pourra-t-elle entrer dans le camion ?

Solution

Puisque la longueur de l'échelle, 4,5 mètres, dépasse la longueur du camion, 4 mètres, la seule façon pour l'échelle de rentrer à l'intérieur est en diagonale. Pour déterminer si cela est possible, nous devons utiliser le théorème de Pythagore pour calculer l'hypoténuse d'un triangle dont les côtés sont égaux à la longueur et à la hauteur du camion. Par conséquent, dans notre cas, a = 4, b = 3, et nous devons trouver c :

$$c=\sqrt{a²+b²}=\sqrt{4²+3²}=\sqrt{16+9}=\sqrt{25}=5$$

L'hypoténuse d'un triangle de a = 4 et b = 3 est c = 5. Par conséquent, l'objet le plus long pouvant entrer dans le camion est de 5 mètres. Votre échelle mesure 4,5 mètres de long. Elle entrera donc facilement dans le camion !

Réponse

Oui, l'échelle entrera dans le camion.

Calculs supplémentaires

Cette calculatrice en ligne trouvera également quelques caractéristiques supplémentaires du triangle donné. Calculez ces caractéristiques pour le triangle avec a = 4, b = 3, et c = 5.

Aire du triangle:

A = (ab)/2 = (3 × 4)/2 = 12/2 = 6

Périmètre du triangle:

P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12

Altitude de l'hypoténuse:

h = (a × b)/c = (3 × 4)/5 = 12/5 = 2,4

Angle opposé au côté a:

∠α = arcsin(a/c) = arcsin(4/5) = arcsin(0,8) = 53,13° = 53°7'48" = 0,9273 rad

Angle opposé au côté b:

∠β = arcsin(b/c) = arcsin(3/5) =arcsin(0,6) = 36,87° = 36°52'12" = 0,6435 rad