Калькулятор квадратного кореня

Наш зручний онлайн-калькулятор допоможе вам швидко та точно знайти квадратний корінь із будь-якого заданого числа. Ви можете вводити як додатні, так і від'ємні значення, а інструмент миттєво обчислить арифметичний (головний) квадратний корінь, а також його від'ємне значення.

Інструкція з використання

Щоб скористатися калькулятором квадратного кореня, просто введіть потрібне число у відповідне поле та натисніть кнопку «Обчислити» (Calculate). Система миттєво видасть результат: арифметичний квадратний корінь та його від'ємний аналог. Крім того, калькулятор автоматично визначить, чи є введене значення повним квадратом (квадратом цілого числа).

Квадрати та квадратні корені

Квадрати

Квадрат числа — це результат множення цього числа самого на себе. Наприклад, 3 × 3 = 9. Це означає, що квадрат числа 3 дорівнює 9, або «три в квадраті» дорівнює 9. У математиці квадрат числа традиційно позначається як x². Отже, якщо x = 3, цей вираз можна записати як 3² = 9. Розглянемо кілька прикладів квадратів різних чисел:

Тепер розглянемо від'ємні числа та знайдемо значення (-3)². Оскільки (-3)² = (-3) × (-3) = 9 (адже множення двох від'ємних чисел дає додатний результат), ми робимо висновок, що (-3)² = 3² = 9.

Повні квадрати

Повний квадрат (або точний квадрат) — це число, яке є квадратом певного цілого числа. Наприклад, 4, 9, 16 і 25 — це все повні квадрати. Нижче наведено таблицю повних квадратів для перших цілих чисел. Їх корисно запам'ятати для швидкого виконання обчислень.

Отже, якщо квадратний корінь із числа є цілим числом, то таке число називається повним квадратом. Наш онлайн-калькулятор автоматично перевіряє та показує, чи належить введене вами число до цієї категорії.

Квадратні корені

Квадратний корінь із числа — це таке значення, яке при множенні самого на себе дає вихідне число. Наприклад, квадратними коренями з 9 є 3 та -3, оскільки 3 × 3 = 9 і (-3) × (-3) = 9 (відповідно, (-3)² = 3² = 9). Аналогічно, корені з 16 — це 4 та -4 і так далі. Кожне додатне дійсне число має два квадратних корені: додатний та від'ємний.

Додатний квадратний корінь із числа називається арифметичним (або головним) квадратним коренем. Якщо в математичному завданні не вказано інше, зазвичай мається на увазі саме арифметичний корінь. Наприклад, коли вас запитують: «Який квадратний корінь із 36?», найчастіше очікується лише ОДНА відповідь. Тому ми беремо до уваги арифметичний корінь і відповідаємо — «6».

Символ квадратного кореня

Символ квадратного кореня називається знаком радикала і позначається як √. Отже, щоб математично записати квадратний корінь із 16, ми використовуємо вираз √16.

Згідно зі строгим математичним визначенням, будь-яка функція f(x, y) повинна мати лише одне значення y для кожного значення x. Уявімо функцію, де y дорівнює квадратному кореню з x. Тоді для кожного додатного x існувало б два значення y: додатний та від'ємний корені. Але це суперечить самому визначенню функції! Щоб уникнути цієї неоднозначності, математики домовилися використовувати знак радикала √ виключно для позначення арифметичного (додатного) квадратного кореня.

Це означає, що хоча квадратними коренями з 16 є числа 4 і -4, математичний запис √16 = 4 є єдино правильним. Цей нюанс вкрай важливо враховувати під час розв'язування алгебраїчних рівнянь. Будь-яке рівняння виду y² = x має два розв'язки, які записуються як y = √x та y = -√x, або скорочено: y = ±√x.

Квадратні корені з від'ємних чисел

У попередніх розділах ми з'ясували, що квадрат будь-якого дійсного числа завжди є невід'ємним. Якщо число додатне, його квадрат — додатний. Якщо число від'ємне, його квадрат також додатний, оскільки мінус на мінус дає плюс.

А тепер уявімо число, яке при піднесенні до квадрата дає від'ємний результат. Числа, що мають таку властивість, називаються уявними числами (або комплексними). Базовою одиницею уявних чисел є уявна одиниця i, яка визначається так:

i² = -1

або

i = √(-1)

Спробуємо знайти квадратні корені з числа (-4):

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) = 2 × i = 2i

Головний квадратний корінь із (-4) дорівнює 2i. Якщо ж ми врахуємо від'ємний корінь із 4 (тобто -√4 = -2), то отримаємо другий розв'язок: -2i.

Як знайти квадратний корінь числа

Знаходити квадратні корені з повних квадратів доволі просто. Проте обчислення коренів із десяткових дробів або цілих чисел, які не є точними квадратами, може стати справжнім викликом. Існує кілька математичних методів для обчислення таких значень уручну, але найшвидший та найточніший спосіб знайти квадратний корінь із будь-якого числа — використати наш спеціалізований онлайн-калькулятор на цій сторінці.

Застосування в реальному житті

Джон планує орендувати квартиру-студію. Він знайшов оголошення про здачу приміщення площею 20.25 квадратних метрів. Як йому оцінити довжину стін кімнати, щоб краще уявити її реальний розмір?

Розв'язання

У сфері нерухомості розміри квартир, будинків і земельних ділянок традиційно вказуються у квадратних метрах. Іноді в оголошеннях зазначають довжину та ширину кімнат, але найчастіше подається лише загальна площа. Спираючись виключно на квадратні метри, буває складно візуалізувати простір. Однак, якщо ми уявимо цю площу у вигляді ідеального квадрата, то зможемо легко обчислити довжину його стіни й отримати чітке уявлення про габарити приміщення. Для цього необхідно добути квадратний корінь із загальної площі:

√20.25 = 4.5

Оскільки йдеться про фізичні розміри об'єкта нерухомості (довжина не може бути від'ємною), ми використовуємо виключно додатний (арифметичний) квадратний корінь.

Цікавий математичний факт: добування квадратного кореня працює не лише з числами, а й з одиницями вимірювання! У нашому прикладі площа вимірювалася у квадратних метрах (м²). Обчислюючи довжину стіни, ми фактично добуваємо корінь і з одиниці виміру:

√(20.25 м²) = √20.25 √(м²) = 4.5 м

Відповідь

Квартиру-студію площею 20.25 квадратних метрів можна уявити як квадратну кімнату, де довжина кожної стіни становить 4.5 метра.