वर्गमूल गणक

इस गणक का उपयोग आगत संख्या के वर्गमूल को खोजने के लिए किया जा सकता है। आगत संख्या धनात्मक या ऋणात्मक हो सकते हैं, और मूल गणक संख्या के मुख्य वर्गमूल और विपरीत मूल की पहचान करेगा।

इस्तेमाल केलिए निर्देश

वर्गमूल गणक का उपयोग करने के लिए, दी गई संख्या दर्ज करें और "कैलकुलेट" दबाएं। गणक संख्या का मुख्य वर्गमूल और विपरीत (नकारात्मक) वर्गमूल लौटाएगा। यह यह भी इंगित करेगा कि आगत संख्या एक पूर्ण वर्ग है या नहीं।

वर्ग और वर्गमूल

वर्गों

किसी दी गई संख्या का वर्ग स्वयं से गुणा की गई संख्या होती है। उदाहरण के लिए, 3 × 3 = 9, जिसका अर्थ है कि 3 का वर्ग 9 है, या तीन वर्ग बराबर 9 है। किसी संख्या का वर्ग आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है: x²। इसलिए, यदि x = 3, पिछले समीकरण को 3² = 9 के रूप में लिखा जा सकता है। विभिन्न संख्याओं के वर्गों के कुछ उदाहरण नीचे प्रस्तुत किए गए हैं:

संख्या	वर्ग
2	4
3	9
4	16
5	25
0.1	0.01
12	144

ऋणात्मक संख्याओं को देखें और (-3)² ज्ञात करें। (-3)² = (-3) × (-3) = 9, चूंकि दो ऋणात्मक चिह्नों को गुणा करने पर धनात्मक चिह्न वापस आ जाता है। इसलिए, (-3)² = 3² = 9।

उत्तम वर्ग

एक उत्तम वर्ग एक पूर्णांक का वर्ग होता है; उदाहरण के लिए, 4, 9, 16 और 25 सभी उत्तम वर्ग हैं। नीचे पहले पूर्णांकों के उत्तम वर्ग हैं। उन्हें याद रखना उपयोगी है।

संख्या	वर्ग
0	0
1	1
2	4
3	9
4	16
5	25
6	36
7	49
8	64
9	81
10	100
11	121
12	144

नतीजतन, यदि किसी संख्या का वर्गमूल एक पूर्णांक है, तो वह संख्या एक पूर्ण वर्ग है। इस पृष्ठ पर गणक इंगित करेगा कि आगत संख्या एक पूर्ण वर्ग है या नहीं।

वर्गमूल

किसी संख्या का वर्गमूल वह मान होता है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर मूल संख्या प्राप्त होती है। उदाहरण के लिए, 9 के वर्गमूल 3 और -3 हैं, क्योंकि 3 × 3 = 9, और (-3) × (-3) = 9, इसलिए, (-3)² = 3² = 9. इसी तरह, वर्ग 16 की जड़ें 4 और -4 हैं, और इसी तरह। प्रत्येक संख्या (0 को छोड़कर) के दो वर्गमूल होते हैं - धनात्मक और ऋणात्मक वर्गमूल।

किसी संख्या का धनात्मक वर्गमूल प्रधान वर्गमूल कहलाता है; जब यह निर्दिष्ट नहीं किया जाता है कि किस वर्गमूल की गणना की जानी है, तो मुख्य मूल आमतौर पर निहित होती है। उदाहरण के लिए, "36 का वर्गमूल क्या है?" प्रश्न में, हमें केवल एक वर्गमूल खोजने के लिए कहा गया है, इसलिए हम केवल मुख्य मूल को ध्यान में रखते हैं, और उत्तर "6" होगा।

वर्गमूल प्रतीक

वर्गमूल प्रतीक को मूलांक कहा जाता है और इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: √। अतः 16 का वर्गमूल गणितीय रूप से लिखने के लिए हम √16 लिखेंगे।

एक सख्त गणितीय परिभाषा के अनुसार, किसी भी फलन f(x, y) के लिए, x के प्रत्येक मान के लिए y का एक अद्वितीय मान होना चाहिए। कल्पना कीजिए कि हमारे पास एक फलन है जहां y x के वर्गमूल के बराबर है। फिर, x के प्रत्येक मान के लिए, y के दो मान होंगे - एक धनात्मक वर्गमूल और एक ऋणात्मक वर्गमूल। यह किसी फलन की गणितीय परिभाषा के विरुद्ध है! इस समस्या को हल करने के लिए, गणितज्ञों ने मौलिक प्रतीक √ को केवल मुख्य मूल को निर्दिष्ट किया है।

इसका मतलब यह है कि जबकि 16 का वर्गमूल 4 और -4 है, गणितीय रूप से, √16 = 4 है। गणितीय समीकरणों को हल करते समय इसे ध्यान में रखा जाना चाहिए। y² = x प्रकार के किसी भी समीकरण के दो हल होते हैं, जिसे y = √x और y = -√x, या y = ±√x के रूप में लिखा जाता है।

ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल

उपरोक्त अनुभाग में, हमने प्रदर्शित किया है कि किसी भी वास्तविक संख्या का वर्ग हमेशा धनात्मक होता है। यदि संख्या धनात्मक है, तो इसका वर्ग भी धनात्मक है। और यदि कोई संख्या ऋणात्मक है, तो उसका वर्ग अभी भी धनात्मक है क्योंकि दो ऋणात्मक चिह्नों को गुणा करने पर धनात्मक चिन्ह प्राप्त होता है।

अब कल्पना करते हैं कि एक संख्या है जो वर्ग करने पर ऋणात्मक परिणाम देती है। वे संख्याएँ जो वर्ग करने पर ऋणात्मक परिणाम देती हैं, काल्पनिक संख्याएँ कहलाती हैं। मूल काल्पनिक संख्या है i, जिसे परिभाषित किया जाता है:

i² = -1

या

i = √(-1)

आइए (-4) का वर्गमूल ज्ञात करने का प्रयास करें:

√(-4) = √(4 × (-1)) = √4 × √(-1) =2 × i = 2i

(-4) का मुख्य वर्गमूल 2i है। और यदि हम उपरोक्त समीकरण में 4 (-√4 = -2) के विपरीत वर्गमूल को ध्यान में रखते हैं, तो हमें विपरीत समाधान भी मिलेगा: -2i।

किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें

पूर्ण वर्गों के वर्गमूलों की गणना करना अपेक्षाकृत आसान है। लेकिन दशमलव के वर्गमूल, या पूर्णांक जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं, की गणना करना मुश्किल हो सकता है। वर्गमूल की गणना करने के कई तरीके, जिसमें किसी भी संख्या का सटीक वर्गमूल खोजने की अनुमति देने वाली गणना पद्धति शामिल है, इस पृष्ठ पर समझाया गया है।

वास्तविक जीवन उपयोग

जॉन एक स्टूडियो अपार्टमेंट किराए पर लेने की योजना बना रहा है। उन्हें 20.25 वर्ग मीटर के एक स्टूडियो के लिए एक विज्ञापन मिला है। वह जगह के आकार को बेहतर ढंग से देखने के लिए स्टूडियो की दीवारों की लंबाई का अनुमान कैसे लगा सकता है?

हल

अचल संपत्ति में, अपार्टमेंट, घरों और भूमि क्षेत्रों का आकार आमतौर पर वर्ग मीटर में दिया जाता है। उसी समय, कुछ सूचीकरण में संबंधित लंबाई शामिल होती है, लेकिन कई में नहीं होती है। क्षेत्र के वर्ग मीटर पर विचार करके जगह के आकार की कल्पना करना कठिन हो सकता है। लेकिन, यदि हम एक निश्चित लंबाई की भुजा वाले वर्ग के रूप में कुल क्षेत्रफल की कल्पना करें, तो हमें इस बात का बेहतर अंदाजा होगा कि वह स्थान कितना बड़ा है। ऐसा करने के लिए, हमें कुल क्षेत्रफल का वर्गमूल निकालना होगा:

√20.25 = 4.5

ध्यान दें कि हम एक अपार्टमेंट के भौतिक आकार के बारे में बात कर रहे हैं। इसलिए, हमें केवल मुख्य वर्गमूल की आवश्यकता होगी।

यह भी ध्यान रखना दिलचस्प है कि वर्गमूल निकालना आयामों के साथ काम करता है! इस उदाहरण ने कुल क्षेत्रफल को वर्ग मीटर (m²) में मापा। जब हम एक दीवार की लंबाई पता कर रहे हैं, हम तकनीकी रूप से 20.25 वर्ग मीटर का एक वर्गमूल ले रहे हैं:

√(20.25 m²) = √20.25 √(m²) = 4.5 m

उत्तर

20.25 वर्ग मीटर के क्षेत्रफल वाले एक स्टूडियो को एक चौकोर कमरे के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी प्रत्येक दीवार 4.5 मीटर लंबी है।