Стандартне відхилення

Стандартне відхилення: ключова статистична міра

Стандартне відхилення — це одна з найпоширеніших метрик для статистичного аналізу будь-якого набору даних. Простими словами, стандартне відхилення показує міру розсіяння (розкиду) даних. Обчисливши цей показник, ви зможете зрозуміти, наскільки близько значення згруповані навколо середнього арифметичного, чи, навпаки, наскільки вони віддалені від нього. Якщо точки даних значно відхиляються від середнього значення, це свідчить про високу дисперсію. Таким чином, чим більший розкид даних, тим вищим буде стандартне відхилення.

Наш онлайн-калькулятор швидко визначає стандартне відхилення для заданого набору даних, а також детально відображає всі математичні кроки, необхідні для обчислення.

Як користуватися калькулятором стандартного відхилення

Калькулятор приймає вхідні дані у вигляді списку чисел, відокремлених відповідним роздільником. Кілька прикладів правильного введення наведено в таблиці нижче.

Ви можете розділяти числа комою, пробілом, розривом рядка або будь-якою їх комбінацією. Дані можна вставляти як у форматі суцільного рядка, так і у вигляді стовпця. Для всіх форматів, наведених у таблиці вище, калькулятор коректно розпізнає та обробить набір чисел: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 та 89.

Після введення значень оберіть тип ваших даних: вибірка (sample) або генеральна сукупність (population), і натисніть Enter. Калькулятор миттєво обчислить п'ять ключових статистичних параметрів набору: кількість спостережень, середнє значення, суму квадратів відхилень, дисперсію та стандартне відхилення.

Навіщо потрібен калькулятор стандартного відхилення

Цей інструмент створений для точного обчислення стандартного відхилення дискретного набору даних. Крім того, він допомагає краще зрозуміти математичну теорію, на якій базуються ці розрахунки.

Дані можуть представляти генеральну сукупність, яка охоплює абсолютно всі можливі об'єкти чи спостереження певного явища за заданих умов. Проте на практиці дослідити кожного члена генеральної сукупності часто буває фізично неможливо або економічно недоцільно.

Саме тому в статистиці найчастіше працюють із підмножиною — так званою «вибіркою». Зібравши дані з вибірки, ми робимо статистичні оцінки та висновки щодо всієї генеральної сукупності.

При обчисленні стандартного відхилення формула змінюється залежно від того, з чим ми працюємо: з вибіркою чи з усією генеральною сукупністю. Це коригування відбувається за допомогою коефіцієнта, відомого як «ступені свободи». Обчислюючи дисперсію для вибірки, ми ділимо суму на n - 1 (де n — розмір вибірки), а не просто на n. Згодом із дисперсії здобувається квадратний корінь. Така поправка (поправка Бесселя) компенсує похибку від використання обмежених даних і гарантує, що наша оцінка стандартного відхилення генеральної сукупності буде незміщеною.

Стандартне відхилення вимірює середню мінливість, або розкид даних відносно їхнього середнього значення. У математичній статистиці воно позначається грецькою літерою σ (сигма) для генеральної сукупності та латинською літерою s для вибірки. Що вище значення σ або s, то сильніше точки даних віддалені від середнього значення, і навпаки.

Розглянемо два приклади наборів даних:

(Набір I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Набір II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Якщо ввести ці дані в наш калькулятор, для Набору I ми отримаємо:

• x̄=16 — середнє значення
• s=8.3904708 — стандартне відхилення

Для Набору II:

• x̄=16 — середнє значення
• s=2.3664319 — стандартне відхилення

Як бачимо, у Наборі I числа значно відхиляються від середнього значення (s=8.39), тоді як у Наборі II мінливість є дуже низькою (s=2.36), оскільки більшість чисел згруповані близько до центру.

Формули для розрахунку стандартного відхилення

Наступна формула застосовується у випадках, коли для аналізу доступні всі значення генеральної сукупності.

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ — стандартне відхилення генеральної сукупності,
• xᵢ — значення окремого елемента генеральної сукупності,
• μ — середнє арифметичне генеральної сукупності,
• N — розмір генеральної сукупності.

Якщо ж генеральна сукупність занадто велика і для аналізу береться лише її частина, використовується формула для вибірки:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s — стандартне відхилення вибірки,
• xᵢ — значення окремого елемента вибірки,
• x̄ — середнє значення вибірки,
• n — розмір вибірки.

Покрокове обчислення стандартного відхилення

Процес розрахунку стандартного відхилення складається з кількох послідовних етапів.

Крок 1: Обчисліть середнє значення. Для цього знайдіть суму всіх точок даних і поділіть її на загальну кількість спостережень N або n:

Середнє значення вибірки:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

Середнє значення генеральної сукупності:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

Крок 2: Знайдіть індивідуальні відхилення, віднявши середнє значення від кожної точки даних:

Відхилення вибірки:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Відхилення генеральної сукупності:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x₃-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

Крок 3: Піднесіть кожне отримане відхилення до квадрата.

Квадрати відхилень вибірки:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Квадрати відхилень генеральної сукупності:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x₃-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

Крок 4: Обчисліть суму квадратів відхилень (SS), додавши всі отримані на попередньому кроці значення.

Сума квадратів відхилень вибірки:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Сума квадратів відхилень генеральної сукупності:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x₃-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

Крок 5: Розділіть суму квадратів відхилень на кількість ступенів свободи, щоб отримати дисперсію. Для генеральної сукупності діліть на N, а для вибірки — на n-1.

Дисперсія вибірки:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Дисперсія генеральної сукупності:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Обчислюючи дисперсію вибірки, можна було б припустити використання такого виразу:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

де x̄ — середнє значення вибірки, а n — розмір вибірки. Проте в статистиці цей підхід не використовується.

Ділення просто на n призвело б до зміщеної (заниженої) оцінки дисперсії генеральної сукупності, особливо коли вибірка мала. Щоб компенсувати нестачу даних і зробити оцінку більш об'єктивною, використовується знаменник n-1. Це дає трохи більше значення дисперсії, яке є значно ближчим до реального показника генеральної сукупності.

Крок 6: Здобудьте квадратний корінь із отриманої дисперсії. Це і є стандартне відхилення.

Стандартне відхилення вибірки:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Стандартне відхилення генеральної сукупності:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Приклад обчислення стандартного відхилення вибірки

Припустімо, ми маємо результати випускного іспиту з фізики для вибірки з n=8 студентів:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 та 84

Калькулятор обчислить стандартне відхилення вибірки за таким алгоритмом:

Крок 1: Обчислення середнього значення.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Крок 2: Визначення відхилень від середнього.

Крок 3: Піднесення відхилень до квадрата.

Крок 4: Знаходження суми квадратів відхилень.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Крок 5: Розрахунок дисперсії шляхом ділення суми квадратів на ступені свободи (n-1). Оскільки ми аналізуємо лише групу студентів (вибірку), а не всіх студентів загалом, ми ділимо на 8-1, а не на 8.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Крок 6: Здобуття квадратного кореня з дисперсії для отримання кінцевого результату.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

Сфери застосування стандартного відхилення

Дисперсія та стандартне відхилення є критично важливими інструментами для визначення мінливості даних. Високі показники свідчать про значний розкид даних. Це особливо корисно під час порівняння кількох наборів даних, щоб виявити, який із них є найбільш нестабільним чи мінливим.

У промисловості стандартне відхилення активно застосовується для контролю якості. На масштабному виробництві характеристики товарів мають строго відповідати встановленим нормам, які відстежуються за допомогою статистичних метрик. Наприклад, під час виготовлення гайок та болтів відхилення в їхніх діаметрах має бути мінімальним, інакше деталі просто не підійдуть одна до одної.

У фінансовому секторі та економіці стандартне відхилення є базовою мірою для оцінки ризиків та волатильності активів. Трейдери використовують цей показник у технічному аналізі, зокрема для побудови індикаторів, таких як смуги Боллінджера.

У соціології та маркетингу стандартне відхилення допомагає розрахувати статистичну похибку під час проведення опитувань громадської думки.

Крім того, ці метрики дозволяють визначити, яка частка даних потрапляє у певний діапазон розподілу. Наприклад, згідно з теоремою Чебишова, незалежно від форми розподілу, щонайменше 75% значень завжди знаходитимуться в межах двох стандартних відхилень від середнього значення.

Для наочності розглянемо кліматичний приклад. Припустимо, ми аналізуємо щоденну температуру у двох містах: одне розташоване на морському узбережжі, а інше — в глибині континенту. Їхня середня максимальна температура може бути абсолютно однаковою. Однак стандартне відхилення (розкид температур) буде значно вищим для континентального міста.

Це означає, що місто в глибині материка має різкіші перепади температур протягом року, тоді як прибережне місто відрізняється стабільнішим і м'якшим кліматом завдяки низькому стандартному відхиленню.