Deviazione Standard

La deviazione standard come misura statistica

La deviazione standard (nota anche come scarto quadratico medio) è uno dei parametri più importanti e comunemente utilizzati in statistica descrittiva per analizzare un insieme di dati. In termini semplici, la deviazione standard è una misura di quanto i dati siano dispersi. Calcolando questo valore, è possibile scoprire se i numeri sono concentrati vicino alla media o se sono ampiamente distribuiti. Se i punti dati sono lontani dal valore medio, significa che c'è un'elevata variabilità nell'insieme dei dati. Di conseguenza, maggiore è la dispersione dei dati, più alto sarà il valore della deviazione standard.

Questo calcolatore online calcola in modo rapido e preciso la deviazione standard di un dato insieme di dati, mostrando passo dopo passo tutti i passaggi matematici coinvolti nel calcolo.

Come utilizzare questo calcolatore

Il nostro calcolatore di deviazione standard accetta in input un elenco di numeri separati da un delimitatore. Alcuni esempi di formati di input supportati sono mostrati nella tabella sottostante.

input in riga	input in colonna	input in colonna	input in colonna
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44;63;72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75;80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86;87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

I numeri possono essere separati da virgole, spazi, ritorni a capo o da una combinazione di questi elementi. Possono essere inseriti sia in formato riga che in formato colonna. Per tutti i formati mostrati nella tabella qui sopra, lo strumento elaborerà l'input correttamente come la sequenza: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 e 89.

Dopo aver inserito i dati, basterà selezionare se l'insieme rappresenta un campione o un'intera popolazione e premere invio. Il calcolatore fornirà istantaneamente cinque parametri statistici fondamentali: conteggio (numero di osservazioni), media, somma dei quadrati degli scarti (devianza), varianza e, infine, la deviazione standard.

Campione vs Popolazione: l'importanza del calcolo corretto

Questo strumento è progettato per calcolare la deviazione standard di un insieme di dati discreti, offrendo anche una chiara visione della teoria statistica che sta alla base del calcolo.

I dati possono rappresentare una popolazione, ovvero l'insieme completo di tutte le possibili osservazioni di un esperimento (di qualsiasi tipo) in condizioni specifiche. Tuttavia, nella stragrande maggioranza dei casi, è impossibile o economicamente impraticabile analizzare ogni singolo membro di una popolazione.

Nella pratica statistica, è quindi molto comune lavorare con un sottoinsieme rappresentativo di questa popolazione più ampia, che definiamo campione. Raccogliendo dati da un campione, possiamo fare stime o inferenze sull'intera popolazione.

Quando calcoliamo la deviazione standard, la formula matematica viene adattata a seconda che si stia analizzando un campione o l'intera popolazione. Questa correzione si ottiene attraverso un fattore noto come "gradi di libertà". Nel caso di un campione, per calcolare la varianza dividiamo per n - 1 (dove n è la dimensione del campione) invece di dividere semplicemente per n. La varianza calcolata viene poi posta sotto radice quadrata per trovare la deviazione standard. Questa correzione (nota come correzione di Bessel) compensa il fatto che stiamo usando dei dati campionari per stimare la varianza della popolazione, garantendo che la nostra stima sia non distorta (ovvero corretta).

La deviazione standard misura quindi la dispersione o variabilità media di un insieme di dati rispetto alla sua media. È comunemente indicata dalla lettera greca σ (sigma) per una popolazione, o dalla lettera s per un campione. Un valore elevato di σ o s indica una grande dispersione dei punti dati rispetto alla media, e viceversa.

Consideriamo due semplici esempi pratici:

(Insieme I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Insieme II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Inserendo questi due insiemi di dati nel nostro calcolatore, otteniamo per l'Insieme I:

• x̄ = 16 (valore medio)
• s = 8,3904708 (deviazione standard)

Per l'Insieme II:

• x̄ = 16 (valore medio)
• s = 2,3664319 (deviazione standard)

Notiamo come, sebbene la media sia identica, nell'Insieme I i numeri si discostano in modo significativo dalla media (s = 8,39), mentre nell'Insieme II la variabilità è molto più contenuta (s = 2,36).

Le formule della deviazione standard

Questa formula viene applicata quando si analizzano i dati di un'intera popolazione.

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ è la deviazione standard della popolazione,
• xᵢ è il valore di una singola osservazione della popolazione,
• μ è la media aritmetica della popolazione,
• N è la dimensione totale della popolazione.

La formula sottostante viene invece utilizzata quando si lavora con un sottoinsieme di dati, ovvero un campione estratto da una popolazione più ampia.

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s è la deviazione standard del campione,
• xᵢ è il valore di una singola osservazione del campione,
• x̄ è la media del campione,
• n è la dimensione del campione.

Passaggi per il calcolo della deviazione standard

Il procedimento per calcolare manualmente la deviazione standard prevede i seguenti passaggi matematici:

Passo 1: Calcolare la media del campione o della popolazione. Si ottiene sommando tutti i valori e dividendo per il numero totale di osservazioni (N o n).

Media del campione:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

Media della popolazione:

$$μ=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

Passo 2: Calcolare gli scarti (o deviazioni) sottraendo la media appena trovata da ogni singolo punto dati.

Scarti del campione:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Scarti della popolazione:

$$(x₁-μ), (x₂-μ), (x₃-μ)……………….. (x_N-μ)$$

Passo 3: Elevare al quadrato ogni singolo scarto.

Quadrato degli scarti del campione:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Quadrato degli scarti della popolazione:

$$(x₁-μ)^2, (x₂-μ)^2, (x₃-μ)^2……………….. (x_N-μ)^2$$

Passo 4: Sommare tutti i quadrati degli scarti per ottenere la Devianza (o Somma dei Quadrati).

Devianza del campione:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Devianza della popolazione:

$$SS=(x₁-μ)^2+ (x₂-μ)^2+(x₃-μ)^2……………….+ (x_N-μ)^2$$

Passo 5: Dividere la devianza per i gradi di libertà per ottenere la varianza. Per una popolazione si divide per N, mentre per un campione si divide per n-1.

Varianza del campione:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Varianza della popolazione:

$$ σ^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - μ)^2}{N} $$

Quando si calcola la varianza per un campione, si potrebbe intuitivamente pensare di usare la formula:

$$\frac{\sum (x-\bar{x})^2}{n}$$

dove x̄ è la media del campione e n è la dimensione. Tuttavia, questa espressione non fornirebbe una stima affidabile della varianza della popolazione originaria. Soprattutto quando la popolazione è molto grande e il campione è piccolo, dividere per n porterebbe a sottostimare sistematicamente la reale variabilità (la stima sarebbe cioè "distorta"). Dividendo per n-1, si compensa questa mancanza di dati aumentando leggermente il risultato, ottenendo così una stima molto più accurata e vicina al valore reale della popolazione.

Passo 6: Estrarre la radice quadrata della varianza. La deviazione standard è, per definizione, la radice quadrata della varianza.

Deviazione standard del campione:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2}}{n-1}}$$

Deviazione standard della popolazione:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2}}{N}}$$

Esempio pratico: calcolo della deviazione standard di un campione

Prendiamo come esempio i voti ottenuti all'esame finale di Fisica da un campione di n=8 studenti:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 e 84

Il nostro strumento calcola la deviazione standard campionaria seguendo esattamente questi passaggi:

Passo 1: Calcolare la media.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}=\frac{45+67+70+75+80+81+82+84}{8}=73$$

Passo 2: Calcolare gli scarti dalla media.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄	x₇-x̄	x₈-x̄
45-73	67-73	70-73	75-73	80-73	81-73	82-73	84-73
-28	-6	-3	2	7	8	9	11

Passo 3: Calcolare i quadrati degli scarti.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²	(x₇-x̄)²	(x₈-x̄)²
784	36	9	4	49	64	81	121

Passo 4: Sommare i quadrati per ottenere la devianza (SS).

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2}=784+36+9+4+49+64+81+121=1148$$

Passo 5: Calcolare la varianza dividendo la devianza per i gradi di libertà (n-1). Se avessimo analizzato i voti dell'intera scuola (popolazione), avremmo diviso per N (cioè 8). Essendo questo solo un campione parziale di studenti, dividiamo per N-1 (cioè 7).

$$s^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2}}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Passo 6: Estrarre la radice quadrata della varianza per trovare la deviazione standard.

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{164}\approx12,80$$

Principali applicazioni della Deviazione Standard

La deviazione standard e la varianza sono strumenti essenziali per quantificare la dispersione dei dati. Una deviazione standard elevata indica dati molto sparsi, mentre un valore basso indica dati raggruppati vicino alla media. Questa informazione diventa fondamentale quando si confrontano due o più set di dati per stabilire quale sia il più variabile.

Nel settore industriale, la deviazione standard è cruciale per il controllo qualità. Nella produzione su larga scala, le caratteristiche meccaniche di un prodotto devono rientrare in tolleranze ristrette, che vengono monitorate proprio calcolando questo parametro. Ad esempio, nella produzione di viti e bulloni, la variazione dei diametri deve avere una deviazione standard minima; in caso contrario, i componenti risulterebbero difettosi e non assemblabili.

Nel campo della finanza, la deviazione standard è la metrica principale per la valutazione del rischio e della volatilità dei mercati. Nell'analisi tecnica del trading, viene utilizzata per costruire indicatori famosi come le Bande di Bollinger.

La deviazione standard trova ampio utilizzo anche in sociologia e nei sondaggi di opinione pubblica, dove è indispensabile per calcolare i margini di errore e l'incertezza statistica dei risultati.

In ambito probabilistico, questo parametro aiuta a determinare quanti valori di un set di dati rientrano in un determinato intervallo. Il teorema di Chebyshev, ad esempio, stabilisce che per qualsiasi tipo di distribuzione dei dati, almeno il 75% dei valori cadrà sempre entro un raggio di 2 deviazioni standard dalla media.

Infine, un esempio intuitivo si trova in meteorologia. Immaginiamo di confrontare le temperature massime giornaliere di due città: una costiera e una nell'entroterra. Potrebbero avere la stessa temperatura massima media annuale, ma la deviazione standard (cioè la dispersione di queste temperature) sarà sicuramente più alta per la città continentale. Questo significa che l'entroterra subisce escursioni termiche molto più ampie e imprevedibili, mentre la città costiera, avendo una deviazione standard molto più bassa, godrà di un clima decisamente più mite e costante.