Standard Deviation

Ang Standard Deviation Bilang Isang Sukat sa Estadistika (Statistical Measure)

Ang standard deviation ay isa sa mga pinakaginagamit na pangunahing sukatan (metrics) para ilarawan ang isang dataset. Sa madaling salita, sinusukat nito ang pagkalat o pamamahagi ng iyong data. Sa pamamagitan ng pag-kalkula ng standard deviation, madali mong matutukoy kung ang iyong mga data point ay magkakalapit sa mean o nakakalat sa malawak na saklaw. Ang mas mataas na standard deviation ay nagpapahiwatig ng mas malaking variability at pagkalat sa loob ng dataset, habang ang mas mababang halaga ay nangangahulugang ang mga numero ay mas malapit sa average.

Kinakalkula ng aming standard deviation calculator ang eksaktong halaga para sa anumang partikular na dataset at nagbibigay ng komprehensibo, step-by-step na pagpapaliwanag ng matematika na ginamit.

Paano Gamitin ang Standard Deviation Calculator

Ang tool na ito ay idinisenyo upang maging madaling gamitin (user-friendly) at lubos na flexible. Ipasok lamang ang iyong dataset bilang isang listahan ng mga numero na pinaghihiwalay ng isang delimiter. Ipinapakita ng talahanayan sa ibaba ang ilang wastong mga format na maaaring ilagay:

Maaari mong paghiwalayin ang iyong mga numero gamit ang mga kuwit (comma), puwang (space), line break, o kumbinasyon ng mga ito. Walang kahirap-hirap na pinoproseso ng calculator ang parehong mga format ng row at column. Anuman ang format mula sa talahanayan ang pipiliin mo, tumpak na ipoproseso ng calculator ang input bilang ang dataset na: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, at 89.

Pagkatapos ilagay ang iyong data, piliin lamang kung ikaw ay gumagamit ng isang sample o isang buong population, at pagkatapos ay i-click ang calculate. Agad na ipapakita ng tool ang limang pangunahing statistical parameter para sa iyong dataset: bilang (bilang ng mga obserbasyon), mean, sum of squared deviations, variance, at ang huling standard deviation.

Ano ang Kayang Solusyunan ng Standard Deviation Calculator na Ito?

Ang calculator na ito ay idinisenyo upang kalkulahin ang standard deviation ng isang discrete na dataset habang nagbibigay ng malalim na pag-unawa sa teorya ng estadistika sa likod ng mga resulta.

Ang data ay karaniwang kumakatawan sa isang population o isang sample. Kabilang sa population ang lahat ng posibleng obserbasyon sa loob ng isang eksperimento sa ilalim ng mga partikular na kundisyon. Gayunpaman, sa totoong buhay na pagsasagawa ng estadistika, kadalasan ay hindi praktikal o sadyang imposibleng mangolekta ng data mula sa bawat miyembro ng isang napakalaking population.

Sa halip, gumagamit ang mga mananaliksik ng isang subset (maliit na bahagi) ng mas malaking grupong iyon, na kilala bilang sample. Sa pamamagitan ng pagsusuri sa sample na ito, makakagawa tayo ng mga tumpak na pagtatantya at konklusyon tungkol sa mas malawak na population.

Kapag kinakalkula ang standard deviation, bahagyang nagbabago ang formula depende kung sinusuri mo ang sample na data o ang isang buong population. Ang mahalagang pagbabagong ito ay may kasamang mathematical factor na kilala bilang 'degrees of freedom'. Para sa isang sample, hinahati natin ang variance sa n - 1 (kung saan ang n ay ang laki ng sample o sample size) sa halip na n. Ang pagwawastong ito ay bumabawi sa katotohanan na gumagamit tayo ng isang sample upang matantya ang population, na tinitiyak na ang ating pagtatantya sa standard deviation ay ganap na walang pinapanigan (unbiased).

Sa huli, sinusukat ng standard deviation ang average na variability o pagkalat ng isang dataset batay sa mean nito. Sa estadistika, kinakatawan ito ng letrang Griyego na σ (sigma) para sa isang population, o s para sa isang sample. Ang mas malaking halaga ng σ o s ay nagpapahiwatig na ang mga data point ay malawak ang pagkakakalat mula sa mean, samantalang ang mas maliit na halaga ay nagpapahiwatig na malapit lang sila sa isa't isa.

Tingnan ang sumusunod na dalawang dataset bilang halimbawa:

(Set I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Set II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Sa pamamagitan ng paglalagay ng mga numerong ito sa aming standard deviation calculator, makukuha natin ang mga sumusunod na resulta:

Para sa Set I:

• x̄ = 16 — ang mean na halaga
• s = 8.3904708 — ang standard deviation ng sample

Para sa Set II:

• x̄ = 16 — ang mean na halaga
• s = 2.3664319 — ang standard deviation ng sample

Kahit na ang parehong set ay may parehong mean (x̄ = 16), ang kanilang mga distribusyon ay lubos na magkaiba. Sa Set I, ang mga numero ay malaki ang paglihis mula sa sample mean (s = 8.39), samantalang sa Set II, ang variability ay napakaliit (s = 2.36).

Mga Formula Para sa Pagkalkula ng Standard Deviation

Ang formula ng population standard deviation ay inilalapat kapag sinusuri ang bawat indibidwal na halaga sa loob ng kumpletong population:

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ ay ang standard deviation ng population,
• xᵢ ay isang indibidwal na halaga sa loob ng population,
• μ ay ang arithmetic mean ng population,
• N ay ang laki ng population.

Ang formula ng sample standard deviation ay ginagamit kapag ang population ay masyadong malaki para sukatin nang buo, at isang kinatawang sample (representative sample) lamang ang sinusuri:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s ay ang standard deviation ng sample,
• xᵢ ay isang indibidwal na halaga sa loob ng sample,
• x̄ ay ang mean ng sample,
• n ay ang laki ng sample (sample size).

Step-by-Step na Pagkalkula ng Standard Deviation

Ang pagkalkula ng standard deviation nang mano-mano ay may kasamang mga sumusunod na hakbang sa matematika:

Hakbang 1: Kalkulahin ang sample mean o population mean. Ito ang kabuuan ng lahat ng mga data point na hinati sa kabuuang bilang ng mga obserbasyon (N o n).

Sample mean:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

Population mean:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

Hakbang 2: Kalkulahin ang mga indibidwal na deviation sa pamamagitan ng pagbabawas ng mean sa bawat kaukulang data point.

Sample deviations:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Population deviations:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x₃-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

Hakbang 3: I-square (paramihin sa sarili) ang bawat indibidwal na deviation.

Mga squared deviation ng sample:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Mga squared deviation ng population:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x₃-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

Hakbang 4: Kalkulahin ang sum of squares (SS) o kabuuan ng mga square sa pamamagitan ng pagsasama-sama ng lahat ng squared deviations.

Kabuuan ng mga squared deviation ng sample:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Kabuuan ng mga squared deviation ng population:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x₃-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

Hakbang 5: Tukuyin ang variance sa pamamagitan ng paghahati ng kabuuan ng squared deviations sa naaangkop na degrees of freedom. Para sa isang population, hatiin sa N. Para sa isang sample, hatiin sa n - 1.

Variance ng sample:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Variance ng population:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Maaari mong isipin na ang pagkalkula ng variance ng sample ay mahigpit na nangangailangan ng paghahati sa n:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

Gayunpaman, ang paggamit ng n nang direkta sa isang sample ay kadalasang nagreresulta sa hindi tumpak na pagtatantya. Kapag gumagamit ng isang maliit na sample na nakuha mula sa napakalaking population, ang paghahati sa n ay madalas na maliitin ang tunay na variance. Upang iwasto ang kakulangan ng data na ito at alisin ang pagkiling (bias), hinahati natin ito sa n - 1 (na kilala bilang pagwawasto ni Bessel o Bessel's correction). Bahagyang pinapataas nito ang variance, na nagbibigay ng mas tumpak na pagtatantya ng tunay na variance ng population.

Hakbang 6: Sa wakas, kunin ang square root ng variance para hanapin ang standard deviation.

Standard deviation ng sample:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Standard deviation ng population:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Halimbawa: Pagkalkula ng Standard Deviation ng isang Sample

Magsagawa tayo ng isang praktikal na halimbawa gamit ang mga huling marka sa pagsusulit sa Physics ng 8 mag-aaral (n = 8):

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82, at 84

Narito kung paano pinoproseso ng calculator ang sample na data na ito nang step-by-step:

Hakbang 1: Kalkulahin ang mean.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Hakbang 2: Kalkulahin ang mga indibidwal na deviation mula sa mean.

Hakbang 3: I-square ang bawat deviation.

Hakbang 4: Kalkulahin ang kabuuan ng mga squared deviation (SS).

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Hakbang 5: Kalkulahin ang variance ng sample. Dahil sinusuri natin ang isang sample (isang maliit na bahagi ng buong grupo ng mag-aaral) sa halip na ang kumpletong population, hinahati natin ang kabuuan ng mga squared deviation sa degrees of freedom (n - 1).

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Hakbang 6: Kunin ang square root ng variance upang matukoy ang huling standard deviation.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

Mga Real-World na Paggamit ng Standard Deviation

Ang standard deviation ay lubos na pinagkakatiwalaan sa iba't ibang industriya upang suriin ang pagkalat ng data. Sa pamamagitan ng pagtukoy kung mataas o mababa ang isang standard deviation, mabilis na maikukumpara ng mga analyst ang iba't ibang dataset upang makita kung alin ang nagpapakita ng pinakamalaking volatility o pagkakapare-pareho (consistency).

Sa manufacturing at quality control, mahalaga ang standard deviation. Ang malawakang produksyon ay nangangailangan na ang mga sukat ng produkto ay nasa loob ng napakahigpit na mga tolerance. Halimbawa, sa paggawa ng mga nut at bolt, ang pagbabantay sa standard deviation ng kanilang mga diameter ay nagsisiguro na mananatiling napakaliit ng mga variation (pagkakaiba). Kung masyadong mataas ang deviation, hindi magkakasya nang maayos ang mga bahagi.

Sa sektor ng pananalapi (finance), ang standard deviation ay ang pangunahing sukatan para sukatin ang market volatility at pagtatasa ng panganib sa pamumuhunan. Regular na ginagamit ng mga teknikal na analyst ang standard deviation upang kalkulahin ang volatility ng stock at gumawa ng mga trading indicator tulad ng mga Bollinger Band. Bukod sa pananalapi, ginagamit din ng mga sociologist at pollster ang standard deviation upang kalkulahin ang mga margin of error at sukatin ang kawalan ng katiyakan (uncertainty) sa mga pampublikong survey (public opinion surveys).

Sa estadistika, tumutulong ang standard deviation na matukoy kung gaano karaming data ang napapabilang sa isang partikular na interval. Sa ilalim ng theorem ni Chebyshev, halimbawa, alam natin na anuman ang hugis ng distribusyon, hindi bababa sa 75% ng lahat ng halaga ng data ang mapapabilang sa eksaktong dalawang standard deviation mula sa mean.

Tingnan natin ang isang praktikal na halimbawa sa meteorolohiya (meteorology). Isipin na pinag-aaralan ang pang-araw-araw na temperatura ng dalawang lungsod sa parehong rehiyon—isang nasa baybayin (coastal) at isang nasa kapatagan (inland). Bagama't maaaring magkapareho nang eksakto ang average na pinakamataas na pang-araw-araw na temperatura ng dalawang lungsod, ang kanilang mga standard deviation ay magsasabi ng isang ganap na kakaibang kwento.

Makararanas ang inland na lungsod ng mas malawak na pagkalat ng mga matinding temperatura, na magreresulta sa mas mataas na standard deviation. Sa kabaligtaran, ang mga temperatura sa coastal na lungsod ay halos magkakalapit lamang sa paligid ng average, na magreresulta sa mas mababang standard deviation. Sa estadistika, kinukumpirma nito ang ating pisikal na nararanasan: ang lungsod sa baybayin ay nagtatamasa ng mas banayad at mas consistent na klima.