Odchylenie standardowe

Odchylenie standardowe jako miara statystyczna

Odchylenie standardowe to jedna z najczęściej używanych miar statystycznych do opisu zbioru danych. Mówiąc najprościej, jest to wskaźnik rozproszenia (dyspersji) wyników. Obliczając odchylenie standardowe, dowiesz się, czy poszczególne wartości są skupione blisko średniej, czy też są od niej mocno oddalone. Jeśli punkty danych znacznie odbiegają od wartości średniej, oznacza to dużą wariancję w zbiorze. Zatem, im większe rozproszenie danych, tym wyższe jest odchylenie standardowe.

Nasz kalkulator odchylenia standardowego błyskawicznie analizuje podany zbiór danych i prezentuje szczegółowe kroki matematyczne niezbędne do uzyskania dokładnego wyniku.

Zasady korzystania z kalkulatora odchylenia standardowego

Kalkulator statystyczny akceptuje dane wejściowe w postaci listy liczb oddzielonych dowolnym separatorem. Poniższa tabela przedstawia kilka przykładów prawidłowego wprowadzania danych.

dane wejściowe w wierszu	dane wejściowe w kolumnie	dane wejściowe w kolumnie	dane wejściowe w kolumnie
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Wprowadzane liczby mogą być oddzielone przecinkiem, spacją, znakiem nowej linii (enterem) lub kombinacją tych znaków. Narzędzie obsługuje zarówno formaty wierszowe, jak i kolumnowe. Niezależnie od wybranego formatu z powyższej tabeli, kalkulator poprawnie zinterpretuje i przetworzy dane wejściowe jako zestaw: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 i 89.

Po wpisaniu wartości wybierz, czy zbiór reprezentuje próbę statystyczną, czy całą populację, a następnie zatwierdź przyciskiem enter. Kalkulator wygeneruje pięć kluczowych parametrów statystycznych dla podanego zbioru: liczebność (liczbę obserwacji), średnią, sumę kwadratów odchyleń, wariancję oraz odchylenie standardowe.

Jakie problemy rozwiązuje ten kalkulator statystyczny?

Narzędzie zostało zaprojektowane z myślą o precyzyjnym obliczaniu odchylenia standardowego dla dyskretnego zbioru danych, oferując jednocześnie wgląd w teorię stojącą za tymi wyliczeniami.

Dane mogą obejmować całą populację, czyli wszystkie możliwe obserwacje badanego zjawiska w określonych warunkach. W wielu rzeczywistych sytuacjach zbadanie każdego elementu populacji jest jednak obiektywnie niemożliwe.

W praktyce statystycznej najczęściej pracuje się z podzbiorem większej populacji, nazywanym „próbą statystyczną”. Dzieje się tak, ponieważ zbieranie danych od każdej pojedynczej jednostki bywa niepraktyczne lub wręcz niewykonalne. Zamiast tego dokonujemy estymacji – wyciągamy wnioski na temat całej populacji, opierając się na informacjach zebranych z próby.

Obliczając odchylenie standardowe, stosujemy nieco inny wzór w zależności od tego, czy analizujemy próbę, czy populację. Korekty tej dokonuje się za pomocą parametru znanego jako „stopnie swobody”. W przypadku próby, podczas obliczania wariancji sumę odchyleń dzielimy przez n - 1 (gdzie n to liczebność próby) zamiast przez n. Następnie z uzyskanej wariancji wyciągany jest pierwiastek kwadratowy, co daje nam odchylenie standardowe. Zabieg ten kompensuje fakt używania wyników z próby do szacowania parametrów populacji i gwarantuje, że nasz estymator jest nieobciążony.

Odchylenie standardowe mierzy przeciętne rozproszenie i zmienność zbioru danych względem jego średniej. W statystyce najczęściej oznacza się je grecką literą σ (sigma) dla populacji lub literą s dla próby. Wyższa wartość σ lub s wskazuje na większe oddalenie punktów danych od średniej, i odwrotnie.

Rozważmy następujące przykłady zbiorów danych.

(Zbiór I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Zbiór II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20 Wprowadzając te dane do naszego kalkulatora, otrzymujemy:

Dla Zbioru I:

• x̄ = 16 - wartość średnia
• s = 8,3904708 - odchylenie standardowe

Dla Zbioru II:

• x̄ = 16 - wartość średnia
• s = 2,3664319 - odchylenie standardowe

Jak widać, w Zbiorze I liczby znacznie odbiegają od średniej próby (s = 8,39), podczas gdy w Zbiorze II zmienność danych jest niewielka (s = 2,36).

Wzory na odchylenie standardowe

Poniższy wzór stosuje się, gdy analizowane są wszystkie wartości w populacji (odchylenie standardowe populacji):

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ to odchylenie standardowe populacji,
• xᵢ to pojedyncza wartość w populacji,
• μ to średnia arytmetyczna populacji,
• N to liczebność populacji.

Kolejny wzór jest używany, gdy populacja jest bardzo duża i do analizy pobierana jest jedynie jej próba (odchylenie standardowe próby):

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s to odchylenie standardowe próby,
• xᵢ to pojedyncza wartość w próbie,
• x̄ to średnia próby,
• n to liczebność próby.

Jak obliczyć odchylenie standardowe krok po kroku

Proces obliczania odchylenia standardowego składa się z poniższych etapów.

Krok 1: Oblicz średnią próby lub populacji. Jest to suma wszystkich wartości w zbiorze podzielona przez liczbę obserwacji (N lub n).

Średnia próby:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

Średnia populacji:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

Krok 2: Oblicz odchylenia, odejmując wartość średnią od każdego pojedynczego punktu danych.

Odchylenia dla próby:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Odchylenia dla populacji:

$$(x₁-\mu), (x₂-\mu), (x_3-\mu)……………….. (x_N-\mu)$$

Krok 3: Oblicz kwadraty odchyleń dla każdego punktu danych.

Kwadraty odchyleń dla próby:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Kwadraty odchyleń dla populacji:

$$(x₁-\mu)^2, (x₂-\mu)^2, (x_3-\mu)^2……………….. (x_N-\mu)^2$$

Krok 4: Znajdź sumę kwadratów odchyleń (SS - Sum of Squares), dodając do siebie wszystkie indywidualne wyniki z poprzedniego kroku.

Suma kwadratów odchyleń dla próby:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Suma kwadratów odchyleń dla populacji:

$$SS=(x₁-\mu)^2+ (x₂-\mu)^2+(x_3-\mu)^2……………….+ (x_N-\mu)^2$$

Krok 5: Podziel sumę kwadratów odchyleń przez liczbę stopni swobody, aby uzyskać wariancję. W przypadku populacji dzielimy przez N, natomiast dla próby przez n - 1.

Wariancja próby:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Wariancja populacji:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Można by przypuszczać, że do obliczenia wariancji próby użyjemy wyrażenia:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

gdzie x̄ to średnia próby, a n to jej wielkość. W praktyce statystycznej nie stosuje się jednak tego rozwiązania.

Powyższy wzór nie zapewniłby optymalnego oszacowania wariancji w populacji. Gdy analizowana populacja jest bardzo duża, a próba stosunkowo mała, wariancja obliczona tą metodą byłaby niedoszacowana. Wykazałaby zbyt małą wartość z powodu ograniczonej puli danych. Dlatego dzielenie przez n - 1 sztucznie i celowo zwiększa ostateczną wartość wariancji.

Dzieląc przez n - 1 zamiast przez n, otrzymujemy wynik nieco większy, ale tym samym znacznie bliższy rzeczywistej wariancji panującej w pełnej populacji.

Krok 6: Wyciągnij pierwiastek kwadratowy z uzyskanej wariancji. Odchylenie standardowe to zawsze matematyczny pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Odchylenie standardowe próby:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Odchylenie standardowe populacji:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Przykład obliczenia odchylenia standardowego dla próby

Rozważmy następujące wyniki z egzaminu końcowego z fizyki dla grupy n = 8 studentów:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82, i 84

Nasz kalkulator wyliczy odchylenie standardowe próby, realizując następujące kroki:

Krok 1: Obliczenie średniej.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+67+70+75+80+81+82+84}{8}=73$$

Krok 2: Obliczenie odchyleń.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄	x₇-x̄	x₈-x̄
45-73	67-73	70-73	75-73	80-73	81-73	82-73	84-73
-28	-6	-3	2	7	8	9	11

Krok 3: Obliczenie kwadratów odchyleń.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²	(x₇-x̄)²	(x₈-x̄)²
784	36	9	4	49	64	81	121

Krok 4: Zsumowanie kwadratów odchyleń (SS).

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Krok 5: Obliczenie wariancji poprzez podzielenie sumy kwadratów odchyleń przez stopnie swobody (n - 1). W przypadku całej populacji dzielilibyśmy przez N. Tutaj jednak mamy do czynienia z próbą – zbiorczymi danymi dla części, a nie dla wszystkich studentów.

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{7}=164$$

Krok 6: Wyciągnięcie pierwiastka kwadratowego z wariancji, aby otrzymać ostateczne odchylenie standardowe.

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{164}\approx 12,80$$

Zastosowania odchylenia standardowego

Wariancja i odchylenie standardowe są niezastąpionymi narzędziami analitycznymi przy określaniu rozrzutu wyników. Wysokie wartości obu tych miar informują nas o mocnym rozproszeniu danych. To niezwykle użyteczna wiedza podczas porównywania dwóch (lub więcej) zbiorów w celu ustalenia, który z nich charakteryzuje się największą dynamiką lub nieregularnością.

W przemyśle odchylenie standardowe to fundament procesów kontroli jakości. W masowej produkcji parametry poszczególnych produktów muszą mieścić się w rygorystycznych normach tolerancji. Skutecznie monitoruje się to właśnie poprzez analizę odchyleń standardowych dla próbek z linii produkcyjnej. Przykładowo, przy produkcji śrub i nakrętek różnice w średnicach muszą być minimalne, inaczej elementy po prostu do siebie nie będą pasować.

W sektorze finansowym oraz dziedzinach pokrewnych, parametr ten służy do szacowania ryzyka inwestycyjnego. W analityce giełdowej i analizie technicznej rynków, odchylenie standardowe wykorzystuje się do obliczania zmienności aktywów i m.in. do wyznaczania wstęg Bollingera.

Poza finansami odchylenie standardowe to kluczowy element socjologii. Jest wykorzystywane chociażby przy badaniach opinii publicznej, gdzie pozwala określić ramy błędu statystycznego i poziom niepewności pomiarowej.

Ponadto wariancja i odchylenie standardowe pomagają oszacować, jaki odsetek wyników znajdzie się w określonym przedziale danego rozkładu. Klasycznym tego przykładem jest twierdzenie Czebyszewa, według którego dla każdego rozkładu danych co najmniej 75% wszystkich wartości mieści się w promieniu nie większym niż dwa odchylenia standardowe od średniej.

Spójrzmy na obrazowy przykład z klimatologii. Załóżmy, że badamy codzienne temperatury w dwóch miastach leżących w tym samym regionie geograficznym. Jedno znajduje się na wybrzeżu, drugie w głębi lądu. Średnia maksymalna temperatura dzienna dla obu tych miast może być identyczna, jednak to odchylenie standardowe – czyli dynamika i rozrzut temperatur – będzie odczuwalnie wyższe dla miasta kontynentalnego, a niższe dla osady nadmorskiej.

W praktyce oznacza to, że w mieście w głębi lądu możemy spodziewać się wyższych wahań i ekstremów pogodowych w ciągu roku, podczas gdy obszar nadmorski będzie cechował się znacznie stabilniejszym i łagodniejszym klimatem.