ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นการวัดทางสถิติ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นหนึ่งในหน่วยเมตริกที่ใช้กันมากที่สุดเพื่อระบุลักษณะสถิติของชุดข้อมูลที่กำหนด กล่าวง่ายๆ ก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือการวัดความกระจัดกระจายของชุดข้อมูล ด้วยการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณจะทราบได้ว่าตัวเลขนั้นอยู่ใกล้หรือไกลจากค่าเฉลี่ย หากจุดข้อมูลอยู่ไกลจากค่าเฉลี่ย แสดงว่าชุดข้อมูลมีความเบี่ยงเบนอย่างมาก ดังนั้น ยิ่งการกระจายข้อมูลมาก ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะยิ่งสูงขึ้น

เครื่องคำนวณนี้จะกำหนดค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลที่กำหนด และแสดงขั้นตอนทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณ

กฎการใช้เครื่องคำนวณนี้

เครื่องคำนวณยอมรับอินพุตเป็นรายการตัวเลขที่คั่นด้วยตัวคั่น ตัวอย่างอินพุตที่เป็นไปได้จะแสดงอยู่ในตารางด้านล่าง

row input	column input	column input	column input
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

ตัวเลขสามารถคั่นด้วยเครื่องหมายจุลภาค/เว้นวรรค/ขึ้นบรรทัด หรือผสมกัน และสามารถแทรกในรูปแบบแถวหรือคอลัมน์ก็ได้ สำหรับรูปแบบทั้งหมดที่แสดงในตารางด้านบน เครื่องคำนวณจะประมวลผลอินพุตเป็น 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 และ 89

เมื่อป้อนข้อมูลแล้ว ให้เลือกว่าจะเป็นข้อมูลตัวอย่างหรือข้อมูลประชากร แล้วกดตกลง เครื่องคำนวณจะแสดงพารามิเตอร์ทางสถิติห้าชุดของชุดข้อมูล ได้แก่ จำนวน (จำนวนการสังเกต) ค่าเฉลี่ย ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง ความแปรปรวน และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ปัญหาที่เครื่องคำนวณนี้ออกแบบมาเพื่อแก้ไข

เครื่องคำนวณได้รับการออกแบบมาเพื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลแยกกัน และให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับทฤษฎีที่อยู่เบื้องหลังการคำนวณ

ข้อมูลอาจประกอบด้วยประชากรที่ประกอบด้วยการสังเกตที่เป็นไปได้ทั้งหมดในการทดลอง (ชนิดใดๆ ก็ตาม) ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุ ในหลายกรณี ไม่สามารถสุ่มตัวอย่างสมาชิกประชากรแต่ละคนได้

ในทางปฏิบัติทางสถิติ เป็นเรื่องปกติที่จะทำงานกับกลุ่มย่อยของ 'ประชากร' ที่ใหญ่กว่า ซึ่งเราเรียกว่า 'ตัวอย่าง' เนื่องจากมักทำไม่ได้ในทางปฏิบัติหรือเป็นไปไม่ได้ที่จะรวบรวมข้อมูลจากบุคคลทุกคนในประชากร เราประมาณการหรืออนุมานเกี่ยวกับประชากรโดยอาศัยข้อมูลที่รวบรวมจากกลุ่มตัวอย่าง

เมื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่เราใช้จะถูกปรับ ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังจัดการกับกลุ่มตัวอย่างหรือประชากรทั้งหมด การปรับเปลี่ยนนี้เกิดขึ้นจากปัจจัยที่เรียกว่า 'ระดับความเป็นอิสระ' สำหรับตัวอย่าง เราจะหารด้วย n - 1 (โดยที่ n คือขนาดตัวอย่าง) แทนที่จะหารด้วย n เมื่อคำนวณค่าความแปรปรวน ซึ่งจากนั้นจึงนำไปยกกำลังสองเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน การแก้ไขนี้ชดเชยความจริงที่ว่าเราใช้ข้อมูลตัวอย่างเพื่อประมาณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร และช่วยให้แน่ใจว่าการประมาณการของเรายุติธรรม

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะวัดค่าการกระจายตัว/ค่าเบี่ยงเบน/ค่าความแปรปรวนโดยเฉลี่ยของชุดข้อมูลโดยสัมพันธ์กับค่าเฉลี่ย มักเขียนแทนด้วยตัวอักษรกรีก σ สำหรับประชากรหรือ s สำหรับตัวอย่าง ค่า σ หรือ s ที่มากขึ้นหมายถึงการกระจายตัวของจุดข้อมูลที่มากขึ้นจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างและในทางกลับกัน

พิจารณาตัวอย่างชุดข้อมูลต่อไปนี้

(ชุด I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(ชุด II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20 เมื่อแทนชุดข้อมูลเหล่านี้ลงในเครื่องคำนวณ เราจะได้ชุด I

• x̄=16 - ค่าเฉลี่ย
• s=8.3904708 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สำหรับชุด II

• x̄=16 - ค่าเฉลี่ย
• s=2.3664319 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ในชุด I ตัวเลขเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยตัวอย่างอย่างมีนัยสำคัญ (s=8.39) ในขณะที่ชุด II ค่าความแปรปรวนมีน้อย (s=2.36) เมื่อเปรียบเทียบกับชุด I

สูตรคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สูตรนี้จะใช้เมื่อมีการวิเคราะห์ค่าทั้งหมดของประชากร

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
• xᵢ คือมูลค่าของมูลค่าส่วนบุคคลของประชากร
• μ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
• n คือขนาดของประชากร

สูตรด้านล่างนี้ใช้เมื่อมีประชากรจำนวนมากและมีเพียงตัวอย่างเท่านั้นที่นำมาวิเคราะห์

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง
• xᵢ คือค่าของค่าตัวอย่างแต่ละรายการ
• x̄ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• n คือขนาดตัวอย่าง

การคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขั้นตอนต่อไปนี้เกี่ยวข้องกับการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณตัวอย่าง/ค่าเฉลี่ยประชากร คือผลรวมของจุดข้อมูลทั้งหมดหารด้วยจำนวนนับ N หรือ n เช่น

ค่าเฉลี่ยตัวอย่าง:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

ค่าเฉลี่ยประชากร

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบนโดยการลบตัวอย่าง/ค่าเฉลี่ยประชากรออกจากจุดข้อมูลแต่ละจุด เช่น

ตัวอย่างการเบี่ยงเบน:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

ค่าเบี่ยงเบนของประชากร:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x₃-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณค่าเบี่ยงเบนกำลังสองสำหรับจุดข้อมูลแต่ละจุด

ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

ค่าเบี่ยงเบนกำลังสองของประชากร:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x₃-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 4: คำนวณผลรวมของค่าเบี่ยงเบนกำลังสองโดยการบวกค่าเบี่ยงเบนกำลังสองแต่ละตัว

ผลรวมตัวอย่างของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

ผลรวมประชากรของค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x₃-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 5: หารผลรวมของการเบี่ยงเบนกำลังสองด้วยจำนวนดีกรีอิสระเพื่อให้ได้ค่าความแปรปรวน สำหรับประชากร ให้หารด้วย N และสำหรับกลุ่มตัวอย่าง ให้หารด้วย n-1

ความแปรปรวนตัวอย่าง

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1}$$

ค่าความแปรปรวนของประชากร

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N}$$

เมื่อคำนวณค่าความแปรปรวนสำหรับตัวอย่าง เราสามารถสรุปได้ว่าเราจะใช้นิพจน์ในการคำนวณ:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

ที่ซึ่ง

x̄ คือค่าเฉลี่ยตัวอย่าง และ n คือขนาดตัวอย่าง แต่ไม่ได้ใช้สูตรดังกล่าว

การแสดงออกดังกล่าวไม่สามารถประมาณค่าความแปรปรวนของประชากรได้ดีนัก เมื่อประชากรทั่วไปมีขนาดใหญ่มากและกลุ่มตัวอย่างมีขนาดเล็กมาก ความแปรปรวนที่คำนวณโดยสูตรนี้จะประเมินค่าความแปรปรวนของประชากรต่ำไป ซึ่งจะแสดงความแปรปรวนน้อยเกินไปเนื่องจากขาดข้อมูล ดังนั้นโดยใช้นิพจน์ n-1 เราจะเพิ่มค่าความแปรปรวนที่เป็นไปได้

แทนที่จะหารด้วย n เราจะหาค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างโดยการหารด้วย n-1 การดำเนินการนี้ให้ค่าผลต่างที่มากกว่าเล็กน้อย ซึ่งใกล้เคียงกับค่าจริงมากขึ้น

ขั้นตอนที่ 6: แยกรากที่สองของตัวเลขผลลัพธ์ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือรากที่สองของความแปรปรวน

ตัวอย่างค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

ตัวอย่างการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

ให้เราพิจารณาคะแนนต่อไปนี้ของนักเรียน n=8 คนในรอบชิงชนะเลิศวิชาฟิสิกส์:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 และ 84

เครื่องคำนวณจะคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างโดยใช้ขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณค่าเฉลี่ย.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณค่าเบี่ยงเบน

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄	x₇-x̄	x₈-x̄
45-73	67-73	70-73	75-73	80-73	81-73	82-73	84-73
-28	-6	-3	2	7	8	9	11

ขั้นตอนที่ 3: คำนวณกำลังสองของค่าเบี่ยงเบน

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²	(x₇-x̄)²	(x₈-x̄)²
784	36	9	4	49	64	81	121

ขั้นตอนที่ 4: รวมค่าเบี่ยงเบนกำลังสอง.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณค่าความแปรปรวนโดยการหารผลรวมของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองด้วยดีกรีอิสระ (n-1) สำหรับประชากร ค่าความแปรปรวนในขั้นตอนนี้จะถูกหารด้วย N แทนที่จะเป็น N-1 ในกรณีนี้ เรามีตัวอย่าง นั่นคือ ข้อมูลเกี่ยวกับส่วนหนึ่งของประชากรนักศึกษา ไม่ใช่ประชากรทั้งหมด

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

ขั้นตอนที่ 6: หารากที่สองของค่าความแปรปรวนเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

การประยุกต์ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

การกระจายตัวและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสามารถใช้เพื่อกำหนดการกระจายของข้อมูลได้ หากค่าความแปรปรวนหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีขนาดใหญ่ ข้อมูลก็จะกระจัดกระจายมากขึ้น ข้อมูลนี้มีประโยชน์เมื่อเปรียบเทียบชุดข้อมูลสองชุด (หรือมากกว่า) เพื่อพิจารณาว่าชุดใดมีตัวแปรมากกว่า (ส่วนใหญ่)

ในอุตสาหกรรม ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกนำมาใช้กันอย่างแพร่หลายในการควบคุมคุณภาพ ในการผลิตขนาดใหญ่ คุณลักษณะของผลิตภัณฑ์บางอย่างจะต้องอยู่ภายในช่วงที่กำหนดซึ่งสามารถเข้าถึงได้โดยการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ในการผลิตน็อตและสลักเกลียว ค่าความแปรผันของเส้นผ่านศูนย์กลางจะต้องมีขนาดเล็ก มิฉะนั้นชิ้นส่วนจะไม่พอดีกัน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกนำมาใช้ในด้านการเงินและด้านอื่นๆ อีกมากมายเพื่อประเมินความเสี่ยง ในการวิเคราะห์ทางเทคนิค ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจะใช้ในการสร้างเส้น Bollinger และคำนวณความผันผวน

นอกจากนี้ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานยังใช้ในด้านการเงินเป็นการวัดความผันผวน และในด้านสังคมวิทยา ก็ใช้ในการสำรวจความคิดเห็นของประชาชนเพื่อช่วยคำนวณความไม่แน่นอน

ค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานใช้เพื่อกำหนดจำนวนค่าข้อมูลที่อยู่ภายในช่วงการแจกแจงที่กำหนด ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของ Chebyshev แสดงให้เห็นว่าสำหรับการแจกแจงใดๆ ค่าข้อมูลอย่างน้อย 75% จะอยู่ภายใน 2 ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของค่าเฉลี่ย

ลองยกตัวอย่างง่ายๆ เกี่ยวกับสภาพอากาศ สมมติว่าเราศึกษาอุณหภูมิรายวันของสองเมืองในภูมิภาคเดียวกัน เมืองหนึ่งอยู่บนชายฝั่งและอีกเมืองหนึ่งอยู่ในแผ่นดิน อุณหภูมิสูงสุดเฉลี่ยรายวันในสองเมืองนี้อาจจะเท่ากัน แต่ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน กล่าวคือ การแพร่กระจายของอุณหภูมิสูงสุดรายวันจะมากกว่าสำหรับเมืองที่ตั้งอยู่ในทวีปนี้ และเมืองชายฝั่งทะเลจะมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานน้อยกว่าของอุณหภูมิสูงสุดรายวัน

ซึ่งหมายความว่าเมืองในทวีปจะมีการเปลี่ยนแปลงของอุณหภูมิอากาศสูงสุดในแต่ละวันของปีมากกว่าเมืองชายฝั่ง กล่าวคือเมืองชายฝั่งทะเลจะมีสภาพอากาศที่อุ่นขึ้น