ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน: มาตรวัดทางสถิติที่สำคัญ

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) เป็นหนึ่งในมาตรวัดทางสถิติที่นิยมใช้กันมากที่สุดเพื่อใช้อธิบายลักษณะของชุดข้อมูล กล่าวง่ายๆ ก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือตัวชี้วัด "การกระจายตัว" ของชุดข้อมูล เมื่อคุณคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน คุณจะทราบได้ว่าข้อมูลแต่ละตัวอยู่ใกล้หรือไกลจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด หากจุดข้อมูลอยู่ห่างจากค่าเฉลี่ยมาก แสดงว่าชุดข้อมูลนั้นมีความเบี่ยงเบนสูง ดังนั้น ยิ่งข้อมูลมีการกระจายตัวมากเท่าใด ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานก็จะยิ่งสูงขึ้นตามไปด้วย

เครื่องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานออนไลน์นี้ ออกแบบมาเพื่อช่วยคุณหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูลได้อย่างรวดเร็ว พร้อมทั้งแสดงขั้นตอนและสมการทางคณิตศาสตร์ที่เกี่ยวข้องอย่างละเอียด

วิธีการใช้งานเครื่องคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

เครื่องคำนวณของเรารองรับการป้อนข้อมูลตัวเลขที่คั่นด้วยสัญลักษณ์ต่างๆ โดยคุณสามารถดูรูปแบบการป้อนข้อมูลที่ถูกต้องได้จากตารางด้านล่างนี้

คุณสามารถคั่นตัวเลขด้วยเครื่องหมายจุลภาค (Comma) การเว้นวรรค (Space) การขึ้นบรรทัดใหม่ (Line break) หรือใช้ผสมกันก็ได้ และสามารถวางข้อมูลในรูปแบบแถวหรือคอลัมน์ได้อย่างอิสระ จากรูปแบบทั้งหมดที่แสดงในตารางด้านบน เครื่องคำนวณจะประมวลผลข้อมูลชุดเดียวกันคือ: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 และ 89

เมื่อป้อนข้อมูลเสร็จแล้ว ให้เลือกว่าข้อมูลของคุณคือ ข้อมูลตัวอย่าง (Sample) หรือ ข้อมูลประชากร (Population) จากนั้นกดปุ่มคำนวณ ระบบจะแสดงพารามิเตอร์ทางสถิติ 5 ค่า ได้แก่ จำนวนข้อมูล (N หรือ n), ค่าเฉลี่ย (Mean), ผลรวมของความคลาดเคลื่อนยกกำลังสอง (Sum of Squared Deviations), ความแปรปรวน (Variance) และค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

หลักการทำงานและประโยชน์ของเครื่องคำนวณ

เครื่องคำนวณนี้ได้รับการออกแบบมาเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของชุดข้อมูล พร้อมทั้งให้ความรู้เกี่ยวกับทฤษฎีทางสถิติที่อยู่เบื้องหลังการคำนวณอย่างลึกซึ้ง

ในทางสถิติ ข้อมูลอาจมาจาก ประชากร (Population) ซึ่งหมายถึงข้อมูลจากการสังเกตที่เป็นไปได้ทั้งหมดภายใต้เงื่อนไขที่กำหนด แต่ในความเป็นจริง การเก็บรวบรวมข้อมูลจากสมาชิกทุกหน่วยในประชากรนั้นมักเป็นไปไม่ได้หรือใช้ต้นทุนสูงเกินไป

ดังนั้น นักสถิติจึงนิยมทำงานกับกลุ่มย่อยของประชากรที่เรียกว่า กลุ่มตัวอย่าง (Sample) แทน เราใช้ข้อมูลที่รวบรวมจากกลุ่มตัวอย่างเพื่อนำไปประมาณค่า หรืออ้างอิงถึงประชากรกลุ่มใหญ่

เมื่อเราคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน สูตรที่ใช้จะมีความแตกต่างกันเล็กน้อย ขึ้นอยู่กับว่าเรากำลังวิเคราะห์กลุ่มตัวอย่างหรือประชากรทั้งหมด การปรับเปลี่ยนนี้เกี่ยวข้องกับสิ่งที่เรียกว่า 'ระดับความเป็นอิสระ' (Degrees of Freedom) สำหรับกลุ่มตัวอย่าง เราจะหารด้วย n - 1 (โดยที่ n คือขนาดตัวอย่าง) แทนที่จะหารด้วย n เมื่อหาค่าความแปรปรวน ก่อนที่จะนำไปถอดรากที่สองเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน การชดเชยนี้มีความจำเป็นเนื่องจากเราใช้ข้อมูลตัวอย่างเพื่อประมาณค่าประชากร การหารด้วย n - 1 จะช่วยให้ค่าประมาณที่เราได้มีความแม่นยำและไม่ต่ำกว่าความเป็นจริง (Unbiased estimator)

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือตัวชี้วัดว่าข้อมูลโดยเฉลี่ยมีการกระจายตัว เบี่ยงเบน หรือแปรปรวนไปจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์กรีก σ (ซิกม่า) สำหรับข้อมูลประชากร และ s สำหรับข้อมูลตัวอย่าง ค่า σ หรือ s ที่สูง หมายถึงข้อมูลมีการกระจายตัวออกจากค่าเฉลี่ยมาก และในทางกลับกัน ค่าที่ต่ำหมายถึงข้อมูลเกาะกลุ่มอยู่ใกล้ค่าเฉลี่ย

พิจารณาตัวอย่างชุดข้อมูล 2 ชุดต่อไปนี้:

(ชุดที่ I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(ชุดที่ II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

เมื่อนำชุดข้อมูลเหล่านี้มาวิเคราะห์ในเครื่องคำนวณ เราจะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

สำหรับชุดที่ I

• x̄=16 - ค่าเฉลี่ย
• s=8.3904708 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สำหรับชุดที่ II

• x̄=16 - ค่าเฉลี่ย
• s=2.3664319 - ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

จะเห็นได้ว่าในชุดที่ I ตัวเลขมีความเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยค่อนข้างมาก (s=8.39) ในขณะที่ชุดที่ II ข้อมูลมีการกระจายตัวน้อยกว่ามาก (s=2.36) ทั้งที่ค่าเฉลี่ยของทั้งสองชุดเท่ากัน

สูตรการหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

สูตรด้านล่างนี้ใช้เมื่อคุณมีข้อมูลครบถ้วนของประชากรทั้งหมด (Population Standard Deviation):

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของประชากร
• xᵢ คือค่าของข้อมูลแต่ละตัวในประชากร
• μ คือค่าเฉลี่ยเลขคณิตของประชากร
• N คือขนาดของประชากร (จำนวนข้อมูลทั้งหมด)

สูตรด้านล่างนี้ใช้เมื่อคุณนำกลุ่มตัวอย่างมาวิเคราะห์เพื่ออ้างอิงถึงประชากร (Sample Standard Deviation):

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s คือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง
• xᵢ คือค่าของข้อมูลแต่ละตัวในกลุ่มตัวอย่าง
• x̄ คือค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• n คือขนาดของกลุ่มตัวอย่าง (จำนวนข้อมูลที่สุ่มมา)

ขั้นตอนการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

หากคุณต้องการคำนวณด้วยตนเอง สามารถทำตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1: หาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างหรือประชากร โดยนำข้อมูลทุกตัวมาบวกกัน แล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด (N หรือ n)

ค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่าง:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

ค่าเฉลี่ยประชากร:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณความเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัว โดยนำข้อมูลแต่ละตัวไปลบด้วยค่าเฉลี่ย

ความเบี่ยงเบนของกลุ่มตัวอย่าง:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

ความเบี่ยงเบนของประชากร:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x₃-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

ขั้นตอนที่ 3: นำค่าความเบี่ยงเบนที่ได้จากขั้นตอนที่ 2 มายกกำลังสอง

ความเบี่ยงเบนยกกำลังสองของกลุ่มตัวอย่าง:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

ความเบี่ยงเบนยกกำลังสองของประชากร:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x₃-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 4: หาผลรวมของค่าความเบี่ยงเบนยกกำลังสอง (Sum of Squares) ทั้งหมด

ผลรวมความเบี่ยงเบนยกกำลังสองของกลุ่มตัวอย่าง:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

ผลรวมความเบี่ยงเบนยกกำลังสองของประชากร:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x₃-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 5: หารผลรวมที่ได้ด้วย "ระดับความเป็นอิสระ" (Degrees of freedom) เพื่อหาค่าความแปรปรวน (Variance) สำหรับประชากร ให้หารด้วย N และสำหรับกลุ่มตัวอย่าง ให้หารด้วย n-1

ความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง:

$$s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1}$$

ความแปรปรวนของประชากร:

$$\sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N}$$

เหตุผลที่สูตรของกลุ่มตัวอย่างต้องหารด้วย n-1 แทนที่จะเป็น n (เช่นนิพจน์ $\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$) ก็เพราะว่า หากเรามีประชากรขนาดใหญ่แต่สุ่มตัวอย่างมาเพียงเล็กน้อย การใช้สูตรหารด้วย n จะทำให้ค่าความแปรปรวนที่คำนวณได้มีค่าน้อยกว่าความเป็นจริง (Underestimate) ซึ่งทำให้การประเมินการกระจายตัวของข้อมูลผิดพลาด ดังนั้น การใช้ n-1 จะช่วยปรับค่าชดเชยให้ความแปรปรวนที่ได้ใกล้เคียงกับความเป็นจริงมากขึ้น

ขั้นตอนที่ 6: ถอดรากที่สอง (Square root) ของความแปรปรวนที่คำนวณได้ ซึ่งผลลัพธ์ที่ได้ก็คือ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานกลุ่มตัวอย่าง:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานประชากร:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

ตัวอย่างการคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่าง

สมมติว่าเรามีคะแนนสอบปลายภาควิชาฟิสิกส์ของนักเรียนกลุ่มตัวอย่างจำนวน n=8 คน ดังนี้:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 และ 84

เครื่องคำนวณจะหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานของกลุ่มตัวอย่างตามขั้นตอนเหล่านี้:

ขั้นตอนที่ 1: หาค่าเฉลี่ย

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณความเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัว

ขั้นตอนที่ 3: นำค่าความเบี่ยงเบนมายกกำลังสอง

ขั้นตอนที่ 4: หาผลรวมของความเบี่ยงเบนยกกำลังสอง

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณความแปรปรวนโดยหารผลรวมด้วย n-1 (เนื่องจากเป็นข้อมูลกลุ่มตัวอย่างจากประชากรนักเรียนทั้งหมด)

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

ขั้นตอนที่ 6: ถอดรากที่สองของความแปรปรวนเพื่อหาค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

การประยุกต์ใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานในชีวิตจริง

เราใช้การกระจายตัวและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อทำความเข้าใจพฤติกรรมของข้อมูล หากความแปรปรวนหรือค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมีค่าสูง แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายตัวมาก ข้อมูลนี้มีประโยชน์อย่างยิ่งเมื่อต้องการเปรียบเทียบชุดข้อมูลตั้งแต่สองชุดขึ้นไปเพื่อดูว่ากลุ่มใดมีความผันผวนมากกว่ากัน

ในอุตสาหกรรมการผลิต ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานถูกใช้อย่างแพร่หลายใน การควบคุมคุณภาพ (Quality Control) สำหรับการผลิตขนาดใหญ่ ชิ้นส่วนผลิตภัณฑ์จะต้องมีขนาดอยู่ในช่วงเกณฑ์มาตรฐานที่ยอมรับได้ ซึ่งสามารถตรวจสอบได้โดยใช้ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน ตัวอย่างเช่น ในการผลิตน็อตและสลักเกลียว ความแปรปรวนของเส้นผ่านศูนย์กลางจะต้องมีค่าน้อยมาก เพื่อให้มั่นใจว่าชิ้นส่วนต่างๆ สามารถประกอบเข้าด้วยกันได้พอดี

ในโลกของ การเงินและการลงทุน ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเป็นเครื่องมือสำคัญในการประเมินความเสี่ยงและพิจารณาความผันผวนของราคาหุ้น ในการวิเคราะห์ปัจจัยทางเทคนิค (Technical Analysis) ตัวชี้วัดอย่าง Bollinger Bands ก็อาศัยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานมาใช้สร้างกรอบความผันผวนของราคา นอกจากนี้ในทาง สังคมวิทยา ยังมีการนำไปใช้ในผลสำรวจความคิดเห็นเพื่อคำนวณหาค่าความคลาดเคลื่อน (Margin of error)

นอกจากนี้ เรายังใช้ค่าความแปรปรวนและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานเพื่อตรวจสอบเปอร์เซ็นต์ของข้อมูลที่ตกอยู่ในช่วงต่างๆ ของการแจกแจง ตัวอย่างเช่น ทฤษฎีบทของเชบีเชฟ (Chebyshev's Theorem) ระบุว่า สำหรับการแจกแจงข้อมูลรูปแบบใดๆ จะมีข้อมูลอย่างน้อย 75% ที่มีค่าอยู่ภายในช่วง 2 เท่าของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานจากค่าเฉลี่ย

เพื่อให้เห็นภาพชัดเจน ลองนึกถึงตัวอย่างสภาพอากาศ สมมติว่าเราเปรียบเทียบอุณหภูมิรายวันของสองเมือง เมืองหนึ่งตั้งอยู่ริมชายฝั่งทะเล และอีกเมืองหนึ่งอยู่ลึกเข้าไปในแผ่นดิน อุณหภูมิสูงสุดเฉลี่ยของทั้งสองเมืองอาจเท่ากัน แต่เมื่อคำนวณค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแล้ว คุณจะพบว่าเมืองที่อยู่ในทวีปมีค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานสูงกว่าเมืองชายฝั่งทะเล

สิ่งนี้บ่งบอกว่า เมืองที่อยู่ในทวีปจะเผชิญกับความผันผวนของอุณหภูมิระหว่างวันมากกว่าตลอดทั้งปี ในขณะที่เมืองชายฝั่งทะเลจะมีสภาพอากาศที่ค่อนข้างคงที่และเปลี่ยนแปลงน้อยกว่า