Standardavvik

Standardavvik som et statistisk mål

Standardavvik er en av de mest brukte grunnleggende beregningene for å karakterisere et datasett. Enkelt sagt måler det spredningen i dataene dine. Ved å beregne standardavviket kan du enkelt finne ut om datapunktene dine er tett samlet rundt gjennomsnittet eller spredt over et vidt område. Et høyere standardavvik indikerer større variasjon og spredning i datasettet, mens en lavere verdi betyr at tallene ligger nærmere gjennomsnittet.

Vår kalkulator for standardavvik beregner den nøyaktige verdien for et hvilket som helst datasett og gir en omfattende, trinnvis gjennomgang av matematikken bak.

Slik bruker du kalkulatoren for standardavvik

Dette verktøyet er designet for å være brukervennlig og svært fleksibelt. Skriv ganske enkelt inn datasettet ditt som en liste med tall adskilt med et skilletegn. Tabellen nedenfor viser flere gyldige inndataformater:

Du kan skille tallene dine ved å bruke kommaer, mellomrom, linjeskift eller en kombinasjon av disse. Kalkulatoren håndterer sømløst både rad- og kolonneformater. Uansett hvilket format fra tabellen du velger, vil kalkulatoren behandle inndataene nøyaktig som datasettet: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 og 89.

Etter at du har skrevet inn dataene dine, velger du ganske enkelt om du jobber med et utvalg eller en hel populasjon, og trykker deretter på beregn. Verktøyet vil umiddelbart vise fem viktige statistiske parametere for datasettet ditt: antall (antall observasjoner), gjennomsnitt, summen av kvadratavvik, varians og det endelige standardavviket.

Hva løser denne kalkulatoren for standardavvik?

Denne kalkulatoren er utviklet for å beregne standardavviket til et diskret datasett, samtidig som den gir dyp innsikt i den statistiske teorien bak resultatene.

Data representerer vanligvis enten en populasjon eller et utvalg. En populasjon inkluderer alle mulige observasjoner i et eksperiment under spesifikke forhold. I praktisk statistikk er det imidlertid ofte upraktisk eller rett og slett umulig å samle inn data fra hvert eneste medlem av en enorm populasjon.

I stedet jobber forskere med en undergruppe av den større gruppen, kjent som et utvalg. Ved å analysere dette utvalget, kan vi gjøre svært nøyaktige estimater og slutninger om den bredere populasjonen.

Når man beregner standardavviket, endres formelen litt avhengig av om du evaluerer utvalgsdata eller en hel populasjon. Denne viktige justeringen involverer en matematisk faktor kjent som "frihetsgrader". For et utvalg deler vi variansen på n - 1 (hvor n er utvalgsstørrelsen) i stedet for n. Denne korreksjonen kompenserer for det faktum at vi bruker et utvalg for å estimere populasjonen, noe som sikrer at estimatet vårt av standardavviket er helt forventningsrett (uten bias).

Til syvende og sist måler standardavviket den gjennomsnittlige variasjonen eller spredningen til et datasett i forhold til gjennomsnittet. I statistikk betegnes det med den greske bokstaven σ (sigma) for en populasjon, eller s for et utvalg. En større σ- eller s-verdi betyr at datapunktene er vidt spredt fra gjennomsnittet, mens en mindre verdi indikerer at de er tett samlet.

La oss se på de følgende to datasettene som eksempler:

(Sett I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Sett II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Ved å legge inn disse tallene i vår kalkulator for standardavvik, får vi følgende resultater:

For Sett I:

• x̄ = 16 — gjennomsnittsverdien
• s = 8.3904708 — utvalgets standardavvik

For Sett II:

• x̄ = 16 — gjennomsnittsverdien
• s = 2.3664319 — utvalgets standardavvik

Selv om begge settene har nøyaktig samme gjennomsnitt (x̄ = 16), er fordelingene deres svært forskjellige. I Sett I avviker tallene betydelig fra utvalgets gjennomsnitt (s = 8.39), mens i Sett II er variasjonen bemerkelsesverdig liten (s = 2.36).

Formler for beregning av standardavvik

Formelen for populasjonsstandardavvik brukes når man analyserer hver eneste verdi innenfor en komplett populasjon:

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ er populasjonens standardavvik,
• xᵢ er en enkeltverdi i populasjonen,
• μ er det aritmetiske gjennomsnittet av populasjonen,
• N er størrelsen på populasjonen.

Formelen for utvalgsstandardavvik benyttes når populasjonen er for stor til å måles i sin helhet, og kun et representativt utvalg analyseres:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s er utvalgets standardavvik,
• xᵢ er en enkeltverdi i utvalget,
• x̄ er gjennomsnittet av utvalget,
• n er utvalgsstørrelsen.

Trinnvis beregning av standardavvik

Å beregne standardavviket manuelt innebærer følgende matematiske trinn:

Trinn 1: Beregn gjennomsnittet for utvalget eller populasjonen. Dette er summen av alle datapunkter delt på det totale antallet observasjoner (N eller n).

Utvalgsgjennomsnitt:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

Populasjonsgjennomsnitt:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

Trinn 2: Beregn de individuelle avvikene ved å trekke gjennomsnittet fra hvert respektive datapunkt.

Utvalgsavvik:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Populasjonsavvik:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x₃-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

Trinn 3: Kvadrer hvert enkelt avvik.

Kvadrerte utvalgsavvik:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Kvadrerte populasjonsavvik:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x₃-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

Trinn 4: Beregn kvadratsummen (SS) ved å legge sammen alle de kvadrerte avvikene.

Kvadratsum for utvalg:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Kvadratsum for populasjon:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x₃-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

Trinn 5: Bestem variansen ved å dele kvadratsummen på de riktige frihetsgradene. For en populasjon, del på N. For et utvalg, del på n - 1.

Utvalgsvarians:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Populasjonsvarians:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Du antar kanskje at beregning av utvalgsvarians krever at man utelukkende deler på n:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

Imidlertid vil det å bruke n direkte i et utvalg ofte føre til et unøyaktig estimat. Når man har å gjøre med et lite utvalg trukket fra en massiv populasjon, vil deling på n rutinemessig underestimere den sanne variansen. For å korrigere for denne mangelen på data og eliminere skjevhet (bias), deler vi på n - 1 (kjent som Bessels korreksjon). Dette øker variansen litt, noe som gir et betydelig mer nøyaktig estimat av den sanne populasjonsvariansen.

Trinn 6: Til slutt, ta kvadratroten av variansen for å finne standardavviket.

Utvalgets standardavvik:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Populasjonens standardavvik:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Eksempel: Beregning av standardavvik for et utvalg

La oss gå gjennom et praktisk eksempel der vi bruker de avsluttende eksamenskarakterene i fysikk for 8 studenter (n = 8):

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82 og 84

Slik behandler kalkulatoren disse utvalgsdataene trinn for trinn:

Trinn 1: Beregn gjennomsnittet.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

Trinn 2: Beregn de individuelle avvikene fra gjennomsnittet.

Trinn 3: Kvadrer hvert avvik.

Trinn 4: Beregn summen av de kvadrerte avvikene (SS).

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

Trinn 5: Beregn utvalgsvariansen. Siden vi analyserer et utvalg (en liten del av hele studentmassen) i stedet for den komplette populasjonen, deler vi summen av de kvadrerte avvikene på frihetsgradene (n - 1).

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Trinn 6: Ta kvadratroten av variansen for å bestemme det endelige standardavviket.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

Praktiske bruksområder for standardavvik

Standardavvik er mye brukt på tvers av ulike bransjer for å vurdere dataspredning. Ved å identifisere om et standardavvik er høyt eller lavt, kan analytikere raskt sammenligne flere datasett for å se hvilket som viser størst volatilitet eller konsistens.

Innen produksjon og kvalitetskontroll er standardavvik avgjørende. Storskalaproduksjon krever at produktdimensjoner faller innenfor eksepsjonelt stramme toleranser. For eksempel, i produksjon av muttere og bolter, sikrer overvåking av standardavviket til diameteren deres at variasjonene forblir utrolig små. Hvis avviket er for høyt, vil ikke delene passe riktig sammen.

I finanssektoren er standardavvik den foretrukne metrikken for å måle markedsvolatilitet og vurdere investeringsrisiko. Tekniske analytikere bruker rutinemessig standardavvik for å beregne aksjevolatilitet og konstruere handelsindikatorer som Bollinger-bånd. Utover finans benytter sosiologer og meningsmålere standardavvik for å beregne feilmarginer og tallfeste usikkerhet i spørreundersøkelser.

Statistisk sett bidrar standardavviket til å bestemme hvor mye data som faller innenfor et spesifikt intervall. I henhold til Tsjebysjevs teorem, for eksempel, vet vi at uavhengig av fordelingens form, vil minst 75 % av alle dataverdier falle nøyaktig innenfor to standardavvik fra gjennomsnittet.

La oss se på et praktisk eksempel innen meteorologi. Tenk deg at du studerer de daglige temperaturene til to byer i samme region – én ved kysten og én i innlandet. Selv om begge byene kanskje har nøyaktig samme gjennomsnittlige maksimale dagtemperatur, vil standardavvikene deres fortelle en helt annen historie.

Innlandsbyen vil oppleve et bredere spekter av ekstreme temperaturer, noe som resulterer i et betydelig høyere standardavvik. Omvendt vil kystbyens temperaturer samle seg tett rundt gjennomsnittet, noe som resulterer i et mye lavere standardavvik. Statistisk sett bekrefter dette det vi opplever fysisk: Kystbyen nyter godt av et mye mildere og jevnere klima.