Standaardafwijking

Standaardafwijking als statistische maatstaf

De standaardafwijking (ook wel standaarddeviatie genoemd) is een van de meest gebruikte maatstaven om de spreiding van een dataset te analyseren. Simpel gezegd geeft het aan hoe ver de individuele gegevens verspreid liggen rondom het gemiddelde. Door de standaardafwijking te berekenen, ontdekt u of waarden relatief dicht bij het gemiddelde liggen of juist sterk afwijken. Een grote afstand tot het gemiddelde betekent een hoge mate van variatie in de dataset. Kortom: hoe groter de spreiding in de data, hoe hoger de standaardafwijking.

Onze online standaardafwijking rekenmachine berekent direct de spreiding van uw dataset en toont overzichtelijk alle wiskundige stappen die hiervoor nodig zijn.

Hoe gebruikt u deze standaardafwijking rekenmachine?

De calculator accepteert gegevens in de vorm van een lijst met getallen, gescheiden door een leesteken of spatie. In de onderstaande tabel ziet u enkele voorbeelden van mogelijke invoerformaten.

Rij-invoer	Kolom-invoer	Kolom-invoer	Kolom-invoer
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

U kunt getallen scheiden met een komma, spatie, regeleinde of een combinatie hiervan. De data kan zowel in rijen als in kolommen worden ingevoerd. Voor alle formaten in de bovenstaande tabel leest de rekenmachine de dataset simpelweg als: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 en 89.

Na het invoeren van de gegevens selecteert u of het gaat om een steekproef (sample) of een populatie. Druk vervolgens op 'Berekenen' (of Enter). De calculator toont direct vijf belangrijke statistische parameters: het aantal waarnemingen, het gemiddelde, de som van de gekwadrateerde afwijkingen, de variantie en de standaardafwijking.

Waarom en wanneer berekent u de standaardafwijking?

Deze tool is speciaal ontworpen om de standaarddeviatie van een discrete dataset te berekenen, inclusief een heldere en educatieve uitleg van de theorie achter de wiskunde.

Een dataset kan bestaan uit een complete populatie, wat inhoudt dat werkelijk alle mogelijke waarnemingen binnen een specifiek onderzoek zijn meegenomen. In de praktijk is het echter vrijwel altijd onmogelijk om elk afzonderlijk lid van een volledige populatie te meten.

Daarom werkt men in de statistiek doorgaans met een representatieve subset van deze grote groep: een steekproef. Omdat het verzamelen van eindeloos veel data onpraktisch of te duur is, trekken we conclusies over de gehele populatie op basis van de gemeten data uit deze steekproef.

Bij het berekenen van de standaardafwijking verschilt de exacte formule afhankelijk van of u werkt met een steekproef of met een populatie. Dit verschil wordt gecorrigeerd via de zogenaamde 'vrijheidsgraden'. Bij de variantieberekening voor een steekproef delen we namelijk door n - 1 (waarbij n de steekproefgrootte is) in plaats van door N. Daarna trekken we hier de wortel uit om de standaardafwijking te vinden. Deze aanpassing, bekend als de correctie van Bessel, compenseert het feit dat we werken met een schatting en zorgt ervoor dat de uitkomst een zuiver en onbevooroordeeld beeld (zonder bias) geeft van de werkelijke populatie.

De standaardafwijking meet feitelijk de gemiddelde spreiding of variabiliteit ten opzichte van het gemiddelde. Binnen de wiskunde gebruiken we de Griekse letter σ (sigma) voor een populatie en de letter s voor een steekproef. Een hogere waarde van σ of s betekent simpelweg dat de datapunten verder verwijderd zijn van het gemiddelde.

Bekijk ter illustratie de volgende twee datasets:

(Set I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Set II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Wanneer we deze gegevens in de rekenmachine invoeren, zien we de volgende resultaten.

Voor set I:

• x̄ = 16 - de gemiddelde waarde
• s = 8,3904708 - standaardafwijking

Voor set II:

• x̄ = 16 - de gemiddelde waarde
• s = 2,3664319 - standaardafwijking

Hoewel het gemiddelde in beide sets exact gelijk is (16), wijken de getallen in set I aanzienlijk af van het gemiddelde (s = 8,39). In set II is de variabiliteit veel kleiner en liggen de getallen dichter bij elkaar (s = 2,36).

Formules voor het berekenen van de standaardafwijking

Gebruik deze formule wanneer u beschikt over de gegevens van de volledige populatie:

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ is de standaardafwijking van de populatie,
• xᵢ is de waarde van een individueel element uit de populatie,
• μ is het rekenkundig gemiddelde van de populatie,
• N is de totale omvang van de populatie.

De onderstaande formule wordt gebruikt wanneer de populatie te groot is en u werkt met een representatieve steekproef (sample):

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s is de standaardafwijking van de steekproef,
• xᵢ is de waarde van een individueel element uit de steekproef,
• x̄ is het gemiddelde van de steekproef,
• n is de steekproefgrootte.

Stapsgewijze berekening van de standaardafwijking

De calculator doorloopt de volgende stappen om de standaardafwijking te bepalen.

Stap 1: Bereken het gemiddelde van de steekproef of populatie. Dit is de som van alle datapunten gedeeld door het totale aantal waarnemingen (N of n).

Steekproefgemiddelde:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_n}{n}$$

Populatiegemiddelde:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x₃+........+x_N}{N}$$

Stap 2: Bereken de afwijking voor elk afzonderlijk datapunt door het gemiddelde er van af te trekken.

Afwijkingen steekproef:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x₃-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

Afwijkingen populatie:

$$(x₁-\mu), (x₂-\mu), (x₃-\mu)……………….. (x_N-\mu)$$

Stap 3: Kwadrateer de gevonden afwijkingen voor elk datapunt.

Gekwadrateerde afwijkingen steekproef:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x₃-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

Gekwadrateerde afwijkingen populatie:

$$(x₁-\mu)^2, (x₂-\mu)^2, (x₃-\mu)^2……………….. (x_N-\mu)^2$$

Stap 4: Bereken de som van de gekwadrateerde afwijkingen (Sum of Squares of SS) door alle individuele kwadraten bij elkaar op te tellen.

Som van gekwadrateerde afwijkingen steekproef:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x₃-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

Som van gekwadrateerde afwijkingen populatie:

$$SS=(x₁-\mu)^2+ (x₂-\mu)^2+(x₃-\mu)^2……………….+ (x_N-\mu)^2$$

Stap 5: Bereken de variantie door de som van de gekwadrateerde afwijkingen te delen door het aantal vrijheidsgraden. Voor een populatie deelt u door N, en voor een steekproef deelt u door n - 1.

Variantie steekproef

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

Variantie populatie

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

Men denkt wel eens dat we voor het berekenen van de variantie van een steekproef simpelweg kunnen delen door n, zoals in de volgende uitdrukking:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

waarbij x̄ het steekproefgemiddelde is en n de steekproefgrootte. Deze formule is voor een steekproef echter incorrect.

Delen door n zou bij een kleine steekproef uit een grote populatie namelijk leiden tot een structurele onderschatting van de daadwerkelijke variantie (een zogenaamde bias). Om te corrigeren voor dit gebrek aan populatiedata gebruiken we de term n - 1. Hiermee vergroten we de potentiële variantiewaarde lichtjes.

Kortom: door de variantie van een steekproef te berekenen met n - 1 in de noemer, verkrijgen we een onbevooroordeelde schatting die veel dichter bij de ware populatievariantie ligt.

Stap 6: Trek tot slot de vierkantswortel uit de berekende variantie. De standaardafwijking is namelijk exact de wortel van de variantie.

Standaardafwijking steekproef

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

Standaardafwijking populatie

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

Rekenvoorbeeld: De standaardafwijking van een steekproef berekenen

Laten we kijken naar de eindcijfers voor de toets Natuurkunde van een steekproef van n = 8 studenten:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82, en 84

Onze rekenmachine doorloopt de volgende stappen om de standaarddeviatie van deze steekproef vast te stellen:

Stap 1: Bereken het gemiddelde.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+67+70+75+80+81+82+84}{8}=73$$

Stap 2: Bereken de individuele afwijkingen.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄	x₇-x̄	x₈-x̄
45-73	67-73	70-73	75-73	80-73	81-73	82-73	84-73
-28	-6	-3	2	7	8	9	11

Stap 3: Bereken de kwadraten van deze afwijkingen.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²	(x₇-x̄)²	(x₈-x̄)²
784	36	9	4	49	64	81	121

Stap 4: Sommeer de gekwadrateerde afwijkingen (Sum of Squares).

$$SS=\sum_{i}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121=1148$$

Stap 5: Bereken de variantie door de som van de gekwadrateerde afwijkingen te delen door de vrijheidsgraden (n - 1). Omdat het hier om een steekproef gaat (een deel van de studenten en niet de hele schoolpopulatie), delen we dus door n - 1. Zou het de hele populatie betreffen, dan deelden we door N.

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

Stap 6: Neem de vierkantswortel uit de variantie om de uiteindelijke standaardafwijking te krijgen.

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{164}=12,80$$

Praktische toepassingen van de standaardafwijking

De variantie en standaardafwijking zijn onmisbare spreidingsmaten in de data-analyse. Bij een hoge standaardafwijking ligt de data breed verspreid. Dit is buitengewoon nuttig wanneer u meerdere datasets met elkaar vergelijkt; u ziet in één oogopslag in welke set de waarden het sterkst fluctueren.

In de industrie en productiesector wordt de standaarddeviatie massaal ingezet voor strikte kwaliteitscontrole. Bij massaproductie moeten de fysieke eigenschappen van een product, zoals de diameter van bouten en moeren, altijd binnen een nauwkeurig gedefinieerde marge vallen. Een te grote standaardafwijking betekent hier simpelweg dat onderdelen onderling te veel verschillen en daardoor niet passen.

Binnen de financiële wereld speelt de standaardafwijking een cruciale rol bij het inschatten van risico's en rendementen. Beleggers en analisten gebruiken het om de mate van volatiliteit te berekenen en voor het construeren van indicatoren, zoals de bekende Bollinger Bands binnen technische analyses. In de sociologie wordt deze statistische maat vaak gebruikt bij opiniepeilingen om foutmarges en onzekerheden accuraat vast te leggen.

Daarnaast toont de standaardafwijking in de statistiek aan hoeveel procent van uw data binnen een bepaald interval ligt. Dankzij de stelling van Chebyshev weten we bijvoorbeeld dat (ongeacht het type verdeling) minimaal 75% van alle waarnemingen in de dataset valt binnen een bereik van twee standaardafwijkingen vanaf het gemiddelde.

Een helder voorbeeld over het klimaat:

Stel dat we de dagelijkse temperatuur meten van twee verschillende steden in eenzelfde regio. Stad A ligt direct aan de kust en Stad B bevindt zich diep in het binnenland (continentaal). De gemiddelde maximumtemperatuur van beide steden zou over een heel jaar genomen exact gelijk kunnen zijn.

Als we echter kijken naar de spreiding (de standaardafwijking) van deze temperaturen, zien we duidelijke verschillen. De continentale stad B zal gedurende het jaar extremere temperatuurschommelingen hebben (een hoge standaardafwijking). Bij de kuststad A liggen de dagtemperaturen juist constanter bij elkaar (een kleine standaardafwijking). De wiskunde bevestigt hiermee een logisch fenomeen: de stad aan de kust heeft beduidend minder temperatuurvariatie op willekeurige dagen en geniet dus van een milder klimaat.