الانحراف المعياري

الانحراف المعياري كمقياس إحصائي

يُعد الانحراف المعياري (Standard Deviation) أحد أهم المقاييس الإحصائية وأكثرها استخدامًا لوصف وتلخيص مجموعات البيانات. بعبارات بسيطة، الانحراف المعياري هو مقياس لمدى تشتت البيانات؛ حيث يوضح لك ما إذا كانت القيم متقاربة حول المتوسط الحسابي أم متباعدة عنه. إذا كانت نقاط البيانات بعيدة عن المتوسط، فهذا يشير إلى وجود تشتت كبير في مجموعة البيانات. وبالتالي، كلما زاد تباعد البيانات، زادت قيمة الانحراف المعياري.

صُممت حاسبة الانحراف المعياري هذه لتحديد قيمة التشتت لمجموعة بياناتك بسهولة، مع عرض الخطوات الرياضية المفصلة للوصول إلى النتيجة.

قواعد استخدام حاسبة الانحراف المعياري

تقبل الآلة الحاسبة إدخال البيانات في صورة قائمة أرقام مفصولة بمُحدد. يوضح الجدول أدناه بعض الأمثلة على التنسيقات المقبولة للإدخال:

يمكن فصل الأرقام باستخدام فاصلة، أو مسافة، أو فاصل أسطر، أو مزيج منها، كما يمكن إدخالها إما بتنسيق الصف أو العمود. بالنسبة لجميع التنسيقات الموضحة في الجدول أعلاه، ستقوم الحاسبة بمعالجة المدخلات كالتالي: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, و 89.

بمجرد إدخال البيانات، حدد ما إذا كانت البيانات تمثل "عينة" (Sample) أو "مجتمع إحصائي" (Population) ثم اضغط على إدخال. ستعرض الحاسبة خمس معلمات إحصائية رئيسية لمجموعة البيانات: العدد (إجمالي الملاحظات)، المتوسط الحسابي، مجموع الانحرافات المربعة، التباين، والانحراف المعياري.

الحالات التي تعالجها حاسبة الانحراف المعياري

تم تصميم هذه الآلة الحاسبة لحساب الانحراف المعياري لمجموعة بيانات منفصلة، مع تقديم رؤية واضحة للنظرية الرياضية التي تعتمد عليها طريقة الحساب.

قد تتكون البيانات من "مجتمع إحصائي" يشمل جميع المشاهدات الممكنة لتجربة ما (أيًا كان نوعها) في ظل ظروف محددة. ولكن في كثير من الحالات، يكون من المستحيل جمع البيانات من كل فرد في المجتمع الإحصائي بأكمله.

في الممارسة الإحصائية العملية، من الشائع العمل مع جزء أصغر مأخوذ من مجتمع أكبر، وهو ما نطلق عليه "العينة". يرجع ذلك إلى أنه غالبًا ما يكون من غير العملي أو من المستحيل جمع البيانات من كل فرد في المجتمع. لذا، نقوم بعمل تقديرات أو استنتاجات حول المجتمع بأكمله بناءً على المعلومات التي تم جمعها من هذه العينة.

عند حساب الانحراف المعياري، يتم تعديل المعادلة التي نستخدمها بناءً على ما إذا كنا نتعامل مع عينة أم مع المجتمع الإحصائي بأكمله. يتم هذا التعديل من خلال عامل يُعرف بـ "درجات الحرية" (Degrees of Freedom). بالنسبة للعينة، نقوم بالقسمة على n - 1 (حيث n يمثل حجم العينة) بدلاً من n عند حساب التباين، والذي يتم بعد ذلك أخذ جذره التربيعي لإيجاد الانحراف المعياري. يعوض هذا التصحيح حقيقة أننا نعتمد على بيانات عينة لتقدير الانحراف المعياري للمجتمع، مما يضمن أن يكون تقديرنا دقيقًا وغير متحيز.

يقيس الانحراف المعياري متوسط التشتت أو التباين لمجموعة البيانات بالنسبة إلى متوسطها الحسابي. غالبًا ما يُشار إليه بالحرف اليوناني سيجما σ للمجتمع الإحصائي، أو بالحرف s للعينة. تشير القيمة الأكبر لـ σ أو s إلى تشتت أكبر لنقاط البيانات بعيدًا عن المتوسط، والعكس صحيح.

دعونا نتأمل مجموعتي البيانات التاليتين كمثال:

(المجموعة I)

11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(المجموعة II)

12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

بإدخال مجموعتي البيانات في الحاسبة، نحصل على النتائج التالية للمجموعة I:

• x̄=16 - المتوسط الحسابي
• s=8.3904708 - الانحراف المعياري

أما بالنسبة للمجموعة II:

• x̄=16 - المتوسط الحسابي
• s=2.3664319 - الانحراف المعياري

في المجموعة I، انحرفت القيم بشكل كبير عن متوسط العينة (s=8.39)، بينما في المجموعة II، كان التشتت أو التباين صغيرًا (s=2.36) مقارنة بالمجموعة الأولى.

معادلة حساب الانحراف المعياري

تُستخدم هذه المعادلة عندما يتم تحليل جميع بيانات المجتمع الإحصائي:

$$σ = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{N}(x_i-μ)^2}{N}}$$

• σ هو الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي،
• xᵢ هي القيمة الفردية في المجتمع،
• μ هو المتوسط الحسابي للمجتمع،
• N هو حجم المجتمع الإحصائي.

أما المعادلة أدناه فتُستخدم عندما يكون حجم المجتمع كبيرًا جدًا ويتم أخذ عينة منه فقط للتحليل:

$$s = \sqrt{\frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2}{n-1}}$$

• s هو الانحراف المعياري للعينة،
• xᵢ هي قيمة فردية داخل العينة،
• x̄ هو المتوسط الحسابي للعينة،
• n هو حجم العينة.

حساب الانحراف المعياري

تتطلب عملية حساب الانحراف المعياري اتباع الخطوات المنهجية التالية:

الخطوة 1: حساب المتوسط الحسابي للعينة/المجتمع. وذلك بجمع جميع نقاط البيانات وقسمتها على N أو n.

المتوسط الحسابي للعينة:

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

المتوسط الحسابي للمجتمع الإحصائي:

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

الخطوة 2: حساب الانحرافات عن طريق طرح المتوسط الحسابي للعينة/المجتمع من كل نقطة بيانات فردية.

انحرافات العينة:

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

انحرافات المجتمع:

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………….. (x_N-\ \mu)$$

الخطوة 3: حساب مربعات الانحرافات لكل نقطة بيانات.

مربعات الانحرافات للعينة:

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

مربعات الانحرافات للمجتمع الإحصائي:

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………….. (x_N-\ \mu)^2$$

الخطوة 4: حساب مجموع الانحرافات المربعة بجمع كافة الانحرافات المربعة الفردية.

مجموع الانحرافات المربعة للعينة:

$$SS=(x₁-\bar{x})^2+ (x₂-\bar{x})^2+(x_3-\bar{x})^2……………………+(x_n-\bar{x})^2$$

مجموع الانحرافات المربعة للمجتمع الإحصائي:

$$SS=(x₁-\ \mu)^2+ (x₂-\ \mu)^2+(x_3-\ \mu)^2……………….+ (x_N-\ \mu)^2$$

الخطوة 5: قسمة مجموع الانحرافات المربعة على عدد درجات الحرية للحصول على التباين (Variance). بالنسبة للمجتمع الإحصائي، نقسم على N، أما بالنسبة للعينة، فنقسم على n-1.

تباين العينة:

$$ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(xᵢ - \bar{x})^2}{n - 1} $$

تباين المجتمع الإحصائي:

$$ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{N}(xᵢ - \mu)^2}{N} $$

عند حساب التباين لعينة، قد نفترض بديهيًا استخدام المعادلة التالية للحساب:

$$\frac{(x-\bar{x})^2}{n}$$

حيث x̄ هو متوسط العينة و n هو حجم العينة. لكن في الواقع، لا تُستخدم هذه المعادلة.

لأن هذا التعبير لن يقدم تقديرًا دقيقًا للتباين الحقيقي في المجتمع الإحصائي. عندما يكون المجتمع الإحصائي كبيرًا جدًا وتكون العينة صغيرة، فإن التباين المحسوب بهذه الصيغة سيقلل من التباين الحقيقي للمجتمع. سيُظهر تباينًا صغيرًا بشكل مضلل بسبب نقص البيانات. لذلك، باستخدام التعبير n-1، نزيد من قيمة التباين المحتمل لتعويض هذا النقص.

بدلاً من القسمة على n، نجد تباين العينة بالقسمة على n-1. تمنحنا هذه العملية قيمة تباين أكبر قليلاً، وأقرب إلى القيمة الفعلية للمجتمع.

الخطوة 6: استخراج الجذر التربيعي للرقم الناتج. الانحراف المعياري هو ببساطة الجذر التربيعي للتباين.

الانحراف المعياري للعينة:

$$s=\sqrt{s^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}}$$

الانحراف المعياري للمجتمع الإحصائي:

$$\sigma=\sqrt{\sigma^2}=\sqrt{\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}}$$

مثال عملي على حساب الانحراف المعياري لعينة

لنفترض أن لدينا الدرجات التالية لـ 8 طلاب (n=8) في الاختبار النهائي لمادة الفيزياء:

45, 67, 70, 75, 80, 81, 82, و 84

ستقوم الحاسبة بإيجاد الانحراف المعياري للعينة باتباع الخطوات التالية:

الخطوة 1: حساب المتوسط الحسابي.

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i} x_i}{n}=\frac{45+\ 67+\ 70+\ 75+\ 80+\ 81+\ 82+\ 84}{8}=73$$

الخطوة 2: حساب الانحرافات.

الخطوة 3: حساب مربعات الانحرافات.

الخطوة 4: جمع مربعات الانحرافات.

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=784+36+9+4+49+64+81+121}=1148$$

الخطوة 5: حساب التباين بقسمة مجموع الانحرافات المربعة على درجات الحرية (n-1). لو كانت هذه البيانات تمثل مجتمعًا إحصائيًا بالكامل، لتمت القسمة على N بدلاً من n-1. لكن في حالتنا هذه، لدينا عينة (أي جزء من مجتمع الطلاب)، لذا سنستخدم n-1.

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{1148}{8-1}=164$$

الخطوة 6: نأخذ الجذر التربيعي للتباين للحصول على الانحراف المعياري.

$$s=\sqrt{s^2}=\ \sqrt{164}=12.80$$

تطبيقات الانحراف المعياري في الحياة العملية

يُستخدم التشتت والانحراف المعياري بشكل أساسي لتحديد مدى انتشار البيانات وتوزيعها. إذا كان التباين أو الانحراف المعياري كبيرًا، فهذا يعني أن البيانات أكثر تشتتًا. هذه المعلومة في غاية الأهمية عند مقارنة مجموعتي بيانات (أو أكثر) لتحديد أي منها يمتلك تقلبًا أو تغيرًا أكبر.

في المجال الصناعي، يُستخدم الانحراف المعياري على نطاق واسع في عمليات "مراقبة الجودة" (Quality Control). ففي الإنتاج الضخم، يجب أن تقع خصائص معينة للمنتج ضمن نطاق محدد بدقة، وهو ما يتم ضبطه عبر حساب الانحراف المعياري. على سبيل المثال، في إنتاج المسامير والصواميل، يجب أن يكون التباين في أقطارها صغيرًا جدًا، وإلا فلن تتطابق الأجزاء وتتناسب معًا.

كما يُعد الانحراف المعياري أداة حاسمة في مجال التمويل والاقتصاد لتقييم المخاطر الاستثمارية وقياس التقلبات. في التحليل الفني للأسواق، يُستخدم الانحراف المعياري لإنشاء "مؤشر بولينجر باندز" (Bollinger Bands) وحساب تذبذب الأسعار.

بالإضافة إلى ذلك، يُستخدم في علم الاجتماع واستطلاعات الرأي العام لقياس هامش الخطأ والمساعدة في حساب نسبة عدم اليقين في النتائج.

يُستخدم التباين والانحراف المعياري أيضًا لتحديد نسبة قيم البيانات التي تقع ضمن نطاق توزيع معين. على سبيل المثال، تنص "نظرية تشيبيشيف" (Chebyshev's theorem) على أنه لأي توزيع بيانات، فإن 75% على الأقل من القيم ستقع ضمن مسافة انحرافين معياريين عن المتوسط الحسابي.

لنأخذ مثالاً بسيطًا من علم المناخ. لنفترض أننا ندرس درجات الحرارة اليومية لمدينتين في نفس المنطقة الجغرافية؛ إحداهما مدينة ساحلية والأخرى مدينة داخلية (قارية). قد يكون متوسط درجة الحرارة العظمى اليومية متطابقًا في كلتا المدينتين. لكن الانحراف المعياري (أي تشتت درجات الحرارة) سيكون أكبر للمدينة الداخلية، بينما ستتمتع المدينة الساحلية بانحراف معياري أصغر.

هذا يعني أن المدينة الداخلية ستشهد تباينًا وتقلبًا أكبر في درجات الحرارة العظمى في أي يوم من أيام السنة مقارنة بالمدينة الساحلية. بعبارة أخرى، سيتمتع مناخ المدينة الساحلية باستقرار واعتدال أكبر بفضل الانخفاض في قيمة الانحراف المعياري.