Калькулятор середнього значення

Наш онлайн-калькулятор середнього значення максимально спрощує пошук середнього арифметичного для будь-якого набору даних. Просто введіть, скопіюйте або вставте свої числа в поле введення, розділяючи кожне значення комою. Щойно ваші дані будуть готові, натисніть кнопку «Обчислити» (Calculate).

Калькулятор миттєво обчислить середнє значення (середнє арифметичне), покаже детальні кроки рішення та виведе іншу важливу статистику для вашого масиву даних.

Середнє значення

У математиці та статистиці середнє значення визначається як середнє арифметичне всіх величин у наборі даних. Оскільки для обчислення враховується кожне окреме значення, цей показник є точним відображенням усього масиву даних. Він обґрунтовано вважається однією з найважливіших мір центральної тенденції в описовій статистиці.

Хоча просте середнє арифметичне є найпоширенішим різновидом, існують і інші його варіації. До них належать середнє геометричне, середньозважене, комбіноване (загальне) середнє арифметичне та середнє гармонійне.

У статистичній нотації середнє значення генеральної сукупності позначається грецькою літерою μ (мю), тоді як вибіркове середнє позначається як X̄ (ікс із рискою).

Просте середнє значення

Просте середнє значення (яке часто називають просто «середнім» або «середнім арифметичним») обчислюється шляхом додавання всіх значень у наборі даних і ділення цієї суми на їхню загальну кількість.

Щоб обчислити середнє значення генеральної сукупності, скористайтеся такою формулою:

μ = Сума значень набору даних / Загальна кількість значень у генеральній сукупності = ΣX / N

Щоб обчислити середнє значення вибірки, скористайтеся цією формулою:

X̄ = Сума значень набору даних / Загальна кількість значень у вибірці = ΣX / n

Давайте розглянемо, як знайти середнє значення на практичному прикладі.

Приклад

Оцінки Жасмін із семи предметів за минулий семестр наведено в таблиці нижче. Яким є просте середнє арифметичне її оцінок?

Рішення

Середня оцінка = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Середнє значення — це загальновідоме поняття. Щодня ми чуємо про середній дохід, середні витрати на виробництво, середні ціни, середні бали на іспитах чи середню економію пального. Навіть у повсякденному житті обчислення простого середнього арифметичного є стандартною практикою, яку часто називають ідеальним середнім.

Однак у певних статистичних сценаріях доцільніше використовувати інші міри центральної тенденції. Давайте розглянемо ці альтернативи.

Середнє геометричне

Під час аналізу середніх темпів зростання з плином часу стандартне середнє арифметичне не завжди є коректним показником. У таких випадках набагато кращою метрикою є середнє геометричне, яке широко застосовується в бухгалтерії та фінансах (наприклад, для розрахунку складних відсотків). Це пов'язано з тим, що темпи зростання мають мультиплікативний, а не адитивний характер.

Середнє геометричне визначається як корінь n-го ступеня з добутку n чисел. Його обчислюють, перемножуючи всі значення між собою та знаходячи корінь n-го ступеня з отриманого добутку (де n — загальна кількість елементів у вашому наборі даних). Воно особливо корисне для усереднення коефіцієнтів, відсотків та експоненціальних темпів зростання.

$$Geometric\ Mean = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Знайдемо середнє геометричне на основі оцінок Жасмін із попереднього прикладу:

$$Geometric\ Mean = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80.31$$

Математично середнє геометричне завжди дорівнює простому середньому (середньому арифметичному) або є меншим за нього.

У нашому прикладі:

Середнє геометричне ≤ Середнє значення

80.31 < 81

Примітка: Наш багатофункціональний онлайн-калькулятор середнього значення вміє більше, ніж просто знаходити середнє арифметичне — він також швидко обчислює середнє геометричне для вашого набору даних!

Середньозважене значення

При використанні стандартного середнього арифметичного кожне значення має однакову вагу або значущість. Однак реальні дані часто вимагають від нас надавати різний рівень важливості різним показникам.

У нашому попередньому прикладі ми обчислили середнє значення, просто підсумувавши оцінки та розділивши їх на кількість предметів. Але ми не врахували, що деякі предмети можуть мати більшу академічну вагу (наприклад, кількість кредитів), ніж інші.

Коли відносна важливість кожного елемента має значення, слід використовувати середньозважене. Щоб знайти середньозважене значення, необхідно помножити кожне числове значення на призначену йому вагу, отримавши «зважене значення». Потім суму цих зважених значень потрібно поділити на загальну суму всіх ваг.

Використовуйте таку формулу для розрахунку середньозваженого значення:

Середньозважене значення = Сума зважених значень / Сума ваг = ΣWX / ΣW

Приклад

Припустимо, що кожен із предметів Жасмін має різну академічну вагу. Ось оновлена таблиця даних щодо її 7 предметів за минулий семестр.

Середньозважене значення оцінок Жасмін за попередній семестр обчислюється так:

Рішення

Середньозважена оцінка = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7

Медіана

Медіана — це точне центральне значення набору даних, коли він впорядкований у числовій послідовності: за зростанням (від найменшого до найбільшого) або за спаданням (від найбільшого до найменшого). Іншими словами, медіана — це точка, яка ділить відсортований масив даних на дві рівні частини. Як наслідок, 50% значень знаходяться нижче медіани, а 50% — вище за неї.

Метод обчислення медіани

Щоб знайти медіану вручну, спочатку потрібно визначити її позицію у впорядкованому наборі даних за допомогою цієї формули:

$$The\ position\ of\ the\ median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}item$$

Тут «n» позначає загальну кількість елементів у наборі даних.

Якщо ваш масив даних містить непарну кількість елементів, медіаною є число, розташоване рівно по центру. Однак, якщо набір даних містить парну кількість елементів, медіана обчислюється як просте середнє двох чисел, що знаходяться посередині.

Відмінності між середнім значенням та медіаною

1. Середнє значення (арифметичне) обчислюється шляхом додавання всіх значень у наборі даних і ділення отриманої суми на загальну кількість спостережень. Це дає число, яке враховує величину кожного окремого значення. Натомість медіана є строго центральним значенням у відсортованому списку. Вона забезпечує точку поділу навпіл, але не враховує абсолютну величину чисел навколо неї.

2. Обидві метрики можна легко оцінити за допомогою графічного представлення даних. У симетричному (нормальному) розподілі середнє значення визначається швидко, оскільки воно знаходиться прямо в центрі. І навпаки, медіану найзручніше визначати як середню лінію на діаграмі розмаху (boxplot).

3. Як середнє значення, так і медіана відіграють вирішальну роль у поглибленому статистичному аналізі. Середнє значення активно використовується для нормально розподілених даних без аномальних відхилень (викидів), утворюючи основу для розрахунку дисперсії та стандартного відхилення. Медіана ж є ідеальною мірою центральної тенденції, коли дані сильно скошені (асиметричні) або містять багато викидів. Її часто використовують у непараметричних статистичних тестах, де не передбачається конкретний тип розподілу даних.

Коли використовувати середнє значення

Середнє значення є найбільш слушною мірою центральної тенденції, коли ваш набір даних має симетричний розподіл без значних викидів (аномалій). Оскільки воно включає кожне числове значення, це дуже надійний індикатор центру даних. Однак, якщо у вашому масиві є величезні викиди, вам може знадобитися видалити їх перед обчисленням середнього, щоб забезпечити точне відображення справжньої центральної тенденції.

Коли використовувати медіану

Медіані віддають перевагу під час аналізу скошених (асиметричних) розподілів або масивів даних, що містять екстремальні викиди. Оскільки медіана просто вказує на центральне значення у відсортованому списку, на неї абсолютно не впливають нетипово високі або низькі числа. У таких випадках медіана дає набагато точніше уявлення про «типове» значення основної маси даних.

Давайте змінимо наш початковий приклад, щоб продемонструвати, як викиди впливають на ці статистичні обчислення.

Приклад

Уявіть, що Жасмін отримала кардинально нижчу оцінку (15 балів замість 92) з Міжнародних студій. Яким буде нове середнє значення її оцінок за предмети з минулого семестру?

Рішення

Середня оцінка = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Новий середній бал Жасмін різко падає до 70. Лише один екстремальний викид (оцінка 15) знизив її загальне середнє значення на цілих 11 балів. Це чудово ілюструє, наскільки сильно аномалії можуть спотворити середнє арифметичне.

У подібних ситуаціях медіана виступає набагато надійнішою метрикою. Щоб довести це, обчислімо медіану як для початкового, так і для зміненого наборів даних.

Приклад

У таблиці нижче наведено початкові оцінки Жасмін із семи предметів. Якою є медіана цих оцінок?

Рішення

Спочатку ми маємо організувати всі оцінки у відсортований масив. Це можна зробити за зростанням або за спаданням. Відсортуємо їх за зростанням:

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$The\ position\ of\ the\ median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}item = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{th}item = 4^{th}item$$

Далі ми знаходимо 4-й елемент у нашому відсортованому наборі даних — це число 84. Отже, медіана цього масиву даних дорівнює 84.

Тепер давайте обчислимо медіану для зміненого набору даних, який містить викид.

Приклад

Припустимо, Жасмін отримала 15 замість 92 з Міжнародних студій. Яким є новий медіанний бал за предмети, які Жасмін вивчала минулого семестру?

Рішення

Знову ж таки, нашим першим кроком є впорядкування всіх оцінок у масив за зростанням.

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$The\ position\ of\ the\ median = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}item = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{th}item = 4^{th}item$$

Тепер ми перевіряємо 4-й елемент нашого нового набору даних. Це число 81, яке і є новою медіаною.

Як бачите, навіть після додавання до масиву даних екстремального викиду, медіана виявилася надзвичайно стійкою і змістилася лише незначно — з 84 на 81 (на відміну від середнього арифметичного, яке різко обвалилося на 11 балів).