Gjennomsnittskalkulator

Vår nettbaserte gjennomsnittskalkulator gjør det utrolig enkelt å finne gjennomsnittet av ethvert datasett. Bare skriv inn, kopier eller lim inn tallene dine i inndatafeltet, og sørg for at hvert datapunkt er atskilt med et komma. Når dataene dine er klare, klikker du på "Beregn"-knappen.

Umiddelbart vil denne kalkulatoren vise gjennomsnittet (det aritmetiske gjennomsnittet), detaljerte beregningstrinn og annen viktig relatert statistikk for datasettet ditt.

Gjennomsnittet

I matematikk og statistikk defineres gjennomsnittet som middelverdien av verdiene i et datasett. Fordi hver eneste verdi er med i beregningen, fungerer gjennomsnittet som en svært nøyaktig representasjon av hele datasettet. Det regnes for å være et av de mest grunnleggende målene for sentraltendens eller oppsummerende statistikk.

Mens det enkle aritmetiske gjennomsnittet er den vanligste typen gjennomsnitt, finnes det flere andre varianter. Disse inkluderer geometrisk gjennomsnitt, vektet gjennomsnitt, kombinert aritmetisk gjennomsnitt og harmonisk gjennomsnitt.

I statistisk notasjon representeres gjennomsnittet av en populasjon med den greske bokstaven μ (my), mens gjennomsnittet av et utvalg betegnes med X̄ (X-strek).

Enkelt gjennomsnitt

Det enkle gjennomsnittet – ofte referert til som middelverdi eller aritmetisk gjennomsnitt – beregnes ved å legge sammen alle verdiene i et datasett og dele denne summen på det totale antall datapunkter.

For å beregne gjennomsnittet av en populasjon, brukes følgende formel:

μ = Summen av datasettets verdier / Totalt antall dataverdier i populasjonen = ΣX / N

For å beregne gjennomsnittet av et utvalg, brukes denne formelen:

X̄ = Summen av datasettets verdier / Totalt antall dataverdier i utvalget = ΣX / n

La oss se på hvordan vi finner gjennomsnittet ved hjelp av et praktisk eksempel.

Eksempel

Jasmines karakterer (poeng) i sju fag fra forrige semester vises i tabellen nedenfor. Hva er det enkle gjennomsnittet av Jasmines resultater?

Løsning

Gjennomsnittlig poengsum = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Gjennomsnitt er et universelt forstått konsept. Du hører om gjennomsnittsinntekt, gjennomsnittlige produksjonskostnader, gjennomsnittspriser, gjennomsnittlige prøveresultater og gjennomsnittlig drivstofforbruk på daglig basis. Selv i hverdagen er det å beregne det enkle aritmetiske gjennomsnittet en standardpraksis, ofte omtalt som det ideelle gjennomsnittet.

I spesifikke statistiske scenarier er imidlertid andre mål for sentraltendens mer hensiktsmessige. La oss utforske disse alternativene.

Geometrisk gjennomsnitt

Når man analyserer gjennomsnittlige vekstrater over tid, kommer det standard aritmetiske gjennomsnittet til kort. I stedet er det geometriske gjennomsnittet – som er mye brukt innen regnskap og finans for beregninger som rentes rente – en langt overlegen beregningsmåte. Dette skyldes at vekstrater er multiplikative, ikke additive.

Det geometriske gjennomsnittet defineres som den n-te roten av produktet av n tall. Du beregner det ved å multiplisere alle verdiene med hverandre og deretter finne den n-te roten av det produktet (hvor n er det totale antallet elementer i datasettet ditt). Det er spesielt nyttig for å finne gjennomsnittet av forholdstall, prosentandeler og eksponentielle vekstrater.

$$Geometrisk\ gjennomsnitt = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

La oss finne det geometriske gjennomsnittet ved å bruke Jasmines poengsummer fra det forrige eksempelet:

$$Geometrisk\ gjennomsnitt = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80.31$$

Matematisk sett er det geometriske gjennomsnittet alltid likt eller lavere enn det enkle gjennomsnittet (aritmetisk gjennomsnitt).

I vårt eksempel:

Geometrisk gjennomsnitt ≤ Gjennomsnittet

80.31 < 81

Merk: Vår allsidige nettbaserte gjennomsnittskalkulator gjør mer enn bare å beregne det aritmetiske gjennomsnittet – den beregner også sømløst det geometriske gjennomsnittet av datasettet ditt!

Vektet gjennomsnitt

Med et standard aritmetisk gjennomsnitt har hver verdi nøyaktig samme vekt eller betydning. Virkelige data krever imidlertid ofte at vi tillegger forskjellige verdier ulik grad av viktighet.

I vårt forrige eksempel beregnet vi gjennomsnittet ved å ganske enkelt summere poengene og dele på antall fag. Vi tok ikke høyde for muligheten for at noen fag kan bære mer akademisk tyngde enn andre.

Når den relative viktigheten til hvert element spiller en rolle, må du bruke et vektet gjennomsnitt. For å beregne et vektet gjennomsnitt, multipliserer du hver dataverdi med den tildelte vekten for å få den "vektede verdien". Deretter deler du summen av disse vektede verdiene på den totale summen av vektene.

Bruk følgende formel for å finne det vektede gjennomsnittet:

Det vektede gjennomsnittet = Summen av de vektede verdiene / Summen av vektene = ΣWX / ΣW

Eksempel

Anta at hvert av Jasmines fag har ulik akademisk vekt. Her er den oppdaterte datatabellen for hennes 7 fag fra forrige semester.

Vektet gjennomsnitt av Jasmines resultater fra forrige semester:

Løsning

Gjennomsnittlig vektet poengsum = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7

Medianen

Medianen er den nøyaktige midtverdien av et datasett når det er organisert i numerisk rekkefølge – enten stigende (fra lavest til høyest) eller synkende (fra høyest til lavest). Med andre ord er medianen det presise punktet som deler en datarekke (en sekvens av sorterte rådata) i to like store halvdeler. Som et resultat havner 50 % av datapunktene under medianen, og 50 % ligger over den.

Metode for beregning av median

For å finne medianen manuelt, må du først bestemme posisjonen i det sorterte datasettet ved å bruke denne formelen:

$$Medianens\ posisjon = \left( \frac{n+1}{2} \right)-te\ element$$

Her angir "n" det totale antallet elementer i datasettet.

Hvis datasettet ditt inneholder et odde antall elementer, er medianen ganske enkelt den verdien som befinner seg på nøyaktig denne midtposisjonen. Hvis datasettet derimot inneholder et jevnt antall elementer, beregnes medianen ved å finne det enkle gjennomsnittet av de to midterste tallene.

Forskjeller mellom gjennomsnitt og median

1. Gjennomsnittet beregnes ved å summere alle verdiene i et datasett og dele på det totale antallet observasjoner, noe som gir et tall som tar hensyn til størrelsen på hvert eneste datapunkt. I motsetning til dette er medianen utelukkende den midterste verdien i en sortert liste. Den gir et sentralt delepunkt, men tar ikke hensyn til selve størrelsen på tallene rundt.

2. Begge målene kan estimeres visuelt fra grafiske representasjoner av data. I en symmetrisk fordeling kan gjennomsnittet raskt anslås ettersom det ligger midt i sentrum. Omvendt er medianen lett å identifisere som midtlinjen i et boksplott.

3. Både gjennomsnittet og medianen spiller avgjørende roller i avansert statistisk analyse. Gjennomsnittet benyttes i stor grad for normalfordelte data uten ekstremverdier, og danner grunnlaget for beregning av varians og standardavvik. Medianen utmerker seg derimot som et mål på sentraltendens når dataene er sterkt skjeve eller fulle av ekstremverdier. Den er mye brukt i ikke-parametriske statistiske tester der man ikke antar spesifikke datafordelinger.

Når bør man bruke gjennomsnitt?

Gjennomsnittet er det mest egnede målet på sentraltendens når datasettet ditt har en symmetrisk fordeling uten betydelige ekstremverdier (outliere). Fordi det inkluderer hver eneste numeriske verdi, fungerer det som en svært pålitelig indikator på dataenes senter. Hvis datasettet ditt derimot inneholder massive ekstremverdier, må du kanskje fjerne disse før du beregner gjennomsnittet for å sikre en nøyaktig representasjon av den sanne sentraltendensen.

Når bør man bruke median?

Medianen er det foretrukne målet på sentraltendens når man har å gjøre med skjeve fordelinger eller datasett som inneholder ekstreme verdier. Fordi medianen ganske enkelt peker ut den midterste verdien i en sortert liste, forblir den helt upåvirket av uvanlig høye eller lave tall. I slike scenarier gir medianen en langt mer nøyaktig representasjon av den "typiske" verdien innenfor størsteparten av dataene.

La oss endre det opprinnelige eksempelet vårt for å demonstrere hvordan ekstremverdier påvirker disse beregningene.

Eksempel

Tenk deg at Jasmine fikk en dramatisk lavere poengsum på 15 i internasjonale studier i stedet for 92. Hva er det nye gjennomsnittet av fagenes poengsummer fra forrige semester?

Løsning

Gjennomsnittlig poengsum = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Jasmines nye gjennomsnitt faller brått til 70. En enkelt ekstremverdi (poengsummen på 15) trakk gjennomsnittet hennes ned med hele 11 poeng. Dette illustrerer perfekt hvor voldsomt ekstremverdier kan forvrenge et aritmetisk gjennomsnitt.

I situasjoner som dette fungerer medianen som en mye mer pålitelig målestokk. For å bevise dette, la oss beregne medianen for både det opprinnelige og det modifiserte datasettet.

Eksempel

Tabellen nedenfor viser Jasmines opprinnelige poengsummer i de sju fagene. Hva er medianen av disse poengsummene?

Løsning

Først må vi ordne alle poengene i en sortert rekke. Du kan organisere dem i enten stigende eller synkende rekkefølge. La oss ordne dem i stigende rekkefølge:

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Medianens\ posisjon = \left( \frac{n+1}{2} \right)-te\ element = \left( \frac{7+1}{2} \right)-te\ element = 4.\ element$$

Deretter identifiserer vi det 4. elementet i vårt sorterte datasett, som er 84. Derfor er medianen for dette datasettet 84.

La oss nå beregne medianen for det modifiserte datasettet som inkluderer ekstremverdien.

Eksempel

Anta at Jasmine fikk 15 i stedet for 92 i internasjonale studier. Hva er den nye medianen for fagene Jasmine tok forrige semester?

Løsning

Igjen er vårt første trinn å ordne alle poengene i en rekke i stigende rekkefølge.

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$Medianens\ posisjon = \left( \frac{n+1}{2} \right)-te\ element = \left( \frac{7+1}{2} \right)-te\ element = 4.\ element$$

Nå sjekker vi det 4. elementet i vårt nye datasett. Det er 81, noe som representerer datasettets nye median.

Som du kan se, selv med en massiv ekstremverdi introdusert i datasettet, var medianen svært motstandsdyktig og endret seg bare litt fra 84 til 81 (i motsetning til gjennomsnittet, som falt drastisk med 11 poeng).