Kikokotoo cha Wastani

Kikokotoo chetu cha wastani mtandaoni hurahisisha sana kupata wastani (mean) wa seti yoyote ya data. Andika, nakili, au weka nambari zako kwenye kisanduku cha kuingiza data, ukihakikisha kila nambari inatenganishwa kwa koma. Baada ya data yako kuwa tayari, bofya kitufe cha "Kokotoa" (Calculate).

Papo hapo, kikokotoo hiki kitaonyesha wastani (wastani wa kihisabati), hatua za kina za ukokotoaji, na takwimu zingine muhimu zinazohusiana na seti yako ya data.

Kikokotoo hiki kina njia tatu. Njia ya Rahisi (Simple) hutafuta wastani wa orodha ya nambari za kawaida. Njia ya Yenye Uzani (Weighted) huchukua orodha ya pili ya uzani, ili thamani zenye umuhimu mkubwa zihesabiwe zaidi — hivi ndivyo madaraja ya kozi, faida za uwekezaji na alama za tafiti zinavyokokotolewa wastani wake. Njia ya Muda (Time) inakubali muda ulioandikwa kama hh:mm:ss au mm:ss na hutoa jibu kama muda badala ya desimali, ambayo ndiyo inayohitajika kwa muda wa mizunguko, urefu wa zamu za kazi na vipindi vya masomo.

Wastani

Katika hisabati na takwimu, wastani hufafanuliwa kama kitovu cha thamani ndani ya seti ya data. Kwa sababu kila thamani hujumuishwa katika ukokotoaji, wastani hutumika kama kiwakilishi sahihi sana cha seti nzima ya data. Inachukuliwa sana kama mojawapo ya vipimo vya msingi vya mwelekeo wa kati au takwimu za muhtasari.

Ingawa wastani rahisi wa kihisabati (arithmetic mean) ndio aina ya wastani inayojulikana zaidi, kuna tofauti zingine kadhaa. Hizi ni pamoja na wastani wa kijiometri (geometric mean), wastani wenye uzani (weighted average), wastani wa pamoja wa kihisabati, na wastani wa kiuwiano (harmonic mean).

Katika nukuu za kitakwimu, wastani wa idadi ya watu (population) huwakilishwa na herufi ya Kigiriki μ (Mu), wakati wastani wa sampuli (sample) huonyeshwa kwa X̄ (X-bar).

Wastani Rahisi

Wastani rahisi—ambao mara nyingi hujulikana kama min au wastani wa kihisabati—hukokotolewa kwa kujumlisha nambari zote kwenye seti ya data kisha kugawanya jumla hiyo kwa idadi kamili ya nambari hizo za data.

Ili kukokotoa wastani wa idadi ya watu, tumia fomula ifuatayo:

μ = Jumla ya thamani za seti ya data / Jumla ya idadi ya nambari za data katika idadi ya watu = ΣX / N

Ili kukokotoa wastani wa sampuli, tumia fomula hii:

X̄ = Jumla ya thamani za seti ya data / Jumla ya idadi ya nambari za data katika sampuli = ΣX/n

Hebu tuchunguze jinsi ya kupata wastani kwa kutumia mfano halisi.

Mfano

Alama za Jasmine katika masomo saba kutoka muhula uliopita zinaonyeshwa kwenye jedwali hapa chini. Je, wastani rahisi wa alama za Jasmine katika masomo ni upi?

Somo	Alama
Usimamizi	84
Mawasiliano	90
Uhasibu	75
Uchumi	60
Takwimu za Biashara	85
Mafunzo ya Kimataifa	92
Hisabati	81

Suluhisho

Alama ya wastani = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

Wastani ni dhana inayoeleweka na wengi. Unasikia kuhusu wastani wa mapato, wastani wa gharama za uzalishaji, wastani wa bei, wastani wa alama za mitihani, na wastani wa matumizi ya mafuta kila siku. Hata katika maisha ya kila siku, kukokotoa wastani rahisi wa kihisabati ni jambo la kawaida, na mara nyingi hurejelewa kama wastani bora kabisa.

Hata hivyo, katika matukio mahususi ya kitakwimu, vipimo vingine vya mwelekeo wa kati vinafaa zaidi. Hebu tuangalie njia hizi mbadala.

Wastani wa Kijiometri

Unapochambua wastani wa viwango vya ukuaji kwa muda fulani, wastani wa kawaida wa kihisabati hautoshelezi. Badala yake, wastani wa kijiometri—ambao hutumiwa sana katika uhasibu na fedha kwa ukokotoaji kama riba jumuishi (compound interest)—ni kipimo bora zaidi. Hii ni kwa sababu viwango vya ukuaji huzidishwa, havijumlishwi.

Wastani wa kijiometri hufafanuliwa kama kipeo cha n cha zao la nambari n. Unakikokotoa kwa kuzidisha nambari zote pamoja na kisha kutafuta kipeo cha n cha zao hilo (ambapo n ni idadi kamili ya nambari katika seti yako ya data). Ni muhimu sana kwa kukokotoa wastani wa uwiano, asilimia, na viwango vya ukuaji wa kipeo.

$$Wastani\ wa\ Kijiometri = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

Hebu tutafute wastani wa kijiometri kwa kutumia alama za Jasmine kutoka kwenye mfano uliopita:

$$Wastani\ wa\ Kijiometri = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80.31$$

Kihisabati, wastani wa kijiometri kila mara huwa sawa au chini kuliko wastani rahisi (wastani wa kihisabati).

Katika mfano wetu:

Wastani wa Kijiometri ≤ Wastani rahisi

80.31 < 81

Kumbuka: Kikokotoo chetu cha wastani cha mtandaoni hufanya mengi zaidi ya kukokotoa wastani wa kihisabati pekee—pia hukokotoa kwa urahisi wastani wa kijiometri wa seti yako ya data!

Wastani Wenye Uzani

Katika wastani wa kawaida wa kihisabati, kila nambari hubeba uzani au umuhimu sawa. Hata hivyo, mara nyingi data katika ulimwengu halisi huhitaji tugawe viwango tofauti vya umuhimu kwenye nambari tofauti.

Katika mfano wetu wa awali, tulikokotoa wastani kwa kujumlisha tu alama na kugawanya kwa idadi ya masomo. Hatukutilia maanani uwezekano kwamba masomo fulani yanaweza kubeba uzito zaidi wa kitaaluma kuliko mengine.

Ikiwa umuhimu wa kulinganisha wa kila kitu unajali, unahitaji kutumia wastani wenye uzani. Ili kukokotoa wastani wenye uzani, zidisha kila nambari ya data na uzani uliopewa ili kupata "nambari yenye uzani". Kisha, gawa jumla ya nambari hizi zenye uzani kwa jumla kamili ya uzani.

Tumia fomula ifuatayo kupata wastani wenye uzani:

Wastani wenye uzani = Jumla ya nambari zenye uzani / Jumla ya uzani zote = ΣWX / ΣW

Mfano

Tuchukulie kuwa kila moja ya masomo ya Jasmine ina uzani tofauti wa kitaaluma. Hili hapa ni jedwali la data lililosasishwa la masomo yake 7 kutoka muhula uliopita.

Wastani wenye uzani wa alama za Jasmine kutoka muhula uliopita:

Somo	Alama	Uzani
Usimamizi	84	3
Mawasiliano	90	2
Uhasibu	75	4
Uchumi	60	3
Takwimu za Biashara	85	3
Mafunzo ya Kimataifa	92	2
Hisabati	81	3

Suluhisho

Alama ya wastani wenye uzani = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7

Ili kuendesha ukokotoaji huu kwenye kikokotoo kilicho hapo juu, bofya kichupo cha Yenye Uzani (Weighted), weka alama kwenye Thamani (84, 90, 75, 60, 85, 92, 81) na uzani kwenye Uzani (3, 2, 4, 3, 3, 2, 3). Uzani haulazimiki kufikia jumla ya 100 au nambari yoyote maalum — saa za mikopo ya masomo, asilimia ya alama ya mwisho na hesabu za kawaida zote zinafanya kazi, kwa sababu fomula hugawanya kwa jumla yoyote ya uzani inayopatikana.

Kikokotoo cha Alama ya Wastani: Kupima Uzito wa Mitihani, Kazi za Nyumbani na Mtihani wa Mwisho

Kupima uzito wa daraja ni matumizi ya kawaida ya wastani wenye uzani, na kichupo cha Yenye Uzani (Weighted) kilicho hapo juu hufanya kazi kama kikokotoo cha daraja la wastani bila kuhitaji kubadilishwa jina. Ikiwa muhtasari wa masomo unasema kazi za nyumbani ni 20% ya alama, mtihani wa katikati ya muhula ni 30% na mtihani wa mwisho ni 50%, asilimia hizo ndizo uzani: ingiza alama zako tatu kama thamani na 20, 30, 50 kama uzani.

Mwanafunzi aliye na 95 kwenye kazi za nyumbani, 78 kwenye mtihani wa katikati ya muhula na 84 kwenye mtihani wa mwisho anapata (95×20 + 78×30 + 84×50) / 100 = 84.4 — chini kidogo ya wastani wa kawaida wa 85.7, kwa sababu alama dhaifu zaidi inabeba uzito mkubwa zaidi. Tofauti hiyo ndiyo sababu hasa ya alama kupimwa kwa uzito badala ya kutafuta wastani wa kawaida tu, na ndiyo maana kukagua wastani wa kozi kwa mkono mara nyingi hakukubaliani na kitabu cha alama.

Uzani Ambao Haufikii Jumla ya 100

Hazihitaji kufanya hivyo. Kikokotoo kinagawanya kwa jumla yoyote ya uzani, kwa hivyo njia hizi zote tatu zinafanya kazi bila kubadilishwa:

Uzani unawakilisha nini	Mfano	Jumla
Asilimia za alama ya mwisho	20, 30, 50	100
Saa za mikopo kwa kila kozi	3, 4, 3, 2	12
Alama za juu za kila kazi	50, 100, 200	350

Kesi ya tatu inafaa kufafanuliwa, kwa sababu hapo ndipo wastani wa kawaida unapoleta mkanganyiko zaidi: kikokotoo cha wastani wa mitihani kinachochukulia chemsha bongo ya alama 50 na mtihani wa mwisho wa alama 200 kama vitu sawa kitampendelea mwanafunzi aliyefanya vizuri kwenye kazi ndogo. Ingiza thamani za alama kama uzani na jibu litalingana na kitabu cha alama.

Kukokotoa Alama Unayohitaji

Kwa sababu wastani wenye uzani ni Σ(w·x) ÷ Σw tu, kichupo hicho pia kinajibu swali la kinyume — ninahitaji alama gani kwenye mtihani wa mwisho? Jumlisha alama zenye uzani ulizonazo tayari, toa kutoka kwenye lengo lako, kisha gawa kwa uzito wa mtihani wa mwisho. Ukiwa na 95 kwenye kazi za nyumbani (20%) na 78 kwenye mtihani wa katikati ya muhula (30%), ili kudumisha wastani wa 85 unahitaji (85×100 − 95×20 − 78×30) / 50 = 85.2 kwenye mtihani wa mwisho.

Midiani

Midiani ni nambari iliyo katikati kabisa ya seti ya data inapo pangiliwa kwa mpangilio wa nambari—kuanzia ndogo kwenda kubwa au kuanzia kubwa kwenda ndogo. Kwa maneno mengine, midiani ni sehemu kamili inayogawanya mfuatano wa data mbichi zilizopangwa katika nusu mbili sawa. Matokeo yake, 50% ya nambari za data zinakuwa chini ya midiani, na 50% zinakuwa juu yake.

Mbinu ya Kukokotoa Midiani

Ili kupata midiani mwenyewe, unahitaji kwanza kubaini nafasi yake ndani ya seti yako ya data iliyopangwa kwa kutumia fomula hii:

$$Nafasi\ ya\ midiani = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}\ kipengee$$

Hapa, "n" inawakilisha idadi kamili ya vipengee vya seti ya data.

Ikiwa seti yako ya data ina idadi witiri (odd) ya vipengee, midiani ni nambari iliyopo kwenye nafasi hii ya katikati kabisa. Hata hivyo, ikiwa seti ya data ina idadi shufwa (even) ya vipengee, midiani hukokotolewa kwa kutafuta wastani rahisi wa nambari mbili za katikati.

Tofauti Kati ya Wastani (Mean) na Midiani

1. Wastani (mean) hukokotolewa kwa kujumlisha nambari zote katika seti ya data na kugawanya kwa idadi kamili ya vipengee hivyo, na kutoa takwimu inayojumuisha thamani ya kila nambari ya data. Kinyume chake, midiani ni ile tu nambari ya katikati katika orodha iliyopangwa. Hutoa sehemu kuu ya kugawanya lakini haitilii maanani ukubwa halisi wa nambari zinazoizunguka.

2. Vipimo vyote viwili vinaweza kukadiriwa kwa kuangalia tu michoro inayoonyesha data. Katika usambazaji ulinganifu (symmetric distribution), wastani unaweza kukadiriwa haraka kwa kuwa unakaa moja kwa moja katikati. Kinyume chake, midiani hutambuliwa kwa urahisi kama mstari wa katikati ndani ya mchoro wa kisanduku (box plot).

3. Wastani na midiani vyote vina jukumu muhimu katika uchambuzi wa hali ya juu wa takwimu. Wastani hutumiwa sana kwa data inayosambazwa kawaida isiyo na nambari zilizotengwa (outliers), na huunda msingi wa kukokotoa mtawanyo (variance) na mkengeuko wa kawaida (standard deviation). Hata hivyo, midiani hufaulu zaidi kama kipimo wa mwelekeo wa kati wakati data imepotoka sana (skewed) au imejaa nambari zilizotengwa. Inatumiwa sana katika majaribio ya takwimu zisizo na vigezo ambapo usambazaji mahususi wa data haufikiriwi.

Maswali ya Kawaida Kuhusu Wastani

Unapatataje Wastani wa Seti ya Nambari?

Jumlisha kila nambari pamoja, kisha gawa kwa idadi ya nambari zilizopo. Hiyo ndiyo mbinu nzima: kwa 10, 2, 38 na 23, jumla ni 73 na hesabu ni 4, kwa hiyo wastani ni 73 ÷ 4 = 18.25. Kikokotoo kilicho hapo juu kinaonyesha pande zote mbili za sehemu hiyo pamoja na jibu, ili hesabu ibaki wazi badala ya kufichwa nyuma ya matokeo.

Unakokotoaje Wastani (Mean)?

Kwa njia hiyo hiyo. Katika matumizi ya kila siku, maneno "mean" na "wastani" yanamaanisha nambari sawa — jumla ikigawanywa na idadi, ambayo rasmi huitwa wastani wa kihisabati (arithmetic mean). Neno "mean" linapendekezwa zaidi katika takwimu kwa sababu kuna aina kadhaa za mean (kihisabati, kijiometri, kiuwiano) na neno hilo linazitofautisha, wakati "wastani" katika mazungumzo ya kawaida linaweza kumaanisha midiani au hata modi.

Kuna Tofauti Gani Kati ya Wastani (Mean), Midiani na Modi?

Yanajibu maswali matatu tofauti kuhusu data sawa. Wastani (mean) unasawazisha thamani: ni mahali ambapo umbali wa juu na chini unafutana. Midiani inagawanya hesabu katikati: nusu ya thamani ziko chini yake, na nusu nyingine juu yake. Modi ni ule tu nambari inayojitokeza mara nyingi zaidi. Kwa 2, 3, 3, 4 na 88 wastani ni 20, midiani ni 3, na modi ni 3 — majibu matatu halali kwa swali "ni nini kilicho kawaida hapa", ndiyo maana nambari iliyotengwa ya 88 inafanya wastani kuwa kipimo kisicho na manufaa zaidi kati ya vyote.

Unapataje Wastani wa Asilimia?

Tafuta tu wastani wa asilimia moja kwa moja pale tu zinapofafanua vikundi vyenye ukubwa sawa. Ikiwa 40% ya timu ya watu 10 na 60% ya timu ya watu 90 walijibu ndiyo, takwimu ya uaminifu si 50% — ni (0.40×10 + 0.60×90) / 100 = 58%. Huyo ni wastani wenye uzani unaotumia ukubwa wa vikundi kama uzani, na ndivyo hasa kichupo cha Yenye Uzani kilichoundwa kufanya. Kutafuta wastani wa asilimia mbili kama nambari za kawaida kwa siri kunachukulia kwamba vikundi hivyo viwili vina ukubwa sawa.

Unatafutaje Wastani wa Muda?

Badilisha kila muda kuwa uniti moja, tafuta wastani wa hizo, na kisha ubadilishe kurudi. Mizunguko mitatu ya 1:45:30, 2:10:00 na 1:58:15 inafikia sekunde 21,225; ukigawanya kwa tatu unapata sekunde 7,075, au 1:57:55. Kichupo cha Muda (Time) kinakufanyia ubadilishaji huu na pia kinatoa matokeo katika masaa ya desimali (saa 1.9653), ambayo ndiyo fomu inayohitajika kwenye lahajakazi nyingi za saa na ankara.

Je, Wastani Unaweza Kuwa Mkubwa Kuliko Kila Thamani Katika Seti?

Hapana. Wastani kila wakati huwa kati ya thamani ndogo zaidi na kubwa zaidi — hiyo ni tabia ya kihisabati yenyewe, si bahati mbaya. Ikiwa wastani uliokokotolewa opo nje ya anuwai hiyo, basi kuna makosa ya kihisabati mahali fulani. Wastani wenye uzani unafuata sheria hiyo hiyo mradi tu uzani usiwe hasi, ambalo ni sababu mojawapo kwa nini uzani hasi kwa kawaida huwa ni makosa ya uingizaji wa data badala ya uamuzi wa kimitindo.

Kwa Nini Wastani Wakati Mwingine Unapotosha?

Kwa sababu thamani moja iliyokithiri inaivuta. Watu tisa wanaopata $40,000 na mmoja anayepata $1,000,000 wana wastani wa mapato ya $136,000 — takwimu ambayo haimwelezi mtu yeyote katika chumba hicho. Midiani ya $40,000 inaeleza watu tisa kati ya kumi. Kila wakati usambazaji unakuwa na mkia mrefu, ripoti midiani pamoja na wastani; kikokotoo kilicho hapo juu kinakupa zote mbili kutoka kwa uingizaji data ule ule, kwa hivyo ulinganifu hauna gharama ya ziada.

Lini Utumie Wastani

Wastani ndicho kipimo kinachofaa zaidi cha mwelekeo wa kati wakati seti yako ya data ina usambazaji ulinganifu usio na nambari zilizotengwa (outliers) kubwa. Kwa sababu inajumuisha kila nambari, inatumika kama kiashiria cha kutegemewa sana cha kitovu cha data. Hata hivyo, ikiwa seti yako ya data ina nambari zilizotengwa zilizo kubwa sana, unaweza kuhitaji kuziondoa kabla ya kukokotoa wastani ili kuhakikisha uwakilishi sahihi wa mwelekeo wa kati wa kweli.

Lini Utumie Midiani

Midiani ni kipimo kinachopendekezwa cha mwelekeo wa kati unaposhughulikia usambazaji uliopotoka au seti za data zilizo na nambari zilizotengwa zilizopitiliza. Kwa sababu midiani huonyesha tu nambari ya katikati ya orodha iliyopangwa, haishawishiwi kabisa na nambari kubwa au ndogo isivyo kawaida. Katika matukio haya, midiani hutoa uwakilishi sahihi zaidi wa nambari ya "kawaida" ndani ya sehemu kubwa ya data.

Hebu tubadilishe mfano wetu wa awali ili kuonyesha jinsi nambari zilizotengwa zinavyoathiri ukokotoaji huu.

Mfano

Fikiria Jasmine alipata alama ndogo sana ya 15 katika Mafunzo ya Kimataifa badala ya 92. Nini itakuwa wastani mpya wa alama za masomo yake ya muhula uliopita?

Somo	Alama
Usimamizi	84
Mawasiliano	90
Uhasibu	75
Uchumi	60
Takwimu za Biashara	85
Mafunzo ya Kimataifa	15
Hisabati	81

Suluhisho

Alama ya wastani = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

Alama mpya ya wastani ya Jasmine inashuka hadi 70. Nambari moja tu iliyotengwa sana (alama ya 15) ilivuta wastani wake chini kwa alama 11 kamili. Hii inaonyesha kikamilifu jinsi nambari zilizotengwa zinavyoweza kupotosha kwa kiasi kikubwa wastani wa kihisabati.

Katika hali kama hizi, midiani hutumika kama kipimo cha kuaminika zaidi. Kuthibitisha hili, hebu tukokotoe midiani kwa seti zote mbili za data; ya awali na iliyobadilishwa.

Mfano

Jedwali hapa chini linaonyesha alama za asili za Jasmine katika masomo yake saba. Je, midiani ya alama hizi ni ipi?

Somo	Alama
Usimamizi	84
Mawasiliano	90
Uhasibu	75
Uchumi	60
Takwimu za Biashara	85
Mafunzo ya Kimataifa	92
Hisabati	81

Suluhisho

Kwanza, lazima tupange alama zote katika orodha iliyopangiliwa. Unaweza kuzipanga kwa mtiririko kuanzia ndogo kwenda kubwa au kubwa kwenda ndogo. Hebu tuzipange kuanzia ndogo kwenda kubwa:

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$Nafasi\ ya\ midiani = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}\ kipengee = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{th}\ kipengee = kipengee\ cha\ 4$$

Kisha, tunatambua kipengee cha 4 katika seti yetu ya data iliyopangwa, ambacho ni 84. Kwa hivyo, midiani ya seti hii ya data ni 84.

Sasa, hebu tukokotoe midiani ya seti ya data iliyobadilishwa ambayo inajumuisha ile nambari iliyotengwa (outlier).

Mfano

Tuchukulie Jasmine alipata 15 badala ya 92 katika Mafunzo ya Kimataifa. Je, midiani mpya ya alama kwa masomo aliyosoma Jasmine muhula uliopita ni ipi?

Somo	Alama
Usimamizi	84
Mawasiliano	90
Uhasibu	75
Uchumi	60
Takwimu za Biashara	85
Mafunzo ya Kimataifa	15
Hisabati	81

Suluhisho

Kwa mara nyingine, hatua yetu ya kwanza ni kupanga alama zote kwenye orodha inayoanzia ndogo kwenda kubwa.

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$Nafasi\ ya\ midiani = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{th}\ kipengee = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{th}\ kipengee = kipengee\ cha\ 4$$

Sasa, tunaangalia kipengee cha 4 kwenye seti yetu mpya ya data. Ni 81, ambayo inawakilisha midiani mpya ya seti ya data.

Kama unavyoona, hata ikiwa na nambari moja kubwa iliyotengwa iliyowekwa kwenye seti ya data, midiani ilikuwa thabiti sana, ikibadilika kidogo tu kutoka 84 hadi 81 (tofauti na wastani, ulioshuka sana kwa alama 11).