ماشین حساب میانگین

ماشین حساب آنلاین میانگین، محاسبه مقدار متوسط برای هر مجموعه داده‌ای را بسیار ساده و سریع می‌کند. شما به راحتی می‌توانید داده‌های خود را تایپ، کپی و در کادر مخصوص جایگذاری کنید. فقط کافی است مطمئن شوید که هر عدد (نقطه داده) را با یک ویرگول (کاما) از دیگری جدا کرده‌اید. سپس، روی دکمه "محاسبه" کلیک کنید.

ماشین حساب میانگین ما نه تنها میانگین حسابی (متوسط) را به شما نشان می‌دهد، بلکه مراحل گام‌به‌گام محاسبه و سایر آمارهای کاربردی مرتبط با مجموعه داده را نیز در اختیارتان می‌گذارد.

میانگین

میانگین (Mean) در واقع برآیند یا متوسط مقادیر در یک مجموعه داده است. برای محاسبه این شاخص، از تمام مقادیر موجود در مجموعه داده استفاده می‌شود؛ بنابراین، میانگین می‌تواند نماینده‌ای برای کل داده‌ها باشد. میانگین یکی از مهم‌ترین و پرکاربردترین شاخص‌های گرایش به مرکز (معیارهای خلاصه‌سازی داده‌ها) به شمار می‌رود.

میانگین حسابی ساده، رایج‌ترین نوع میانگین است. با این حال، انواع مختلفی از میانگین‌ها وجود دارند که از جمله آن‌ها می‌توان به میانگین هندسی، میانگین وزنی، میانگین ترکیبی، میانگین همساز (هارمونیک) و غیره اشاره کرد.

میانگین یک جامعه آماری با نماد μ (مو) و میانگین یک نمونه آماری با نماد X̄ (ایکس بار) نشان داده می‌شود.

میانگین ساده

میانگین ساده با تقسیم مجموع مقادیر یک مجموعه داده بر تعداد کل آن‌ها محاسبه می‌شود. در مکالمات روزمره، اغلب به میانگین حسابی ساده همان عبارت‌های «متوسط» یا «میانگین» اطلاق می‌شود.

برای محاسبه میانگین جامعه آماری، می‌توانیم از فرمول زیر استفاده کنیم:

μ = جمع مقادیر مجموعه داده / تعداد کل مقادیر داده در جمعیت = ΣX / N

برای محاسبه میانگین یک نمونه آماری، از این فرمول استفاده می‌کنیم:

X̄ = جمع مقادیر مجموعه داده / تعداد کل مقادیر داده در نمونه = ΣX/n

بیایید با بررسی یک مثال، مفهوم میانگین را بهتر درک کنیم.

مثال

نمرات یاسمین در هفت درس از ترم گذشته در جدول زیر نمایش داده شده است. میانگین نمرات دروس ترم قبل یاسمین چقدر است؟

راه‌حل

میانگین نمرات = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

میانگین مفهومی است که برای همه ما آشناست. میانگین درآمد، متوسط هزینه تولید، میانگین قیمت‌ها، معدل نمرات دانش‌آموزان و میانگین مصرف سوخت، تنها چند نمونه از مواردی هستند که به طور روزمره با آن‌ها سروکار داریم. حتی در زندگی عادی نیز، میانگین ساده یک روش محاسبه استاندارد و پرکاربرد است. از میانگین ساده یا میانگین حسابی گاهی به عنوان «میانگین ایده‌آل» نیز یاد می‌شود.

با این وجود، در برخی موقعیت‌های خاص، باید از سایر شاخص‌های گرایش به مرکز استفاده کنیم. در ادامه به بررسی آن‌ها می‌پردازیم.

میانگین هندسی

هنگامی که قصد داریم میانگین نرخ رشد یک مقدار را در طول زمان محاسبه کنیم، میانگین حسابی ابزار مناسبی نیست. در این موارد، از میانگین هندسی استفاده می‌شود که کاربرد گسترده‌ای در حسابداری و امور مالی (مانند محاسبه بهره مرکب) دارد و شاخص بسیار دقیق‌تری برای این نوع محاسبات به شمار می‌رود. دلیل این امر این است که نرخ رشد، ماهیتی ضربی دارد تا جمعی.

میانگین هندسی برای یک مجموعه داده، به عنوان ریشه nامِ حاصل‌ضرب n عدد تعریف می‌شود. برای محاسبه آن، ابتدا تمامی مقادیر در یکدیگر ضرب شده و سپس ریشه nام (جذر با فرجه n) حاصل‌ضرب به دست می‌آید؛ که در آن n برابر با تعداد کل مقادیر در مجموعه داده است. میانگین هندسی برای میانگین‌گیری از نسبت‌ها، درصدها و نرخ‌های رشد بسیار کاربردی است.

$$میانگین\ هندسی = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

اکنون میانگین هندسی را برای مثال قبلی محاسبه می‌کنیم:

$$میانگین هندسی = \$\sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80.31\$$$

میانگین هندسی همیشه برابر یا کوچک‌تر از میانگین ساده (میانگین حسابی) است.

در مثال ما:

میانگین هندسی ≤ میانگین

80.31 < 81

شما می‌توانید از ماشین حساب آنلاین میانگین، برای محاسباتی فراتر از میانگین حسابی ساده استفاده کنید. این ابزار به شما امکان می‌دهد تا به راحتی میانگین هندسی مجموعه داده‌های خود را نیز به دست آورید.

میانگین وزنی

در میانگین حسابی ساده، تمام مقادیر دارای وزن یا اهمیت یکسانی هستند. اما در بسیاری از موارد واقعی، نمی‌توانیم به همه داده‌ها اهمیت یکسانی بدهیم.

در مثال قبل، میانگین را از طریق جمع کردن تمام نمرات و تقسیم آن بر تعداد کل دروس محاسبه کردیم؛ بدون اینکه اهمیت یا ضریب (تعداد واحد) هر درس را در نظر بگیریم.

زمانی که در محاسبه میانگین نیاز داریم به اهمیت نسبی هر عنصر در مجموعه داده توجه کنیم، باید از میانگین وزنی استفاده کنیم. میانگین وزنی از طریق تقسیم مجموع مقادیر وزن‌دار بر مجموع وزن‌ها به دست می‌آید. به حاصل‌ضرب هر مقدار داده در وزن مرتبط با آن، «مقدار وزن‌دار» می‌گویند.

می‌توانیم از فرمول زیر برای یافتن میانگین وزنی استفاده کنیم:

میانگین وزنی = جمع مقادیر وزن‌دار / جمع وزن‌ها = ΣWX / ΣW

مثال

فرض کنید هر یک از دروس در مثال قبلی دارای وزن (ضریب) متفاوتی باشند. در این صورت، جدول به‌روزشده داده‌ها برای نمرات یاسمین در ۷ درس ترم قبل به شکل زیر خواهد بود:

میانگین وزنی نمرات یاسمین در ترم گذشته

راه‌حل

میانگین وزن‌دار نمرات = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7

میانه

میانه، مقدار میانی یک مجموعه داده است؛ البته زمانی که داده‌ها به ترتیب صعودی (از کوچک به بزرگ) یا نزولی (از بزرگ به کوچک) مرتب شده باشند. به عبارت دیگر، میانه نقطه‌ای است که آرایه داده‌ها (مجموعه‌ای از داده‌های خام که به ترتیب چیده شده‌اند) را به دو نیمه کاملاً مساوی تقسیم می‌کند. در نتیجه، ۵۰٪ از مقادیر در زیر میانه و ۵۰٪ از آن‌ها در بالای میانه قرار می‌گیرند.

روش محاسبه میانه

برای یافتن میانه، در قدم اول باید موقعیت یا جایگاه آن را با استفاده از فرمول زیر پیدا کنیم:

$$موقعیت\ میانه = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{امین\ مورد}$$

حرف "n" نشان‌دهنده تعداد کل مقادیر در مجموعه داده است.

اگر تعداد کل مقادیر داده‌ها فرد باشد، مقدار مرکزی مستقیماً همان میانه است. اما اگر تعداد کل داده‌ها زوج باشد، میانگینِ دو عددِ وسطی به عنوان میانه در نظر گرفته می‌شود.

تفاوت‌های بین میانگین و میانه

1. میانگین (متوسط) از طریق جمع کردن تمام مقادیر یک مجموعه داده و تقسیم آن بر تعداد مشاهدات محاسبه می‌شود. این روش عددی را به ما می‌دهد که تک‌تک داده‌ها در شکل‌گیری آن نقش داشته‌اند. در مقابل، میانه صرفاً مقدار وسطی در مجموعه داده‌ای است که از کوچک به بزرگ مرتب شده است. میانه یک نقطه مرکزی ارائه می‌دهد که داده‌ها را نصف می‌کند، اما ارزش عددی سایر مقادیر را در محاسبه خود دخالت نمی‌دهد.

2. هم میانگین و هم میانه را می‌توان از روی نمایش‌های گرافیکی داده‌ها به طور تقریبی تخمین زد. میانگین را می‌توان در یک توزیع متقارن به صورت چشمی تخمین زد زیرا باید دقیقاً در مرکز نمودار قرار گیرد؛ در حالی که میانه به راحتی به عنوان خط میانی در نمودارهایی مانند نمودار جعبه‌ای (Box Plot) قابل تشخیص است.

3. میانگین و میانه هر دو کاربردهای گسترده‌ای در تحلیل‌های آماری پیشرفته دارند. میانگین به طور ویژه برای داده‌هایی با توزیع نرمال که فاقد داده‌های پرت (Outliers) هستند بسیار مفید است، زیرا اساس محاسبه واریانس و انحراف معیار می‌باشد. از سوی دیگر، میانه به عنوان یک شاخص گرایش به مرکز، زمانی که داده‌ها دچار چولگی (کج‌شدگی توزیع) هستند یا دارای مقادیر پرت می‌باشند، بسیار ارزشمند است و اغلب در آزمون‌های آماری ناپارامتریک که فرض خاصی در مورد توزیع داده‌ها ندارند، استفاده می‌شود.

چه زمانی از میانگین استفاده کنیم

میانگین، مناسب‌ترین شاخص گرایش به مرکز برای زمانی است که توزیع مجموعه داده متقارن بوده و فاقد داده‌های پرت (مقادیر بسیار بزرگ یا بسیار کوچک و غیرعادی) باشد. میانگین یک نشانگر قابل اعتماد از مرکز داده‌هاست، زیرا ارزش عددی تک‌تک داده‌ها را در نظر می‌گیرد. اگر مجموعه داده شما دارای نقاط پرت است، برای اطمینان از به دست آمدن یک میانگین دقیق و نماینده‌ای واقعی از داده‌ها، بهتر است قبل از انجام محاسبه، این داده‌های پرت را حذف کنید.

چه زمانی از میانه استفاده کنیم

زمانی که با توزیع‌های چوله (نامتقارن) روبه‌رو هستید یا داده‌های پرت در مجموعه شما وجود دارند، میانه بهترین معیار گرایش به مرکز محسوب می‌شود. دلیل این امر آن است که میانه، به عنوان نقطه وسط داده‌های مرتب‌شده، برخلاف میانگین تحت تأثیر مقادیر بسیار بزرگ یا بسیار کوچک قرار نمی‌گیرد. در چنین شرایطی، میانه مقدار مرکزی بسیار بهتری را ارائه می‌دهد که اکثریت داده‌ها را بدون اعوجاج ناشی از داده‌های پرت نمایندگی می‌کند.

بیایید مثال اولیه خود را کمی تغییر دهیم تا تأثیر داده‌های پرت را بررسی کنیم.

مثال

فرض کنید یاسمین به جای نمره 92، در درس مطالعات بین‌المللی نمره 15 را کسب کرده است. میانگین نمرات جدید یاسمین در ترم گذشته چقدر خواهد بود؟

راه حل

میانگین نمره = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

میانگین جدید نمرات به 70 کاهش یافت. یعنی از 81 به 70 (11 نمره افت). به وضوح می‌بینید که داده‌های پرت (ناهنجار) چگونه می‌توانند به شدت روی میانگین تأثیر بگذارند.

در این گونه موقعیت‌ها، محاسبه میانه به جای میانگین، معیار بسیار منطقی‌تر و مناسب‌تری برای سنجش مرکز گرایش داده‌هاست. برای درک بهتر، بیایید میانه را هم برای داده‌های اصلی و هم برای داده‌های تغییر یافته محاسبه کنیم.

مثال

جدول زیر نمرات اصلی یاسمین در هفت درس ترم گذشته را نشان می‌دهد. میانه نمرات دروس ترم قبل یاسمین چقدر است؟

راه حل

در قدم اول، باید تمام نمرات را به صورت یک آرایه مرتب کنیم. بسته به سلیقه خود می‌توانید داده‌ها را صعودی یا نزولی سازمان‌دهی کنید.

60، 75، 81، 84، 85، 90، 92

$$موقعیت\ مدیان = آیتم\ \left( \frac{n+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ \left( \frac{7+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ 4^{ام}$$

سپس، بررسی می‌کنیم که چهارمین عضو مجموعه داده‌های ما چیست. عدد 84 در این جایگاه قرار دارد. بنابراین، میانه این مجموعه داده 84 است. اکنون، میانه را برای مجموعه داده تغییریافته (شامل داده پرت) محاسبه می‌کنیم.

مثال

فرض کنید یاسمین به جای 92، در درس مطالعات بین‌المللی نمره 15 گرفته باشد. میانه جدید نمرات دروس ترم قبل یاسمین چقدر است؟

راه حل

مجدداً به عنوان اولین قدم، تمام نمرات را در یک آرایه سازمان‌دهی می‌کنیم. بیایید آن‌ها را به ترتیب صعودی (از کوچک به بزرگ) مرتب کنیم.

15، 60، 75، 81، 84، 85، 90

$$موقعیت\ میانه = آیتم\ \left( \frac{n+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ \left( \frac{7+1}{2} \right)^{ام} = آیتم\ 4^{ام}$$

اکنون، بررسی می‌کنیم که چهارمین عضو مجموعه داده‌های ما چیست. این بار عدد 81 در جایگاه چهارم قرار دارد و میانه مجموعه داده را نشان می‌دهد.

همان‌طور که می‌بینید، با وجود اینکه یک داده بسیار پرت (نمره 15) به مجموعه اضافه شد، میانه برخلاف میانگین تأثیر چندانی نپذیرفت و ثبات بسیار بیشتری از خود نشان داد.