평균값 계산기

온라인 평균 계산기를 활용하면 방대한 데이터 세트의 평균값을 쉽고 빠르게 구할 수 있습니다. 입력창에 데이터를 직접 입력하거나 복사해서 붙여넣기만 하면 됩니다. 각 데이터 값은 쉼표로 구분해 주세요. 입력을 마친 후 "계산" 버튼을 클릭합니다.

평균 계산기는 데이터 세트의 평균(산술 평균)은 물론, 상세한 계산 과정과 관련 통계 지표까지 한눈에 보여줍니다.

평균

평균(Average)은 데이터 세트에 포함된 모든 값을 아울러 전체 데이터를 대표하는 값입니다. 데이터를 구성하는 모든 값이 평균을 계산하는 데 사용되므로, 데이터 세트 전체를 나타내는 가장 중요한 중심경향치(대푯값) 중 하나로 꼽힙니다.

가장 일반적으로 사용되는 것은 단순 산술 평균이지만 상황에 따라 기하 평균, 가중 평균, 결합 산술 평균, 조화 평균 등 다양한 종류의 평균이 활용됩니다.

모집단의 평균은 μ(뮤)로 표기하며, 표본(샘플)의 평균은 X̄(엑스 바)로 표기합니다.

단순 평균

단순 평균(Simple Mean)은 데이터 세트에 있는 모든 값의 합을 전체 데이터 개수로 나누어 구합니다. 일상적으로 '평균'이라고 부를 때 대체로 이 단순 평균(산술 평균)을 의미합니다.

모집단의 평균을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

μ = 데이터 세트 값들의 합 / 모집단 내 데이터 총 개수 = ΣX / N

표본의 평균을 계산하는 공식은 다음과 같습니다.

X̄ = 데이터 세트 값들의 합 / 표본 내 데이터 총 개수 = ΣX / n

아래 예제를 통해 단순 평균을 구하는 방법을 알아보겠습니다.

예제

재스민이 지난 학기에 수강한 7개 과목의 점수가 아래 표와 같을 때, 재스민의 지난 학기 과목 평균 점수는 얼마일까요?

과목	점수
경영학	84
커뮤니케이션	90
회계	75
경제학	60
비즈니스 통계	85
국제학	92
수학	81

풀이

평균 점수 = ΣX / N = (84 + 90 + 75 + 60 + 85 + 92 + 81) / 7 = 567 / 7 = 81

평균은 우리 모두에게 친숙한 개념입니다. 평균 소득, 평균 생산 비용, 평균 가격, 평균 점수, 평균 연비 등 일상생활에서도 단순 평균은 매우 자주 사용되는 표준적인 계산법입니다. 단순 평균 또는 단순 산술 평균은 가장 이상적인 대푯값으로도 알려져 있습니다.

하지만 상황에 따라서는 다른 형태의 중심경향치를 사용해야 할 때가 있습니다. 아래에서 자세히 살펴보겠습니다.

기하 평균

시간의 흐름에 따른 평균 성장률을 구할 때는 산술 평균이 적합하지 않습니다. 복리 계산 등 회계 및 금융 분야에서 자주 쓰이는 기하 평균(Geometric Mean)이 훨씬 더 정확한 지표가 됩니다. 성장률은 덧셈이 아니라 곱셈의 형태로 누적되기 때문입니다.

데이터 세트의 기하 평균은 n개 데이터 값을 모두 곱한 뒤, 그 곱의 n제곱근을 구하여 계산합니다(이때 n은 데이터의 총 개수입니다). 기하 평균은 비율, 백분율, 성장률 등의 평균을 구할 때 매우 유용합니다.

$$기하\ 평균 = \sqrt[n]{x₁×x₂×x₃×…×xₙ} = (x₁×x₂×x₃×…×xₙ)^{\frac{1}{n}}$$

앞선 예제의 데이터로 기하 평균을 구해보겠습니다.

$$기하\ 평균 = \sqrt[7]{84×90×75×60×85×92×81} = 80.31$$

기하 평균은 항상 단순 평균(산술 평균)보다 작거나 같습니다.

위 예제에서도 이를 확인할 수 있습니다.

기하 평균 ≤ 평균

80.31 < 81

온라인 평균 계산기를 활용하면 산술 평균뿐만 아니라 복잡한 기하 평균도 손쉽게 구할 수 있습니다.

가중 평균

단순 산술 평균에서는 모든 데이터 값이 동일한 비중(가중치)과 중요도를 가진다고 가정합니다. 하지만 데이터 세트 내의 각 값에 동일한 중요도를 부여할 수 없는 경우도 많습니다.

앞선 예제에서는 모든 점수를 더한 후 총 과목 수로 나누어 평균을 구했으며, 과목별 상대적인 중요도는 고려하지 않았습니다.

이처럼 평균을 계산할 때 데이터 세트를 구성하는 각 항목의 상대적 중요도를 반영해야 한다면 가중 평균(Weighted Average)을 사용해야 합니다. 가중 평균은 각 데이터 값에 해당 가중치를 곱한 가중값들의 총합을 전체 가중치의 합으로 나누어 계산합니다.

가중 평균을 구하는 공식은 다음과 같습니다.

가중 평균 = 가중값의 합 / 가중치의 합 = ΣWX / ΣW

예제

앞선 예제에서 각 과목의 중요도(가중치)가 다르다고 가정해 봅시다. 가중치가 반영된 재스민의 지난 학기 7개 과목 점수표는 다음과 같습니다.

지난 학기 재스민 점수의 가중 평균

과목	점수	가중치
경영학	84	3
커뮤니케이션	90	2
회계	75	4
경제학	60	3
비즈니스 통계	85	3
국제학	92	2
수학	81	3

풀이

가중 평균 점수 = ΣWX / ΣW = (84×3+90×2+75×4+60×3+85×3+92×2+81×3)/(3+2+4+3+3+2+3) = (252+180+300+180+255+184+243)/20 = 1594/20 = 79.7

중앙값

수집된 데이터를 오름차순(가장 작은 값부터 큰 값 순서) 또는 내림차순(가장 큰 값부터 작은 값 순서)으로 정렬했을 때, 정가운데에 위치하는 값을 중앙값(Median)이라고 합니다. 다시 말해, 중앙값은 크기순으로 나열된 데이터 배열을 정확히 두 개의 동등한 부분으로 나누는 기준점입니다. 따라서 전체 데이터의 50%는 중앙값보다 작고, 나머지 50%는 중앙값보다 큽니다.

중앙값 계산 방법

중앙값을 구하려면 먼저 아래 공식을 이용해 중앙값의 위치를 찾아야 합니다.

$$중앙값의\ 위치 = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{번째}항목$$

여기서 "n"은 데이터 세트의 전체 항목 개수를 의미합니다.

데이터 세트의 총 항목 수가 홀수일 경우, 정가운데 위치한 항목의 값이 바로 중앙값이 됩니다. 반면 총 항목 수가 짝수일 경우, 가운데 위치한 두 숫자의 산술 평균이 중앙값이 됩니다.

평균과 중앙값의 차이점

1. 평균(산술 평균)은 데이터 세트의 모든 값을 더한 뒤 전체 관측치 개수로 나누어 계산하므로 모든 데이터의 크기를 반영합니다. 반면 중앙값은 크기순으로 정렬된 데이터의 가운데 위치한 값으로, 데이터를 정확히 반으로 나누는 중심점을 알려주지만 개별 데이터의 정확한 크기(값) 자체를 모두 반영하지는 않습니다.

2. 평균과 중앙값 모두 그래프를 통해 대략적으로 시각적 추정이 가능합니다. 평균은 데이터가 대칭적으로 분포되어 있을 때 중심축을 기준으로 유추할 수 있으며, 중앙값은 상자 수염 그림(Box plot)의 중간 선을 통해 쉽게 파악할 수 있습니다.

3. 두 지표 모두 통계 분석에서 각기 다른 목적으로 유용하게 쓰입니다. 평균은 데이터가 정규 분포를 따르며 이상치(Outlier)가 없을 때 매우 효과적이며, 분산과 표준 편차를 계산하는 기초 자료가 됩니다. 반면 중앙값은 데이터가 편향되어 있거나 극단적인 이상치가 존재할 때 중심경향을 더 잘 나타내며, 특정 분포를 가정하지 않는 비모수 통계 검정에서 자주 활용됩니다.

평균을 사용할 때

평균은 데이터 세트가 대칭적으로 분포되어 있고 이상치가 없을 때 가장 적합한 대푯값입니다. 모든 값을 포함하여 계산하므로 데이터의 중심을 나타내는 가장 신뢰할 수 있는 지표가 됩니다. 만약 데이터 세트에 극단적인 이상치가 포함되어 있다면, 중심경향을 더 정확히 파악하기 위해 이상치를 제거한 후 평균을 계산하는 것이 좋습니다.

중앙값을 사용할 때

데이터 분포가 비대칭적으로 편향되어 있거나 이상치가 존재할 때는 중앙값을 대푯값으로 사용하는 것이 좋습니다. 중앙값은 크기순으로 정렬된 데이터 세트의 정가운데 위치한 값이기 때문에, 평균과 달리 극단적인 이상치의 영향을 거의 받지 않기 때문입니다. 이처럼 데이터에 이상치가 있는 경우, 중앙값은 왜곡 없이 대다수의 데이터를 대표하는 더 정확한 기준점이 됩니다.

원래 예제를 조금 수정하여 이상치가 어떤 영향을 미치는지 알아보겠습니다.

예제

재스민이 '국제학' 과목에서 92점 대신 15점을 받았다고 가정해 봅시다. 이 경우 재스민의 지난 학기 평균 점수는 어떻게 달라질까요?

과목	점수
경영학	84
커뮤니케이션	90
회계	75
경제학	60
비즈니스 통계	85
국제학	15
수학	81

풀이

평균 점수 = ΣX / N = (84+90+75+60+85+15+81)/7 = 490/7 = 70

새로운 평균 점수는 70점입니다. 평균이 81점에서 70점으로 무려 11점이나 떨어졌습니다. 하나의 극단적인 이상치가 전체 평균에 얼마나 큰 영향을 미치는지 명확히 확인할 수 있습니다.

이러한 상황에서는 산술 평균보다 중앙값이 중심경향을 더 정확하게 나타내는 지표가 됩니다. 이를 확인하기 위해 원래의 점수표와 이상치가 포함된 점수표의 중앙값을 각각 계산해 보겠습니다.

예제

아래 표는 재스민의 지난 학기 원래 7개 과목 점수입니다. 이 데이터의 중앙값은 얼마일까요?

과목	점수
경영학	84
커뮤니케이션	90
회계	75
경제학	60
비즈니스 통계	85
국제학	92
수학	81

풀이

첫 번째 단계로, 모든 점수를 크기순으로 정렬합니다. 편의에 따라 오름차순이나 내림차순 중 하나를 선택할 수 있습니다. 여기서는 오름차순으로 정리해 보겠습니다.

60, 75, 81, 84, 85, 90, 92

$$중앙값의\ 위치 = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{번째}항목 = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{번째}항목 = 4^{번째}항목$$

다음으로, 정렬된 데이터 세트의 4번째 항목이 무엇인지 확인합니다. 해당 값은 84입니다. 따라서 이 데이터 세트의 중앙값은 84가 됩니다. 이제 이상치가 포함된 수정된 데이터 세트의 중앙값을 구해보겠습니다.

예제

재스민이 '국제학'에서 92점 대신 15점을 받았다고 다시 가정해 봅시다. 새로운 점수 분포에서 중앙값은 얼마일까요?

과목	점수
경영학	84
커뮤니케이션	90
회계	75
경제학	60
비즈니스 통계	85
국제학	15
수학	81

풀이

마찬가지로 첫 번째 단계는 모든 점수를 순서대로 배열하는 것입니다. 데이터를 오름차순으로 정렬해 보겠습니다.

15, 60, 75, 81, 84, 85, 90

$$중앙값의\ 위치 = \left( \frac{n+1}{2} \right)^{번째}항목 = \left( \frac{7+1}{2} \right)^{번째}항목 = 4^{번째}항목$$

이제 새롭게 정렬된 데이터 세트의 4번째 항목을 확인합니다. 해당 값은 81이며, 이것이 새로운 데이터 세트의 중앙값입니다.

이 경우 극단적인 이상치(15점)가 발생했음에도 불구하고 중앙값은 크게 왜곡되지 않고 전체 중심경향을 잘 대표하고 있음을 알 수 있습니다.