Công cụ tính thể tích

Mọi vật thể rắn ba chiều đều chiếm một khoảng không gian nào đó. Người ta có thể nghĩ đến khoảng không gian mà chiếc điện thoại di động của chúng ta chiếm khi đặt trên bàn, một thùng đựng nước đặt ở gần đó, hay đơn giản là một quả bóng đá trên sân.

Chúng ta có thể định nghĩa thể tích là khoảng không gian bị chiếm bởi một vật thể. Thể tích cũng có thể đề cập đến khả năng chứa của đối tượng. Thay vì nghĩ đến không gian mà thùng nước chiếm trong gara của chúng ta, chúng ta có thể nghĩ đến dung tích hoặc lượng nước mà thùng đó có thể chứa được.

Tính toán thể tích được sử dụng trong nhiều ngành khoa học và toán học khác nhau.

Máy tính thể tích hỗ trợ nhiều phép tính khi tính toán thể tích. Hơn nữa, công cụ máy tính này còn hiển thị công thức và quy trình tính toán từng bước. Bài viết này sẽ đưa ra những giải thích đơn giản và đầy đủ về thể tích và công thức tính thể tích kèm theo các ví dụ thực tế.

Đơn vị và cách tính thể tích

Để nâng cao độ tin cậy và độ chính xác của phép tính, chúng ta cần một đơn vị đo lường tiêu chuẩn. Để thống nhất, chúng ta sẽ sử dụng một bộ đơn vị đo lường được tiêu chuẩn hoá, được gọi là đơn vị tiêu chuẩn.

Đơn vị thể tích SI (Hệ đơn vị quốc tế) là mét khối m³. Tuy nhiên, thể tích của một số vật nhỏ có thể thể hiện bằng đơn vị nhỏ hơn, chẳng hạn như centimet khối (cm³) hoặc milimét khối (mm³) nếu vật đó quá nhỏ.

Mặt khác, người dùng có thể tự do lựa chọn đơn vị phù hợp nhất với trường hợp cụ thể của mình. Công cụ tính thể tích hỗ trợ hai hệ thống đo lường: Hệ thống số liệu, Đơn vị đo lường Anh và Đơn vị thông thường của Hoa Kỳ. Người dùng có quyền tự do lựa chọn giữa các đơn vị sau:

• kilomet,
• met,
• centimet,
• millimet,
• micromet,
• nanomet,
• angstrom,
• mile (dặm),
• yard,
• feet,
• inches.

Nếu chúng ta sử dụng các công thức để tính thể tích, chúng ta phải thống nhất một đơn vị đo lường trong quá trình thực hiện. Vì vậy, chúng ta thường quy đổi tất cả số đo về cùng một đơn vị để tiện cho việc tính toán.

Ví dụ, hãy xem xét việc tính thể tích của một hình trụ có chiều cao 75 cm và bán kính 0,5 m. Chúng ta hãy chuyển đổi chiều cao sang mét và tính thể tích theo mét khối hoặc chuyển bán kính sang centimet và tính thể tích theo centimet khối.

Còn nếu bạn xác định chiều cao tính bằng inch và bán kính tính bằng nanomet thì sao? Công cụ máy tính này sẽ thực hiện việc chuyển đổi đơn vị này và hiển thị các bước.

Với công cụ máy tính này, người dùng có thể chọn một đơn vị khác nhau cho mỗi đầu vào, và máy tính thể tích sẽ sử dụng các công thức tính và trả về kết quả thể tích tính được.

Xét ví dụ với chiều cao của hình trụ là 5 inch và bán kính là 10506070 nanomet. Chúng ta sẽ điều hướng đến phần máy tính thể tích hình trụ và nhập các giá trị bán kính và chiều cao với các đơn vị đo đúng từ danh sách thả xuống.

Công cụ máy tính trước tiên sẽ trả về thể tích là 2,6874044006564 inches³ (inches khối) và 4,4038667907438E+22 nanometers³ (nanometers khối). Có kết quả như vậy vì đây là các đơn vị đo mà chúng ta đã sử dụng khi nhập đầu vào, máy tính giả định rằng chúng ta cần tính thể tích với một trong những đơn vị này. Máy tính thể tích hình trụ hiển thị hai cách thực hiện tính toán cùng với việc chuyển đổi đơn vị đo!

Công cụ tính thể tính: Phạm vi, tính năng và ví dụ

Các phương pháp tính thể tích có thể khác nhau tùy thuộc vào từng hình khối. Một số hình dạng hình học sử dụng các công thức số học tiêu chuẩn để tính thể tích dựa trên các đặc tính của chúng, như chiều dài cạnh hoặc bán kính.

Các hình dạng hình học khác phức tạp hơn và bạn không thể tính thể tích của chúng một cách trực tiếp. Trong trường hợp này, các phương pháp tính toán nâng cao như tích phân hình học và phương pháp phần tử hữu hạn sẽ được sử dụng. Công cụ tính thể tích hỗ trợ tính thể tích cho nhiều loại đối tượng, vật thể khác nhau.

Hình cầu

Hình cầu là khối hình ba chiều của hình tròn; một ví dụ về hình cầu là các quả bóng tròn (bóng chày, bóng rổ, v.v.). Công thức thể tích của hình cầu là:

$$V_{quả\ cầu}=\frac{4}{3}π r^3$$

Chúng ta có thể thấy rằng thể tích của hình cầu chỉ phụ thuộc vào bán kính của nó (r). Bán kính được định nghĩa là khoảng cách giữa tâm của hình cầu đến một điểm bất kỳ trên bề mặt. Cho một quả bóng chày có bán kính r = 3,65 cm, chúng ta có thể sử dụng công cụ máy tính thể tích hình cầu để tính thể tích:

$$Âm\ lượng = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ cm^3$$

Hình nón

Hình nón là một hình khối bao gồm một đáy tròn và một điểm chóp, được gọi là đỉnh, trong đó tất cả các điểm trên chu vi của đáy được nối với đỉnh bằng các đường thẳng. Chúng ta có thể xác định các thuộc tính của hình nón bằng hai số đo: bán kính của đáy tròn (r) và chiều cao từ tâm của đáy đến đỉnh (h).

Thể tích của hình nón có thể được tính như sau:

$$V_{hình\ nón}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

r là bán kính, và h là chiều cao của hình nón

Hãy tưởng tượng bạn có một buổi tiệc sinh nhật và muốn tự làm những chiếc mũ hình nón để sử dụng chúng chứa bỏng ngô vào buổi tiệc.

Nếu bạn quyết định làm những chiếc mũ hình nón có bán kính là 7,5 cm và chiều cao là 0,45 m, bạn có thể sử dụng công cụ máy tính thể tích hình nón để tính thể tích của mỗi chiếc mũ hình nón.

0,45m = 45cm

$$Âm\ lượng = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,52^2 × 45 = 2650,7188014664 \ cm^3$$

Điều này có nghĩa là bạn có thể đựng được lượng bỏng ngô tương ứng vào chiếc hình nón vào cuối buổi tiệc.

khối lập phương

Chắc hẳn ai cũng đã từng cơ hội chơi trò xoay khối Rubik rồi phải không?

Đây là một hình khối có 8 đỉnh và 6 cạnh bằng nhau. Thể tích của một khối lập phương chỉ phụ thuộc vào độ dài cạnh của nó (a).

$$V_{khối\ lập\ phương}=a^3$$

Chúng tôi quyết định mua 30 khối Rubik cho trung tâm phát triển để trẻ em có thể cải thiện khả năng tư duy của mình. Chúng tôi đến cửa hàng và tìm thấy những khối lập phương với thiết kế và giá cả phù hợp. Độ dài cạnh của hình lập phương là 5,7 centimet. Thật không may, tại cửa hàng chỉ có một chiếc hộp để xếp tất cả các hình lập phương để dễ dàng vận chuyển. Hộp có hình lập phương và có kích thước cạnh là 20 centimet. Liệu tất cả các khối lập phương của chúng tôi có vừa chiếc hộp đó không?

Thể tích của khối lập phương:

$$Âm\ lượng = 5,7³ = 185,19\ cm³$$

Tổng thể tích của 30 khối lập phương

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ cm³$$

Thể tích của chiếc hộp:

$$Âm\ lượng = 20³ = 8.000\ cm³$$

Chúng ta so sánh thể tích của 30 hình lập phương với thể tích của chiếc hộp..

$$5,555.7 < 8.000$$

Và kết quả là các khối lập phương có thể đề vừa vặn trong hộp.

Hình trụ

Một hình trụ là một lăng trụ có một đáy tròn đồng nhất, bạn có thể tưởng tượng như có nhiều hình tròn được đặt chồng lên nhau để tạo thành hình khối này. Giống như hình nón, các thuộc tính của hình trụ được xác định bởi bán kính của hình tròn (r) và chiều cao từ bề mặt dưới đến bề mặt trên của hình trụ (h). Ta có thể tính thể tích của một hình trụ như sau:

$$V_{hình\ trụ}=π r^2h$$

Hãy tính thể tích của một cây nến hình trụ trang trí để thợ thủ công có thể hiểu được họ sẽ cần bao nhiêu parafin để làm nó. Do đó, chiều cao cây nến của chúng ta sẽ là 15 centimet và đường kính là 8 centimet. Từ đường kính, chúng ta có thể tính toán được bán kính, sẽ là 4 centimet. Vậy nên chúng ta có:

$$Âm\ lượng = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98223686155\ cm^3$$

Hình hộp chữ nhật

Hình hộp chữ nhật là một biến thể của hình lập phương với tất cả các cạnh vuông góc với nhau, nhưng có chiều dài khác nhau. Khối hình học này được xác định bởi chiều dài (l) và chiều rộng (w), đại diện cho hình chữ nhật trong không gian hai chiều, cùng với chiều cao (h) được tạo ra mở rộng không gian ba chiều của hình chữ nhật. Do đó, thể tích của hình hộp hình chữ nhật có thể được tính như sau:

$$V_{bể\ hình\ chữ\ nhật}=l × w × h$$

Một ví dụ phổ biến của hình hộp chữ nhật là container vận chuyển hàng hóa. Các kích thước chuẩn ISO của container vận chuyển hàng hóa là:

• Chiều rộng = 2,43 m
• Chiều cao = 2,59 m
• Chiều dài = 6,06 m or 12,2 m

Vì các kích thước cạnh theo tiêu chuẩn theo ISO, nên thể tích cũng theo tiêu chuẩn đó. Hãy tiếp tục và điền số đo vào máy tính thể tích hình hộp chữ nhật để tìm thể tích. Thực hiện phép tính cho cả hai giá trị chiều dài 6,06 m và 12,2 m.

$$Âm\ lượng = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ m³$$

và

$$Âm\ lượng = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ m³$$

Khối hình ba chiều phức tạp hơn

Chúng ta có thể kết hợp các khối hình học khác với các khối hình học cơ bản. Thể tích của hình này là bao nhiêu?

Chúng ta thấy khối hình được tạo thành từ một hình trụ và một hình nón ở trên. Do đó, chúng ta có thể nói thể tích của khối hình này bằng tổng thể tích của hình trụ và thể tích của hình nón:

$$V_{sự\ vật}=V_{hình\ trụ}+V_{hình\ nón}$$

Cả hình trụ và hình nón đều có đường kính 4cm. Như vậy, chúng ta có thể nói rằng

$$r_{hình\ trụ}=r_{hình\ nón}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Hơn nữa,

$$h_{sự\ vật}=h_{hình\ trụ}+h_{hình\ nón}$$

Cho rằng

$$h_{sự\ vật}=10\ cm$$

và

$$h_{hình\ nón}=3\ cm$$

Chúng ta có thể giải thích điều đó

$$h_{hình\ trụ}=7\ cm$$

Bây giờ chúng ta có thể điền các giá trị vào máy tính thể tích như sau:

$$V_{sự\ vật}=V_{hình\ trụ}+V_{hình\ nón}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{sự\ vật}=100,52\ cm^3$$

Ví dụ này sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về các dạng hình học sắp tới mà máy tính thể tích có thể hỗ trợ.

Viên nang

Viên nang là một trong những dạng thuốc y tế phổ biến nhất. Người dùng có thể sử dụng ví dụ trước để hiểu rằng, hình nang bao gồm một hình trụ có hai bán cầu ở trên hai mặt đối diện.

Hai bán cầu có thể ghép lại thành một hình cầu và chúng ta có thể nói rằng thể tích của viên nang bằng tổng thể tích của hình trụ và thể tích của hình cầu.

$$V_{viên\ con\ nhộng} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Trong đó r là bán kính và h là chiều cao của phần hình trụ.

Nhờ máy tính thể tích viên nang, bạn không cần phải tính thể tích của hình trụ và cộng với thể tích của hình cầu. Người dùng có thể nhập trực tiếp chiều cao và bán kính, sau đó máy tính sẽ tính ra thể tích của viên nang cho bạn.

Các nhà khoa học dược phẩm đã phân tích, phát triển và sản xuất thuốc luôn cố gắng tìm ra cách tăng thể tích của viên nang. Viên nang sẽ chứa lượng thuốc cần thiết trong mỗi viên, vì vậy các nhà khoa học thay đổi kích thước của viên nang (chiều cao và bán kính) để điều chỉnh thể tích cho phù hợp.

Hình vòm cầu

Ví dụ trước đề cập đến bán cầu là một nửa của một khối hình cầu. Trong khi đó, khối vòm cầu là được tạo ra khi cắt khối hình cầu bởi một mặt phẳng. Bán cầu là một trường hợp đặc biệt của hình vòm cầu khi khối cầu được chia thành hai phần bằng nhau. Do đó, thể tích của một bán cầu bằng một nửa thể tích của một khối hình cầu. Hình dưới đây là một ví dụ về một hình vòm cầu trong đó (r) là bán kính của đáy, (R) là bán kính của hình cầu và (h) là chiều cao của hình vòm cầu. Có một mối quan hệ giữa các biến này. Vì vậy, chỉ cần biết hai trong số các giá trị này là đủ để tính giá trị thứ ba.

• Biết r và R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Biết r và h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Biết R và h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

Trong đó:

• r là bán kính đáy,
• R là bán kính hình cầu,
• h là chiều cao của hình vòm cầu.

Thể tích của một hình vòm cầu có thể được tính như sau:

$$V_{mũ\ hình\ cầu}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

Chỉ cần nhập hai trong ba biến của hình vòm cầu là đủ. Ví dụ, giả sử R = 1m và r = 0,25m, công cụ máy tính này sẽ tìm ra hai thể tích có thể có; 0,00313 m³ và 4,1856 m³. Tại sao lại như vậy?

Như đã biết

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

chúng ta có thể thấy rằng khi cho các giá trị của r và r, h có thể có hai giá trị

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

và

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Điều này giải thích việc vì sao có hai giá trị thể tích khác nhau khi sử dụng $h_1$ và $h_2$.

Ngoài ra, bất đẳng thức R ≥ r phải luôn giữ nguyên, nếu không máy tính sẽ trả về thông báo lỗi cho biết "bán kính đáy của hình vòm cầu không thể lớn hơn bán kính quả cầu". Lỗi này hữu ích trong trường hợp người dùng bị lẫn lộn các giá trị R và r.

Hình nón cụt

Chúng ta có thể có được hình khối này bằng cách cắt một hình nón với mặt cắt ngang song song với bề mặt hình tròn của đáy. Việc này tạo ra hai bề mặt tròn và song song với nhau.

Thể tích hình nón cụt có thể được tính như sau:

$$V_{hình\ nón\ cụt}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Trong đó H là chiều cao giữa tâm của bề mặt dưới và bề mặt trên, r là bán kính đáy trên và R là bán kính đáy dưới, và R ≥ r.

Hình dung bạn đến một cửa hàng bánh ngọt và thấy một chiếc bánh lava có ghi rằng nó chứa 35% là Socola tan chảy.

Nếu bạn là một người yêu thích toán học và muốn chuyển trường hợp này thành một bài toán, bạn có thể quan tâm đến thể tích của Socola bên trong chiếc bánh. Hãy đo bán kính trên và dưới, cùng với chiều cao của chiếc bánh để tính toán thể tích của cả chiếc bánh.

Nếu các số liệu là r = 16 cm, R = 20 cm và h = 10 cm.

Sau đó, chúng ta có thể tìm thấy thể tích của chiếc bánh bằng cách điền các giá trị vào máy tính thể tích hình nón cụt.

$$Âm\ lượng=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ cm^3$$

Bên cạnh đó, 35% của 10.220,65 cm³ là khoảng 3.577,23 cm³ Socola.

Ellipsoid (Hình bầu dục)

Khi một quả cầu bị biến dạng theo hướng nhất định, nó tạo ra một khối hình được biết đến là ellipsoid. Người ta có thể nghĩ về một hình ellipsoid như là một quả cầu bị kéo ra, trong đó các khoảng cách giữa trung tâm của ellipsoid và các điểm khác nhau trên bề mặt là không bằng nhau.

Do đó, ellipsoid có ba trục và thể tích của ellipsoid được xác định dựa với bán kính từ tâm đến mỗi trục này. Ba giá trị bán kính được ký hiệu là a, b và c.

Chúng ta luôn nghĩ về các hình cầu tròn bất cứ khi nào chúng ta nói về những quả bóng, nhưng những quả bóng Ellipsoid cũng có ngoài đời thực đấy! Hãy nhìn vào quả bóng bóng bầu dục. Giả sử rằng các kích thước là a = 9,3 cm, b = 9,3 cm và c = 14,3 cm.

Thể tích của elipsoid được tính như sau:

$$V_{ellipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

Thứ tự của a, b và c không quan trọng; có thể theo thứ tự bất kỳ.

Sử dụng máy tính thể tích ellipsoid, chúng ta có thể nhận được thể tích quả bóng bầu dục của chúng ta.

$$Âm lượng=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,7250468112 \ cm^3$$

Hình chóp vuông

Khi nói đến hình chóp có thể khiến bạn nghĩ về các kim tự tháp cổ của Ai Cập. Một hình chóp vuông bao gồm một đáy và một đỉnh hình vuông, trong đó các điểm trên cạnh của hình vuông ở đáy được nối với các điểm của hình vuông ở đỉnh của nó. Thể tích có thể được tính là:

$$V_{kim\ tự\ tháp\ vuông}=\frac{1}{3}a^2h$$

Với a là cạnh của đáy hình vuông và h là chiều cao từ tâm của đáy hình vuông đến đỉnh.

Thực hiện tính toán thể tích của kim tự tháp Khufu theo kích thước được xây dựng: h = 146,6 mét và a = 230,33 mét như sau:

$$Âm lượng=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2.592.469,9482467\ m^3$$

Đường ống

Khác với hình trụ, đường ống có đường kính ngoài và đường kính trong. Do đó, thể tích của đường ống phải tính đến sự chênh lệch về đường kính.

$$V_{ống}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Như bạn đã đoán, d₁ và d₂ tương ứng là đường kính bên ngoài và bên trong của ống. l là chiều dài của đường ống.

Hãy sử dụng công thức ở trên để tính thể tích của chiếc ống bê tông cho cái giếng mà chúng ta sẽ đào trên khu đất trang trại. Chiều cao của đường ống là 0,89 mét, kích thước đường kính ngoài là 1,16 mét và đường kính trong là 1 mét.

Vì vậy, chúng ta có thể tính như sau:

$$Âm\ lượng=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ m^3$$