เครื่องคำนวนปริมาตร

วัตถุสามมิติทุกชนิดย่อมกินพื้นที่ในอวกาศ คุณสามารถนึกภาพตามได้ง่ายๆ จากพื้นที่ที่โทรศัพท์มือถือครอบครองเมื่อวางอยู่บนโต๊ะ ถังเก็บน้ำที่ตั้งอยู่ข้างบ้าน หรือแม้แต่ลูกฟุตบอลที่กลิ้งอยู่บนสนาม

เราสามารถให้คำจำกัดความของ ปริมาตร (Volume) ได้ว่าคือปริมาณของพื้นที่ว่างที่วัตถุนั้นๆ ครอบครองอยู่ นอกจากนี้ ปริมาตรยังหมายถึง ความจุ (Capacity) ของวัตถุได้อีกด้วย แทนที่จะคิดถึงแค่พื้นที่ที่ถังน้ำตั้งอยู่ในโรงรถ เราสามารถมองไปถึงความจุหรือปริมาณน้ำสูงสุดที่ถังใบนั้นสามารถกักเก็บเอาไว้ได้

การคำนวณปริมาตรเป็นทักษะที่ถูกนำไปใช้อย่างแพร่หลายในหลากหลายสาขาวิชา ทั้งในด้านวิทยาศาสตร์ คณิตศาสตร์ วิศวกรรมศาสตร์ และในชีวิตประจำวัน

เครื่องคำนวณปริมาตร (Volume Calculator) ของเรารองรับหน่วยการวัดที่หลากหลาย เพื่อให้การคำนวณหาปริมาตรเป็นเรื่องง่ายและแม่นยำที่สุด นอกจากนี้ เครื่องคิดเลขยังแสดงสูตรหาปริมาตรและขั้นตอนการคำนวณแบบทีละขั้นตอนอย่างละเอียด บทความนี้จะให้คำอธิบายที่เข้าใจง่ายและครอบคลุมเกี่ยวกับการใช้งานเครื่องคำนวณปริมาตร พร้อมทั้งสูตรและตัวอย่างการใช้งานจริงในชีวิตประจำวัน

หน่วยและการวัดปริมาตร

เพื่อให้การคำนวณมีความแม่นยำและเชื่อถือได้ เราจำเป็นต้องใช้หน่วยการวัดที่เป็นมาตรฐาน เพื่อความสม่ำเสมอในการสื่อสาร เราจึงต้องมีชุดหน่วยการวัดที่ได้รับการยอมรับในระดับสากล

หน่วยมาตรฐานสำหรับปริมาตรในระบบ SI (ระบบหน่วยสากล) คือ ลูกบาศก์เมตร (ม.³) อย่างไรก็ตาม สำหรับวัตถุที่มีขนาดเล็ก ปริมาตรสามารถระบุในหน่วยที่เล็กกว่าได้ เช่น ลูกบาศก์เซนติเมตร (ซม.³) หรือลูกบาศก์มิลลิเมตร (มม.³) ตามความเหมาะสมของขนาดวัตถุ

ในทางกลับกัน ผู้ใช้งานมีอิสระอย่างเต็มที่ในการเลือกใช้หน่วยวัดที่ตอบโจทย์การใช้งานของตนเองมากที่สุด เครื่องคำนวณปริมาตรของเรารองรับระบบการวัดหลักสองระบบ ได้แก่ ระบบเมตริก (Metric) และระบบอิมพีเรียล/หน่วยวัดของสหรัฐอเมริกา (Imperial/US units) โดยผู้ใช้สามารถเลือกระหว่างหน่วยต่างๆ ดังต่อไปนี้:

• กิโลเมตร
• เมตร
• เซนติเมตร
• มิลลิเมตร
• ไมโครเมตร
• นาโนเมตร
• อังสตรอม
• ไมล์
• หลา
• ฟุต
• นิ้ว

ตามหลักการแล้ว หากเราใช้สูตรหาปริมาตร เราจะต้องคำนวณด้วยหน่วยวัดที่เป็นระบบเดียวกัน ดังนั้น เราจึงมักจะต้องแปลงหน่วยการวัดทั้งหมดให้เป็นหน่วยเดียวกันก่อนเสมอ เพื่อให้การคำนวณง่ายและถูกต้อง

ตัวอย่างเช่น ลองคำนวณปริมาตรของทรงกระบอกที่มีความสูง 75 ซม. และมีรัศมี 0.5 ม. เราจะต้องแปลงความสูงให้เป็นเมตรแล้วคำนวณปริมาตรออกมาเป็นลูกบาศก์เมตร หรือแปลงรัศมีให้เป็นเซนติเมตรแล้วหาปริมาตรเป็นลูกบาศก์เซนติเมตร

แต่ลองจินตนาการดูว่า หากคุณกำหนดความสูงเป็นหน่วย "นิ้ว" และรัศมีเป็นหน่วย "นาโนเมตร" จะเป็นอย่างไร? ไม่ต้องกังวล! เครื่องคำนวณปริมาตรของเราจะจัดการแปลงหน่วยเหล่านี้ให้โดยอัตโนมัติ พร้อมแสดงขั้นตอนต่างๆ ให้คุณเห็นอย่างชัดเจน

ด้วยเครื่องมือนี้ ผู้ใช้งานสามารถเลือกหน่วยวัดที่แตกต่างกันสำหรับค่าอินพุตแต่ละรายการได้อย่างอิสระ จากนั้นเครื่องคำนวณสูตรปริมาตรจะจัดการคำนวณให้คุณทันที

ลองพิจารณาตัวอย่างที่เรามีทรงกระบอกความสูง 5 นิ้ว และรัศมี 10,506,070 นาโนเมตร เพียงแค่เข้าไปที่ส่วนเครื่องคำนวณปริมาตรทรงกระบอก แล้วป้อนค่ารัศมีและความสูงพร้อมเลือกหน่วยที่ถูกต้องจากเมนูแบบเลื่อนลง

เครื่องคิดเลขจะแสดงผลลัพธ์ปริมาตรออกมาเป็น 2.6874044006564 นิ้ว³ (ลูกบาศก์นิ้ว) และ 4.4038667907438E+22 นาโนเมตร³ (ลูกบาศก์นาโนเมตร) ทำไมถึงเป็นเช่นนั้น? นั่นเป็นเพราะเครื่องคิดเลขจะอ้างอิงจากหน่วยการวัดที่เราใช้ป้อนข้อมูลเข้าไป และคาดเดาว่าเราต้องการผลลัพธ์ในหน่วยใดหน่วยหนึ่งเหล่านั้น ทำให้การหาปริมาตรทรงกระบอกนี้แสดงวิธีคำนวณถึงสองรูปแบบพร้อมการแปลงหน่วยที่เสร็จสรรพ!

เครื่องคำนวณปริมาตร: รูปทรง คุณสมบัติ และตัวอย่างการใช้งาน

วิธีการคำนวณปริมาตรจะแตกต่างกันไปตามลักษณะของรูปทรง รูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานบางชนิดสามารถใช้สูตรคณิตศาสตร์มาตรฐานในการคำนวณได้โดยตรงจากคุณสมบัติ เช่น ความยาวขอบ หรือรัศมี

ในขณะที่รูปทรงเรขาคณิตอื่นๆ อาจมีความซับซ้อนมากกว่า และไม่สามารถคำนวณปริมาตรได้โดยตรง ในกรณีเหล่านั้น จะต้องใช้วิธีการคำนวณขั้นสูง เช่น การอินทิเกรต (Integration) หรือวิธีไฟไนต์เอลิเมนต์ (Finite Element Method) อย่างไรก็ตาม เครื่องคำนวณปริมาตรของเราถูกออกแบบมาให้รองรับวัตถุและรูปทรงที่หลากหลายเพื่อตอบโจทย์ทุกการคำนวณของคุณ

ทรงกลม (Sphere)

ทรงกลมเปรียบเสมือนวงกลมในรูปแบบสามมิติ ตัวอย่างของทรงกลมในชีวิตประจำวัน ได้แก่ ลูกบอลรูปทรงกลมทุกชนิด (เช่น ลูกเบสบอล ลูกบาสเกตบอล ฯลฯ) สูตรหาปริมาตรของทรงกลมคือ:

$$V_{ทรงกลม}=\frac{4}{3}π r^3$$

จากสูตร เราจะเห็นได้ว่าปริมาตรของทรงกลมขึ้นอยู่กับ "รัศมี" (r) ของทรงกลมเพียงอย่างเดียว รัศมีคือระยะทางจากจุดศูนย์กลางของทรงกลมไปยังจุดใดๆ บนพื้นผิว หากลูกเบสบอลมีรัศมี r = 3.56 ซม. เราสามารถใช้เครื่องคำนวณปริมาตรทรงกลมเพื่อหาความจุได้ดังนี้:

$$ปริมาตร = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3.56^3 = 188.9899034802 \ เซนติเมตร^3$$

กรวย (Cone)

กรวยเป็นรูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่ประกอบด้วยฐานวงกลมและจุดยอด (Apex) โดยจุดทุกจุดบนเส้นรอบวงของฐานจะเชื่อมต่อกับจุดยอดด้วยส่วนของเส้นตรง เราสามารถระบุคุณสมบัติของกรวยได้ด้วยการวัดสองค่าหลัก ได้แก่ รัศมีของฐานวงกลม (r) และความสูงจากจุดศูนย์กลางของฐานไปยังจุดยอด (h)

ปริมาตรของกรวยสามารถคำนวณได้ตามสูตรดังนี้:

$$V_{กรวย}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

โดยที่ r คือรัศมี และ h คือความสูงของกรวย

สมมติว่าคุณกำลังจัดงานปาร์ตี้วันเกิดและต้องการทำหมวกปาร์ตี้รูปทรงกรวยด้วยตัวเอง ซึ่งหมวกนี้จะถูกนำมาใช้เป็นที่ใส่ป๊อปคอร์นในช่วงกลางคืน

หากคุณตัดสินใจทำหมวกทรงกรวยที่มีรัศมี 7.5 ซม. และมีความสูง 0.45 ม. คุณสามารถใช้เครื่องคำนวณปริมาตรกรวยเพื่อหาความจุของหมวกแต่ละใบได้ (อย่าลืมแปลงหน่วย!)

0.45 เมตร = 45 เซนติเมตร

$$ปริมาตร = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7.5^2 × 45 = 2650.7188014664 \ เซนติเมตร^3$$

ซึ่งผลลัพธ์นี้หมายความว่า คุณจะสามารถใส่ป๊อปคอร์นลงในกรวยได้ในปริมาณนี้เมื่อถึงเวลาปาร์ตี้

ลูกบาศก์ (Cube)

ใครบ้างที่ไม่เคยเล่นลูกบิดรูบิค?

ลูกบาศก์คือวัตถุทางเรขาคณิตที่มี 8 จุดยอดและมี 6 ด้านที่เท่ากันทุกประการ ในขณะที่รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสมีขอบที่เท่ากัน 4 ขอบ ลูกบาศก์จะมีขอบที่เท่ากันถึง 12 ขอบ ดังนั้น ปริมาตรของลูกบาศก์จึงขึ้นอยู่กับความยาวด้านของลูกบาศก์ (a) เพียงอย่างเดียว

$$V_{ลูกบาศก์}=a^3$$

ลองนึกภาพว่าเราตัดสินใจซื้อลูกบิดรูบิค 30 ลูกให้กับศูนย์พัฒนาการเด็ก เพื่อให้เด็กๆ ได้ฝึกฝนทักษะทางปัญญา เราไปที่ร้านและพบลูกบิดที่ตอบโจทย์ทั้งด้านดีไซน์และราคา โดยความยาวด้านของลูกบิดคือ 5.7 เซนติเมตร แต่โชคไม่ดีที่พนักงานขายมีกล่องกระดาษเพียงใบเดียวสำหรับใส่ลูกบิดทั้งหมดเพื่อให้ขนกลับได้ง่าย กล่องใบนั้นเป็นทรงลูกบาศก์ที่มีความยาวด้านละ 20 เซนติเมตร คำถามคือ ลูกบิดรูบิคทั้ง 30 ลูกจะใส่ลงในกล่องใบนี้ได้พอดีหรือไม่?

ปริมาตรของลูกบาศก์ (รูบิค 1 ลูก):

$$ปริมาตร = 5.7³ = 185.19\ เซนติเมตร³$$

ปริมาตรรวมของลูกบิดรูบิค 30 ลูก จะเท่ากับ:

$$185.19 × 30 = 5,555.7\ เซนติเมตร³$$

ปริมาตรของกล่อง:

$$ปริมาตร = 20³ = 8,000\ เซนติเมตร³$$

เมื่อเราเปรียบเทียบปริมาตรรวมของลูกบิดรูบิคทั้ง 30 ลูก กับปริมาตรความจุของกล่อง:

$$5,555.7 < 8,000$$

ปรากฏว่าปริมาตรของลูกบิดทั้งหมดน้อยกว่าความจุของกล่อง ดังนั้นลูกบิดรูบิคทั้งหมดจะสามารถใส่ลงในกล่องได้พอดี!

ทรงกระบอก (Cylinder)

ทรงกระบอกคือปริซึมทางเรขาคณิตที่มีฐานเป็นวงกลมที่สม่ำเสมอกัน เปรียบเสมือนการนำวงกลมหลายๆ วงมาวางซ้อนทับกันจนเกิดเป็นรูปทรงสามมิติ เช่นเดียวกับกรวย คุณสมบัติของทรงกระบอกถูกกำหนดโดยรัศมีของวงกลมฐาน (r) และความสูงจากพื้นผิวด้านล่างถึงพื้นผิวด้านบนของทรงกระบอก (h) เราสามารถคำนวณปริมาตรของทรงกระบอกได้ด้วยสูตร:

$$V_{ทรงกระบอก}=π r^2h$$

ลองมาคำนวณปริมาตรของเทียนหอมทรงกระบอก เพื่อให้ช่างทำเทียนทราบว่าจะต้องใช้พาราฟินมากแค่ไหน เทียนของเราต้องการให้มีความสูง 15 เซนติเมตร และมีเส้นผ่านศูนย์กลาง 8 เซนติเมตร จากค่าเส้นผ่านศูนย์กลาง เราสามารถหารัศมีได้ซึ่งจะเท่ากับ 4 เซนติเมตร ดังนั้นเราจะคำนวณได้ดังนี้:

$$ปริมาตร = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753.98223686155\ เซนติเมตร^3$$

ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉาก (Rectangular Tank)

ถังทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากมีลักษณะคล้ายลูกบาศก์ที่ขอบทุกด้านตั้งฉากกัน แต่ความยาวของขอบไม่จำเป็นต้องเท่ากันทั้งหมด วัตถุทางเรขาคณิตนี้ถูกกำหนดโดย ความยาว (l) และความกว้าง (w) ซึ่งประกอบเป็นฐานสี่เหลี่ยมผืนผ้าแบบสองมิติ และเมื่อเพิ่มความสูง (h) เข้าไปก็จะเป็นการสร้างมิติที่สาม ดังนั้น ปริมาตรของถังทรงสี่เหลี่ยมสามารถเขียนเป็นสูตรได้ดังนี้:

$$V_{ถังสี่เหลี่ยม}=l × w × h$$

ตัวอย่างที่เป็นสากลที่สุดของถังทรงสี่เหลี่ยมคือ "ตู้คอนเทนเนอร์" (Shipping Container) ขนาดมาตรฐาน ISO ของตู้คอนเทนเนอร์มีดังนี้:

• ความกว้าง = 2.43 ม.
• ความสูง = 2.59 ม.
• ความยาว = 6.06 ม. (ตู้ 20 ฟุต) หรือ 12.2 ม. (ตู้ 40 ฟุต)

เนื่องจากขนาดเหล่านี้เป็นมาตรฐานตามข้อกำหนด ISO ปริมาตรจึงเป็นมาตรฐานเช่นเดียวกัน คุณสามารถนำหน่วยวัดเหล่านี้ไปใส่ในเครื่องคำนวณปริมาตรถังสี่เหลี่ยมเพื่อหาผลลัพธ์ได้ทันที ลองมาคำนวณความจุของตู้ทั้งความยาว 6.06 ม. และ 12.2 ม. กัน

ตู้ขนาด 6.06 เมตร: $$ปริมาตร = 6.06 × 2.43 × 2.59 = 38.139822\ เมตร³$$

ตู้ขนาด 12.2 เมตร: $$ปริมาตร = 12.2 × 2.43 × 2.59 = 76.78314\ เมตร³$$

รูปทรงเรขาคณิตสามมิติที่ซับซ้อนมากขึ้น

ในบางครั้ง เราอาจพบเจอวัตถุที่มีการผสมผสานรูปทรงเรขาคณิตพื้นฐานเข้าด้วยกัน แล้วรูปทรงแบบนี้จะมีปริมาตรเท่าใด?

จากรูป เราจะเห็นได้ว่าวัตถุนั้นประกอบด้วยทรงกระบอกเป็นฐานและมีกรวยวางซ้อนอยู่ด้านบน ดังนั้น เราสามารถสรุปได้ว่าปริมาตรของวัตถุชิ้นนี้ คือผลรวมของปริมาตรทรงกระบอกและปริมาตรของกรวย:

$$V_{วัตถุ}=V_{กระบอก}+V_{กรวย}$$

ทั้งทรงกระบอกและกรวยมีเส้นผ่านศูนย์กลางเท่ากันคือ 4 ซม. ดังนั้นเราจึงได้รัศมีดังนี้:

$$r_{กระบอก}=r_{กรวย}=\frac{4}{2}=2\ เซนติเมตร$$

นอกจากนี้

$$h_{วัตถุ}=h_{กระบอก}+h_{กรวย}$$

หากกำหนดให้

$$h_{วัตถุ}=10\ เซนติเมตร$$

และ

$$h_{กรวย}=3\ เซนติเมตร$$

เราสามารถตีความและหาความสูงของทรงกระบอกได้ว่า:

$$h_{กระบอก}=7\ เซนติเมตร$$

เมื่อได้ตัวแปรครบถ้วนแล้ว ตอนนี้เราสามารถแทนค่าลงในสูตรเพื่อหาปริมาตรได้ดังนี้:

$$V_{วัตถุ}=V_{กระบอก}+V_{กรวย}=87.96\ เซนติเมตร^3+12.56\ เซนติเมตร^3$$

$$V_{วัตถุ}=100.52\ เซนติเมตร^3$$

ตัวอย่างนี้จะช่วยปูพื้นฐานให้คุณเข้าใจแนวคิดของรูปทรงเรขาคณิตแบบซ้อนทับ ซึ่งเครื่องคำนวณปริมาตรของเราสามารถรองรับการคำนวณได้อย่างมีประสิทธิภาพ

แคปซูล (Capsule)

แคปซูลเป็นหนึ่งในรูปแบบของยาเม็ดทางการแพทย์ที่พบได้บ่อยที่สุด จากตัวอย่างก่อนหน้านี้ คุณคงพอมองออกว่าโครงสร้างของแคปซูลนั้น ประกอบไปด้วยทรงกระบอกตรงกลาง และมีรูปทรงครึ่งทรงกลม (Hemisphere) ปิดอยู่ที่ปลายทั้งสองด้าน

เมื่อนำครึ่งทรงกลมทั้งสองด้านมาประกบกันก็จะได้เป็นทรงกลมหนึ่งลูกพอดี ดังนั้น เราสามารถกล่าวได้ว่าปริมาตรของแคปซูลคือผลรวมของปริมาตรทรงกระบอกบวกกับปริมาตรของทรงกลม

$$V_{แคปซูล} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

โดยที่ r คือรัศมี และ h คือความสูงของส่วนที่เป็นทรงกระบอกตรงกลาง

แต่ด้วยเครื่องคำนวณปริมาตรแคปซูลของเรา คุณไม่จำเป็นต้องเสียเวลาแยกคำนวณทรงกระบอกและทรงกลมแล้วนำมาบวกกันอีกต่อไป ผู้ใช้สามารถป้อนค่าความสูงและรัศมีเข้าไปได้โดยตรง แล้วเครื่องคิดเลขจะประมวลผลปริมาตรรวมของแคปซูลให้ทันที

นักวิทยาศาสตร์และเภสัชกรที่ทำหน้าที่คิดค้นและผลิตยามักจะต้องคำนวณหาปริมาตรของแคปซูลที่เหมาะสมอยู่เสมอ แคปซูลแต่ละเม็ดควรสามารถบรรจุตัวยาได้ในปริมาณที่กำหนดพอดี ดังนั้นพวกเขาจึงต้องปรับขนาดของแคปซูล (ความสูงและรัศมี) เพื่อให้ได้ปริมาตรความจุที่ตรงตามมาตรฐานทางการแพทย์

หมวกทรงกลม (Spherical Cap)

ในตัวอย่างที่แล้วเราเรียกครึ่งหนึ่งของทรงกลมว่า ครึ่งทรงกลม (Hemisphere) ในทางเรขาคณิต หมวกทรงกลม (Spherical Cap) คือส่วนของทรงกลมที่ถูกตัดออกด้วยระนาบเส้นตรง โดยครึ่งทรงกลมนั้นถือเป็นกรณีพิเศษของหมวกทรงกลมที่เกิดจากการผ่าครึ่งทรงกลมออกเป็นสองส่วนเท่าๆ กัน (ปริมาตรของครึ่งทรงกลมจึงเท่ากับครึ่งหนึ่งของปริมาตรทรงกลมเต็ม)

ภาพด้านล่างแสดงตัวอย่างของหมวกทรงกลม โดยกำหนดให้ (r) คือรัศมีของฐานที่ถูกตัด, (R) คือรัศมีของทรงกลมเดิม และ (h) คือความสูงของหมวกทรงกลม ตัวแปรทั้งสามนี้มีความสัมพันธ์กันอย่างใกล้ชิด หากเราทราบค่าเพียงสองค่า ก็เพียงพอที่จะคำนวณหาค่าที่สามได้เสมอ

• เมื่อทราบ r และ R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• เมื่อทราบ r และ h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• เมื่อทราบ R และ h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

โดยที่:

• r คือรัศมีของฐานหมวกทรงกลม
• R คือรัศมีของทรงกลมดั้งเดิม
• h คือความสูงของหมวกทรงกลม

เราสามารถคำนวณสูตรปริมาตรของหมวกทรงกลมได้ดังนี้:

$$V_{หมวกทรงกลม}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

ในเครื่องคำนวณของเรา คุณเพียงแค่ป้อนตัวแปร 2 ใน 3 ค่าก็เพียงพอแล้ว ตัวอย่างเช่น สมมติว่า R = 1 ม. และ r = 0.25 ม. เครื่องคำนวณจะแสดงผลลัพธ์ปริมาตรที่เป็นไปได้สองค่าคือ 0.00313 ม.³ และ 4.1856 ม.³ ทำไมถึงมีสองคำตอบ?

ให้เราย้อนกลับไปดูความสัมพันธ์นี้:

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

เราจะเห็นได้ว่าเมื่อกำหนดค่า R และ r ลงไป ค่า h สามารถให้ผลลัพธ์ได้สองรูปแบบเนื่องจากเครื่องหมาย ±

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

และ

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

นี่คือเหตุผลว่าทำไมถึงมีค่าปริมาตรที่แตกต่างกันสองค่า เมื่อใช้ความสูง $h_1$ และ $h_2$ ในการคำนวณ

ข้อควรระวัง: เงื่อนไขอสมการ R ≥ r จะต้องเป็นจริงเสมอ มิฉะนั้นเครื่องคำนวณจะแสดงข้อความแสดงข้อผิดพลาดว่า "รัศมีฐานต้องไม่ใหญ่กว่ารัศมีลูกบอล" (Base radius cannot be larger than sphere radius) ระบบแจ้งเตือนนี้มีประโยชน์อย่างมากในกรณีที่ผู้ใช้งานเผลอป้อนค่า R และ r สลับกัน

ฟรัสดัมทรงกรวย (Conical Frustum)

รูปทรงฟรัสดัม (Frustum) หรือ กรวยยอดตัด เกิดจากการนำกรวยมาตัดส่วนยอดออกด้วยระนาบที่ขนานกับฐาน ทำให้เกิดพื้นผิววงกลมแบนๆ สองด้านที่ขนานกัน (ฐานบนและฐานล่าง)

เราสามารถหาปริมาตรของฟรัสดัมทรงกรวยได้จากสูตร:

$$V_{ฟรัสดัมทรงกรวย}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

โดยที่ h คือความสูงระหว่างจุดศูนย์กลางของฐานล่างและฐานบน, r คือรัศมีของพื้นผิวด้านบน และ R คือรัศมีของพื้นผิวด้านล่าง (ภายใต้เงื่อนไขว่า R ≥ r)

ลองนึกภาพว่าคุณแวะไปที่ร้านเบเกอรี่และเห็นเค้กช็อกโกแลตลาวา ที่ป้ายเขียนโปรโมทว่า "มีไส้ช็อกโกแลตเยิ้มๆ ถึง 35%"

หากคุณเป็นสายเนิร์ดคณิตศาสตร์และอยากเปลี่ยนสิ่งนี้ให้เป็นโจทย์คณิตศาสตร์สนุกๆ คุณอาจจะอยากรู้ว่าจริงๆ แล้วมีช็อกโกแลตอยู่กี่ลูกบาศก์เซนติเมตร คุณจึงวัดรัศมีด้านบน รัศมีด้านล่าง และความสูง เพื่อนำมาหาปริมาตรของเค้กทั้งก้อน

สมมติว่าค่าที่คุณวัดได้คือ r = 16 ซม., R = 20 ซม. และ h = 10 ซม.

เราสามารถหาปริมาตรเค้กได้ง่ายๆ เพียงป้อนค่าลงในเครื่องคำนวณปริมาตรฟรัสดัมทรงกรวย:

$$ปริมาตร=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220.648099679 \ เซนติเมตร^3$$

เมื่อได้ปริมาตรรวมแล้ว ไส้ช็อกโกแลต 35% ของ 10,220.65 ซม.³ ก็จะเท่ากับปริมาตรช็อกโกแลตประมาณ 3,577.23 ซม.³ นั่นเอง!

ทรงรี (Ellipsoid)

เมื่อทรงกลมถูกยืดหรือบีบอัดในทิศทางใดทิศทางหนึ่ง จะเกิดเป็นรูปทรงพื้นผิวที่เรียกว่า ทรงรี (Ellipsoid) คุณสามารถนึกภาพทรงรีว่าเป็นทรงกลมที่ถูกยืดออก ทำให้ระยะห่างระหว่างจุดศูนย์กลางของทรงรีไปยังจุดต่างๆ บนพื้นผิวมีความยาวไม่เท่ากัน

ด้วยเหตุนี้ ทรงรีจึงมีแกนอ้างอิงถึง 3 แกน และปริมาตรของทรงรีจะถูกกำหนดโดยอ้างอิงจากรัศมีที่วัดจากจุดศูนย์กลางไปยังแกนแต่ละแกน ค่ารัศมีทั้งสามนี้มักจะถูกแทนด้วยตัวแปร a, b และ c

ทุกครั้งที่เราพูดถึง "ลูกบอล" เรามักจะนึกถึงลูกบอลทรงกลมสมบูรณ์แบบ แต่จริงๆ แล้วลูกบอลทรงรีก็มีอยู่เช่นกัน! ลองนึกถึงลูกรักบี้ (Rugby) ดูสิ สมมติว่าลูกรักบี้มีขนาดแกน a = 9.3 ซม., b = 9.3 ซม. และ c = 14.3 ซม.

ปริมาตรของทรงรีถูกกำหนดด้วยสูตร:

$$V_{ทรงรี}=\frac{4}{3}π abc$$

(หมายเหตุ: ลำดับการคูณของ a, b และ c ไม่สำคัญ คุณสามารถสลับตำแหน่งตัวแปรเหล่านี้ได้อย่างอิสระ)

เมื่อใช้เครื่องคำนวณปริมาตรทรงรี เราก็จะทราบปริมาตรความจุของลูกรักบี้ได้อย่างรวดเร็ว:

$$ปริมาตร=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9.3 × 9.3 × 14.3 = 5180.7250468112 \ เซนติเมตร^3$$

ปิรามิดสี่เหลี่ยมจัตุรัส (Square Pyramid)

เมื่อพูดถึงปิรามิด ภาพแรกที่หลายคนนึกถึงคงหนีไม่พ้นมหาพีระมิดโบราณแห่งอียิปต์ ปิรามิดฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัสประกอบด้วยฐานที่เป็นรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสและมียอดแหลม (Apex) โดยจุดทุกจุดบนเส้นรอบวงของฐานสี่เหลี่ยมจะเชื่อมต่อลากขึ้นไปยังจุดยอดนั้น ปริมาตรของปิรามิดสามารถคำนวณได้ดังนี้:

$$V_{ปิรามิดสี่เหลี่ยมจตุรัส}=\frac{1}{3}a^2h$$

โดยที่ a คือความยาวของขอบฐานสี่เหลี่ยมจัตุรัส และ h คือความสูงแนวดิ่งจากจุดศูนย์กลางของฐานขึ้นไปยังจุดยอด

หากเรานำมิติโครงสร้างดั้งเดิมของมหาพีระมิดแห่งคูฟู (Pyramid of Khufu) มาคำนวณ โดยมีความสูง h = 146.6 ม. และความยาวฐาน a = 230.33 ม. เราสามารถคำนวณหาปริมาตรของพีระมิดระดับโลกแห่งนี้ได้ดังนี้:

$$ปริมาตร=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230.33^2 × 146.6 = 2,592,469.9482467\ เมตร^3$$

ท่อ (Tube)

ท่อ (Tube) แตกต่างจากทรงกระบอกตันตรงที่ท่อมีความกลวงและมีเส้นผ่านศูนย์กลางสองค่า ได้แก่ เส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก และเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน ดังนั้น การหาปริมาตรของท่อ (ปริมาตรของเนื้อวัสดุที่สร้างเป็นท่อ) จึงต้องคำนึงถึงส่วนต่างของเส้นผ่านศูนย์กลางทั้งสองนี้ด้วย

$$V_{ท่อ}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

ดังที่คุณอาจจะเดาได้ d₁ และ d₂ คือเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอกและภายในของท่อตามลำดับ ส่วน l คือความยาวทั้งหมดของท่อ

ลองนำสูตรนี้มาใช้คำนวณปริมาตรของวงบ่อซีเมนต์ที่เรากำลังจะใช้ขุดบ่อน้ำที่บ้านสวนกันดู ความสูง (หรือความยาว l) ของวงบ่อคือ 0.89 เมตร มีเส้นผ่านศูนย์กลางภายนอก 1.16 เมตร และเส้นผ่านศูนย์กลางภายใน 1 เมตร

เมื่อแทนค่าในสูตร เราจะได้การคำนวณดังนี้:

$$ปริมาตร=π\frac{1.16^2-1^2}{4} × 0.89 = 0.076896 π = 0.24\ เมตร^3$$