Volume Rekenmachine

Elk driedimensionaal object neemt ruimte in beslag. Denk aan een smartphone op je bureau, een regenton in de tuin of een voetbal op het veld. Deze fysiek ingenomen ruimte noemen we het volume.

Volume kan echter ook verwijzen naar de inhoud of capaciteit van een object. Bij een regenton denken we bijvoorbeeld eerder aan het aantal liters water dat erin past, dan aan de pure ruimte die het object inneemt in de garage. Het accuraat kunnen berekenen van het volume (of de inhoud) is een onmisbare vaardigheid in talloze wetenschappelijke, bouwkundige en alledaagse toepassingen.

Onze veelzijdige volume calculator helpt je bij het snel en accuraat berekenen van het volume voor diverse geometrische vormen. Bovendien toont de tool niet alleen het eindresultaat, maar ook de gebruikte formule en een overzichtelijke, stapsgewijze berekening. In dit artikel leggen we de werking van onze inhoud calculator helder uit aan de hand van praktische voorbeelden.

Eenheden en metingen

Om berekeningen betrouwbaar, uniform en nauwkeurig te maken, gebruiken we gestandaardiseerde meeteenheden.

De officiële SI-eenheid (Internationaal Stelsel van Eenheden) voor volume is de kubieke meter (m³). Voor kleinere objecten gebruiken we doorgaans kleinere eenheden, zoals de kubieke centimeter (cm³) of de kubieke millimeter (mm³).

Uiteraard ben je vrij om de eenheid te kiezen die het beste bij jouw specifieke toepassing past. Onze volume calculator ondersteunt meerdere meetsystemen, waaronder het metrische stelsel en de Amerikaanse/imperiale maateenheden. Je kunt vrijuit kiezen uit de volgende eenheden:

• kilometers,
• meters,
• centimeters,
• millimeters,
• micrometers,
• nanometers,
• ångström,
• mijlen,
• yards,
• feet,
• inches.

Bij het handmatig gebruiken van formules is het cruciaal dat alle afmetingen in dezelfde meeteenheid staan. Vaak rekenen we daarom vooraf alle maten om naar één standaardeenheid om rekenfouten te voorkomen.

Stel dat je het volume van een cilinder berekent met een hoogte van 75 cm en een straal van 0,5 m. Je moet dan ofwel de hoogte omrekenen naar meters (voor een eindresultaat in kubieke meters), of de straal omrekenen naar centimeters (voor een resultaat in kubieke centimeters).

Maar wat als je de hoogte in inches en de straal in nanometers wilt invoeren? Onze handige calculator neemt dit complexe conversiewerk volledig uit handen en toont direct de juiste stappen. Je kunt voor elke ingevoerde waarde een andere eenheid selecteren in het dropdown-menu; de calculator rekent op de achtergrond alles feilloos om.

Laten we een voorbeeld nemen: een cilinder met een hoogte van 5 inch en een immense straal van 10.506.070 nanometer. Je navigeert naar onze cilinder volume calculator en voert deze waarden in.

De rekenmachine toont als resultaat zowel 2,6874044006564 inch³ (kubieke inch) als 4,4038667907438E+22 nanometer³ (kubieke nanometer). Waarom? Omdat dit de eenheden zijn die we in de invoer hebben gebruikt, gaat de tool er vanuit dat je het eindresultaat in een van deze eenheden wilt weten. De tool toont beide manieren om de berekening uit te voeren, inclusief de bijbehorende conversiestappen!

De volume calculator: Toepassingen, formules en voorbeelden

De manier waarop we volume berekenen verschilt per geometrische vorm. Veel standaard figuren gebruiken vaste wiskundige formules op basis van eigenschappen zoals lengte, hoogte of straal.

Voor zeer complexe 3D-vormen is direct berekenen niet altijd mogelijk. In dat geval worden geavanceerde wiskundige methoden gebruikt, zoals geometrische integratie of de eindige-elementenmethode. Onze volumerekenmachine ondersteunt echter een zeer breed scala aan standaard objecten. Hieronder lichten we ze toe.

Bol

Een bol is de driedimensionale versie van een perfecte cirkel; denk bijvoorbeeld aan een biljartbal of een basketbal. De formule voor het volume van een bol is:

$$V_{sphere}=\frac{4}{3}π r^3$$

Zoals je ziet, is de inhoud van een bol uitsluitend afhankelijk van de straal (r). De straal is de afstand vanaf het exacte middelpunt tot een willekeurig punt op het buitenoppervlak. Als een honkbal een straal heeft van r = 3,65 cm, kunnen we de bol volume calculator gebruiken om de inhoud te berekenen:

$$Volume = \frac{4}{3}πr^3 = \frac{4}{3} × π × 3,65^3 = 203,68882488692 \ centimeters^3$$

Kegel

Een kegel is een driedimensionale vorm met een platte cirkelvormige basis die taps toeloopt in één puntig uiteinde: de top. Alle punten op de buitenrand van de basiscirkel zijn in een rechte lijn verbonden met deze top. Je kunt een kegel definiëren aan de hand van twee variabelen: de straal van de basis (r) en de loodrechte hoogte (h) tussen het midden van de basis en de top.

Het volume van een kegel bereken je met deze formule:

$$V_{cone}=\frac{1}{3}{π r}^2h$$

Waarbij r de straal is en h de hoogte van de kegel.

Stel dat je een verjaardagsfeestje organiseert en zelf kegelvormige feesthoedjes van karton maakt, die je later op de avond wilt hergebruiken als popcornzakjes.

Als de hoedjes een straal hebben van 7,5 cm en een hoogte van 0,45 m, kun je onze kegel volume calculator gebruiken om exact te bepalen hoeveel er in één hoedje past. We zetten eerst de eenheden gelijk: 0,45 meter = 45 centimeter.

$$Volume = \frac{1}{3}πr^2h = \frac{1}{3} × π × 7,52^2 × 45 = 2650,7188014664 \ centimeters^3$$

Dit resultaat vertelt je precies hoeveel kubieke centimeter aan popcorn je aan het eind van het feest in elk hoorntje kwijt kunt.

Kubus

Wie heeft er vroeger niet eindeloos gepuzzeld met een Rubik's kubus?

Een kubus is een geometrisch object met 8 hoekpunten en 6 exact gelijke, vierkante zijvlakken. Het berekenen van het volume van een kubus is extreem eenvoudig en hangt uitsluitend af van de lengte van één zijde (a).

$$V_{cube}=a^3$$

Stel, we kopen 30 Rubik's kubussen voor een kinderopvang, zodat de kinderen hun ruimtelijk inzicht kunnen trainen. Elke kubus heeft een zijlengte van 5,7 centimeter. De winkelier geeft ons één grote vierkante kartonnen doos mee om ze in te vervoeren. Ook de transportdoos is perfect kubusvormig, met een zijlengte van 20 centimeter. Gaan al onze 30 kubussen in deze doos passen?

Het volume van één Rubik's kubus:

$$Volume = 5,7³ = 185,19\ centimeter³$$

Het totale volume voor de 30 kubussen is dan:

$$185,19 × 30 = 5.555,7\ centimeter³$$

Het volume van de transportdoos:

$$Volume = 20³ = 8,000\ centimeter³$$

We vergelijken het totale volume van de 30 kubussen met het volume van de doos:

$$5.555,7 < 8,000$$

De wiskunde spreekt voor zich: de kubussen passen qua volume moeiteloos in de transportdoos.

Cilinder

Een cilinder is een driedimensionaal figuur met twee evenwijdige, cirkelvormige vlakken (boven en onder) van exact dezelfde grootte. Denk aan een frisdrankblikje of een ronde kaars. De eigenschappen van een cilinder worden bepaald door de straal van het grondvlak (r) en de loodrechte hoogte (h) tussen het onderste en bovenste vlak. De formule voor het cilindervolume is:

$$V_{cilinder}=π r^2h$$

Laten we de inhoud van een massieve cilindrische kaars berekenen, zodat de kaarsenmaker precies weet hoeveel vloeibare paraffine hij moet smelten. De gewenste hoogte van onze kaars is 15 centimeter en de totale diameter is 8 centimeter. We weten dat de straal de helft van de diameter is, dus de straal is 4 centimeter. De som ziet er dan als volgt uit:

$$Volume = πr^2h = π × 4^2 × 15 = 240π = 753,98223686155\ centimeters^3$$

Rechthoekige tank

Een rechthoekige tank (of balk) is een object met zes rechthoekige zijvlakken. Denk aan een aquarium of een simpele opbergdoos. Dit object wordt gedefinieerd door een lengte (l), een breedte (w - van het Engelse width) en een hoogte (h). Het volume van deze rechthoekige vorm bereken je met de volgende eenvoudige formule:

$$V_{rectangular\ tank}=l × w × h$$

Een universeel bekend voorbeeld van een rechthoekige tank is de internationale zeecontainer. De standaard ISO-afmetingen voor deze containers zijn:

• Breedte = 2,43 m
• Hoogte = 2,59 m
• Lengte = 6,06 m of 12,2 m

Omdat de afmetingen door de ISO zijn gestandaardiseerd, staan de volumes ook vast. Vul deze maten in de rechthoekige tank calculator in om direct de inhoud in kubieke meters te berekenen voor beide lengtevarianten (6,06 m en 12,2 m):

$$Volume = 6,06 × 2,43 × 2,59 = 38,139822\ meters³$$

en

$$Volume = 12,2 × 2,43 × 2,59 = 76,78314\ meters³$$

Complexere driedimensionale geometrische vormen

In de praktijk zien we vaak dat basale geometrische vormen met elkaar worden gecombineerd tot complexere objecten. Kijk eens naar de onderstaande figuur; wat is hier het volume van?

We zien in één oogopslag dat dit object is opgebouwd uit een cilinder, met daar bovenop een kegel. Om het totale volume te berekenen, tellen we simpelweg het volume van de cilinder op bij het volume van de kegel:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}$$

Beide onderdelen (de cilinder en de kegel) hebben een gedeelde diameter van 4 cm. Dit betekent dat:

$$r_{cylinder}=r_{cone}=\frac{4}{2}=2\ cm$$

Voor de totale hoogte geldt:

$$h_{object}=h_{cylinder}+h_{cone}$$

Gegeven dat:

$$h_{object}=10\ cm$$

en

$$h_{cone}=3\ cm$$

kunnen we eenvoudig afleiden dat de hoogte van de cilinder moet zijn:

$$h_{cylinder}=7\ cm$$

We kunnen deze waarden nu invoeren in onze calculator, of de rekensom handmatig uitschrijven:

$$V_{object}=V_{cylinder}+V_{cone}=87,96\ cm^3+12,56\ cm^3$$

$$V_{object}=100,52\ cm^3$$

Dit principe van het opsplitsen in basisvormen helpt enorm bij het begrijpen van de complexere geometrische vormen die onze calculator ondersteunt.

Capsule

De capsulevorm is wereldwijd bekend als de standaardvorm voor medische pillen. Aan de hand van de vorige paragraaf kun je zien dat een capsule feitelijk bestaat uit een middelste cilinder met daaraan vast twee halve bollen op de uiteinden.

Als je deze twee halve bollen samenvoegt, vormen ze samen exact één perfecte bol. We kunnen dus concluderen dat de totale inhoud van een capsule gelijk is aan het volume van de cilinder plus het volume van één bol:

$$V_{capsule} = πr^2h + \frac{4}{3}πr^3 = πr^2(\frac{4}{3}r + h)$$

Waarbij r de straal is en h de hoogte (of lengte) van het middelste cilindrische gedeelte.

Dankzij onze capsule volume calculator hoef je niet langer de formules voor de bol en de cilinder apart op te lossen. Je voert simpelweg de straal en de cilinderhoogte in, en de tool berekent razendsnel het totale volume.

Voor farmaceutische bedrijven is dit van levensbelang. Een capsule moet precies de juiste, voorgeschreven hoeveelheid van een medicijn kunnen bevatten. Wetenschappers spelen met de afmetingen (straal en lengte) van het omhulsel om het volume exact af te stemmen op de benodigde dosering.

Bolvormige kap

Eerder spraken we over de halve bol. Een bolvormige kap (of bolkap) is de algemene term voor het deel van een bol dat overblijft wanneer deze door een recht vlak wordt "doorgesneden". De halve bol is dus simpelweg een specifiek type bolkap, namelijk het geval waarbij de snede de bol precies in twee gelijke helften verdeelt.

De illustratie hieronder toont een bolkap. Hierbij is (r) de straal van het snijvlak (de basis), (R) is de straal van de originele complete bol, en (h) is de hoogte van de kap zelf. Omdat er een direct wiskundig verband bestaat tussen deze drie variabelen, is het voldoende om slechts twee waarden te kennen om de derde te kunnen berekenen.

• Gegeven r en R; $h=R±\sqrt{R^2+r^2}$
• Gegeven r en h; $R=\frac{h^2+r^2}{2h}$
• Gegeven R en h; $r=\sqrt{2Rh\ -h^2}$

waarin:

• r de straal van de basis (het snijvlak) is,
• R de straal van de gehele bol is,
• h de hoogte van de bolkap is.

Het volume van een bolvormige kap bereken je zo:

$$V_{spherical\ cap}=\frac{1}{3}π h^2(3R-h)$$

In de tool is het voldoende om slechts twee van de drie variabelen in te voeren. Maar let op: stel dat je R = 1 m en r = 0,25 m invult, dan zal de rekenmachine twee mogelijke volumes geven: 0,00313 m³ en 4,1856 m³. Waar komen deze twee uitkomsten vandaan?

Als we kijken naar deze formule:

$$h=R±\sqrt{R^2+r^2}$$

Dan zien we het ± (plus/min) teken staan. Als we R en r opgeven, kan h dus twee verschillende waarden aannemen:

$$h_1=R+\sqrt{R^2+r^2}$$

en

$$h_2=R-\sqrt{R^2+r^2}$$

Dit resulteert logischerwijs in twee verschillende volumewaarden; de berekening geeft namelijk het volume van het kleine 'afgesneden' stukje, én het volume van het overgebleven grotere stuk van de bol.

Bovendien is er een belangrijke regel: R moet altijd groter zijn dan of gelijk zijn aan r (R ≥ r). Is de basisstraal groter dan de bolstraal, dan is de vorm onmogelijk en geeft de calculator een foutmelding. Dit is een handige check om te voorkomen dat je de R en r per ongeluk omdraait bij het invullen!

Afgeknotte kegel

Je krijgt een afgeknotte kegel (of conisch frustum) door bij een normale kegel de bovenste punt horizontaal - parallel aan het grondvlak - af te snijden. Het object dat overblijft heeft een platte, cirkelvormige boven- en onderkant die exact evenwijdig aan elkaar lopen. Het volume van een afgeknotte kegel bereken je als volgt:

$$V_{afgeknotte\ kegel}=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)$$

Waarbij h de loodrechte afstand is tussen het onderste en bovenste vlak, r de straal van het bovenste vlak en R de straal van het onderste vlak (waarbij geldt dat R ≥ r).

Stel je voor dat je dineert in een chique restaurant en je bestelt een lavacake, waarvan op het menu staat dat deze voor 35% uit vloeibare, warme chocolade bestaat.

Als echte wiskundefanaat zie je in dit toetje direct een wiskundig vraagstuk: hoeveel pure chocolade bevat dit taartje? De cake heeft de vorm van een afgeknotte kegel. Je meet het na en komt tot: r = 16 cm (bovenkant), R = 20 cm (onderkant) en een hoogte van h = 10 cm.

Je voert de waarden eenvoudig in de calculator in om de totale inhoud van het taartje te berekenen:

$$Volume=\frac{1}{3}π h(r^2+rR+R^2)=\frac{1}{3}π 10(16^2+16×20+20^2)= 10220,648099679 \ centimeters^3$$

Omdat 35% van de cake uit chocolade bestaat, berekenen we 35% van 10.220,65 cm³. Dit resulteert in ongeveer 3.577,23 kubieke centimeter aan verrukkelijke gesmolten chocolade!

Ellipsoïde

Wanneer een bolvormig object in één of meerdere richtingen wordt uitgerekt of platgedrukt, ontstaat er een vorm die we een ellipsoïde noemen. Zie het als een ovale, driedimensionale vorm, waarbij de afstanden vanaf het absolute middelpunt naar de buitenkant niet in elke richting gelijk zijn.

Een ellipsoïde heeft drie assen. Het volume wordt berekend op basis van de stralen vanaf het middelpunt over elk van deze drie assen. Deze drie straalwaarden worden aangeduid met a, b en c. Bij sportballen denken we al snel aan perfecte ronde bollen, maar ook ellipsvormige ballen zijn populair. Denk aan een rugbybal of een American football! Stel dat onze rugbybal de volgende afmetingen heeft: a = 9,3 cm, b = 9,3 cm en c = 14,3 cm.

Het volume van een ellipsoïde bereken je met de formule:

$$V_{ellipsoid}=\frac{4}{3}π abc$$

De volgorde waarin je a, b en c invoert heeft geen invloed op de uitkomst; je kunt deze waarden dus willekeurig invullen in de formule.

Met behulp van de ellipsoïde volume calculator bepalen we in een handomdraai de inhoud van onze rugbybal:

$$Volume=\frac{4}{3}π abc=\frac{4}{3}× π × 9,3 × 9,3 × 14,3 = 5180,7250468112 \ centimeters^3$$

Vierkante piramide

Wanneer je het woord piramide hoort, denk je ongetwijfeld direct aan de mysterieuze bouwwerken in het oude Egypte. Een vierkante piramide bestaat uit een vierkant grondvlak en een top, waarbij de vier hoekpunten van de basis met rechte lijnen verbonden zijn met die ene top. Het volume bereken je als volgt:

$$V_{squared\ pyramid}=\frac{1}{3}a^2h$$

Hierin is 'a' de lengte van een rand van de vierkante basis, en 'h' de loodrechte hoogte, gemeten van het exacte midden van het grondvlak recht omhoog tot aan de top.

Laten we als voorbeeld de majestueuze Piramide van Cheops (Khufu) nemen in zijn oorspronkelijke afmetingen: h = 146,6 m en a = 230,33 m. Het immense volume van dit wereldwonder berekenen we zo:

$$Volume=\frac{1}{3}a^2h = \frac{1}{3}230,33^2 × 146,6 = 2.592.469,9482467\ meters^3$$

Buis

In tegenstelling tot een massieve cilinder, is een buis (of pijp) hol van binnen. Hierdoor moeten we rekenen met zowel een buitendiameter als een binnendiameter. Om het volume van het buismateriaal te berekenen, trekken we het binnenste, holle gedeelte er vanaf. Dit doen we met de volgende formule:

$$V_{buis}=π\frac{d_1^2-d_2^2}{4}l$$

Zoals je wellicht al had geraden, staat d₁ voor de buitendiameter en d₂ voor de binnendiameter. De variabele l staat voor de totale lengte van de buis.

Laten we deze formule in de praktijk brengen om de hoeveelheid beton (het volume) te berekenen voor een putring. We hebben deze ring nodig voor de nieuwe waterput bij ons vakantiehuisje. De ring heeft een hoogte (lengte 'l') van 0,89 meter, de buitendiameter is 1,16 meter en de binnendiameter is exact 1 meter.

De berekening voor het benodigde beton ziet er dan zo uit:

$$Volume=π\frac{1,16^2-1^2}{4} × 0,89 = 0,076896 π = 0,24\ meters^3$$