方差计算器

方差可作为变异性度量

对给定数据集进行统计推断的基本方法之一，就是测量数据与平均值之间的变异性。测量变异性最常用的指标有：

• 方差 – 是各个数据点与平均数之差的平方的平均数。
• 标准差 - 是方差的平方根。标准差是衡量离散性/变异性的常用指标。
• 变异系数，也称为相对标准偏差。变异系数的计算方法是标准偏差 σ 与平均值 μ 之比，即 \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

该计算器可求得给定数据集的方差，并显示计算步骤。

使用本计算器的规则

方差计算器接受以分隔符分隔的数字列表形式输入的数据。下表列举了几个可能的输入示例。

行输入	列输入	列输入	列输入
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

数字之间可以用逗号、空格、换行符或多种分隔符混合分隔。可以使用行格式，也可以使用列格式。对于上表中的所有格式，计算器会将输入内容处理为 44、63、72、75、80、86、87 和 89。

输入数据后，您可以选择是样本数据还是总体数据。点击计算按钮后，计算器会显示数据集的五个统计参数：计数（观察数）、平均值、平方差之和、方差和标准差。

该计算器旨在计算数据集的方差。它还提供了计算背后的理论，并显示了所有相关步骤。

在进行推断时，最好使用大数据集以获得更全面的统计数据。但通常很难获得代表所有可能观察结果的总体数据。因此，通常是从总体中抽取 "样本"。通常从样本数据中得出关于总体的结论。

方差衡量数据集相对于平均值的平均离散程度。通常用 σ² 表示总体，用 s² 表示样本。σ² 或 s² 的值越大，意味着数据点与样本平均数的离散度越大，反之亦然。

请看以下示例数据集。

（数据集 I） 11、3、5、21、10、15、20、25、13、26、27、

（数据集 II） 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

将 ** 数据集 I ** 输入方差计算器，结果是

样本：

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

总体：

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

同样，把 ** 数据集 II ** 输入计算器就得出了结果：

样本：

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

总体：

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

• 在数据集 I 中，数字明显偏离样本平均值

s²=70.4

σ²=64

• 在数据集 II中，变异性较小

s²=5.6

σ²=5.09

方差公式：总体方差与样本方差

总体方差

统计学中的总体是指实验中所有可能的观测值。对于 N 个观测值，总体方差为：

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

其中

• σ² 是总体方差、
• Σ 是求和符合、
• xᵢ 是各个观测值、
• μ 是总体平均值、
• n 是总体中的观测值数量。

样本方差

样本方差定义为

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

其中

• s² 是样本方差、
• Σ 是求和符合、
• xᵢ 是各个观测值、
• x̄ 是样本平均数、
• n 是样本中的观测值数量。

计算方差的步骤

计算差异的步骤如下。

步骤1： 计算样本/总体平均值。它是所有数据点的总和除以计数据容量（样本为 n，总体为 N），即

样本平均值

$$\bar{x}=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_n}{n}$$

总体平均值

$$\mu=\frac{x₁+x₂+x_3+........+x_N}{N}$$

步骤2： 从每个数据点减去样本/总体平均值，计算偏差，即

样本偏差

$$(x₁-\bar{x}), (x₂-\bar{x}), (x_3-\bar{x})…………………… (x_n-\bar{x})$$

总体偏差

$$(x₁-\ \mu), (x₂-\ \mu), (x_3-\ \mu)……………… (x_N-\ \mu)$$

步骤3： 计算每个数据点的平方差。

样本平方差

$$(x₁-\bar{x})^2, (x₂-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2…………………… (x_n-\bar{x})^2$$

总体平方偏差

$$(x₁-\ \mu)^2, (x₂-\ \mu)^2, (x_3-\ \mu)^2……………… (x_N-\ \mu)^2$$

步骤4： 计算偏差平方和。

样本偏差平方和

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }={(x₁-\ \bar{x})}^2+{(x₂-\ \bar{x})}^2................+{(x_n-\ \bar{x})}^2$$

总体平方差总和

$$SS=\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }={(x₁-\ \bar{x})}^2+{(x₂-\ \bar{x})}^2................+{(x_N-\ \mu)}^2$$

步骤5： 样本的偏差平方和除以 n-1，总体的偏差平方和除以 N，计算方差。

样本方差

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

总体方差

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

样本方差计算示例

让我们考虑以下数据集：1、2、4、5、6 和 12。计算器通过以下步骤计算总体的方差：

步骤 1：计算平均值。

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=5$$

步骤 2：计算偏差。

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-2	0	1	7

步骤 3：计算偏差的平方。

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	4	0	1	49

步骤 4：求偏差平方和。

$$SS=\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2=16+9+4+0+1+49}=76$$

步骤 5：用偏差平方和除以自由度 (n-1)，计算方差。

$$s^2=\ \frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}=\frac{76}{6-1}=15.2$$

对于总体来说，分母是 n 而不是 n-1。

方差的重要性

离散度在投资中被广泛应用。它有助于资产管理者提高投资绩效。金融分析师可以利用方差来评估投资组合中各个组成部分的表现。

投资者在考虑购买新产品时会计算方差，以决定投资是否值得冒险。离散度可以帮助分析师确定不确定性的度量，而没有方差和标准差是很难量化不确定性的。

不确定性是无法直接衡量的。但方差和标准差（方差的平方根）有助于确定特定股票对投资组合的影响。

科学家、统计学家、数学家和数据分析师也可以使用方差。它有助于提供有关实验或样本群体的有用信息。

科学家可以寻找测试组之间的差异，以确定它们是否足够相似，从而成功测试假设。数据集的方差越大，数据集中的数值就越分散。数据研究人员可以利用这一信息来了解平均值在多大程度上代表了数据集。

使用方差的缺点是，一组数据中的较大离群值会导致数据失真。这是因为离群值一旦平方后，其权重会进一步增加。

许多研究人员更倾向于使用标准差，标准差的计算方法是方差的平方根。标准差受异常值的影响较小，数字较小，更容易解释。