Calculatrice de variance

La variance comme mesure de variabilité

L'un des aspects fondamentaux de l'inférence statistique d'une série de données consiste à mesurer un indicateur qui caractérise la variabilité des données par rapport à leur moyenne. Les indicateurs mesurant la variabilité les plus répandus sont :

• la variance qui est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne ;
• l’écart-type qui est la racine carrée de la variance : l'écart-type étant une mesure qu'on utilise couramment pour mesurer la dispersion/variabilité ;
• le coefficient de variation, qu'on appelle également écart-type relatif. Le coefficient de variation se calcule comme le rapport de l'écart-type σ sur la moyenne μ, ou \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Cette calculatrice trouve la variance d'une série de données fournie et elle affiche les étapes que le calcul implique.

Les règles d'utilisation de cette calculatrice

La calculatrice de variance accepte qu'on saisisse une liste de nombres séparés par un délimiteur. Quelques exemples de saisies possibles sont présentés dans le tableau ci-dessous.

saisie de ligne	saisie de colonne	saisie de colonne	saisie de colonne
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Les nombres peuvent être séparés par une virgule, un espace, un saut de ligne ou un mélange de plusieurs sortes de délimiteurs. Vous pouvez utiliser le format ligne ou colonne. Pour tous les formats indiqués dans le tableau ci-dessus, la calculatrice traite la saisie comme étant 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 et 89.

Une fois les données saisies, vous pouvez choisir s'il s'agit des données d'un échantillon ou des données d'une population. Lorsque vous appuyez sur le bouton calculer, la calculatrice affiche cinq paramètres statistiques sur la série de données : l'effectif total (nombre d'observations), la moyenne, la somme des carrés des écarts, la variance et l'écart-type.

La calculatrice est conçue pour calculer la variance d'une série de données. Elle fournit également un aperçu de la théorie à l'origine du calcul et montre toutes les étapes impliquées.

Lorsqu'on fait des inférences, il est préférable d'utiliser un ensemble de données qui est grand afin d'obtenir de bonnes statistiques. Mais il est souvent difficile d'obtenir les données d'une population représentant toutes les observations possibles. Par conséquent, en règle générale, on prend un « échantillon » de la population. Et les conclusions sur la population sont généralement tirées des données de l'échantillon.

La variance mesure la dispersion moyenne d'une série de données par rapport à la moyenne. Elle est souvent désignée par σ² pour une population et par s² pour un échantillon. Un σ² ou s² d'une valeur plus élevée implique un écart plus élevé des points de données autour de la moyenne de l'échantillon et vice versa.

Examinons les exemples suivants de séries de données.

(Série I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Série II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Lorsqu'on branche Série I dans la calculatrice de variance, cela donne :

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

pour un échantillon et

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

pour la population.

De même, le branchement de Série II dans la calculatrice donne :

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

pour un échantillon, et

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

pour la population.

• Dans la série I, les nombres s'écartent significativement de la moyenne de l'échantillon :

s²=70,4

σ²=64

• Dans la série II, la variabilité est faible :

s²=5,6

σ²=5,09

La formule de la variance : la variance d'une population par rapport à la variance d'un échantillon

Variance d'une population

En statistique, une population désigne toutes les observations possibles dans une expérience. Pour N observations, la variance de la population est :

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

où

• σ² est la variance de la population,
• Σ est la somme,
• xᵢ est chacune des observations,
• μ est la moyenne de la population,
• n est le nombre d'observations dans la population.

Variance d'un échantillon

La variance d'un échantillon est définie comme étant

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

où

• s² est la variance de l'échantillon,
• Σ est la somme,
• xᵢ est chacune des observations,
• x̄ est la moyenne de l'échantillon,
• n est le nombre d'observations dans l'échantillon.

Étapes pour calculer la variance

Les étapes suivantes sont impliquées dans le calcul de la variance.

Étape 1 : Calculer la moyenne de l'échantillon/de la population. Cela correspond à la somme de tous les points de données divisée par le nombre de points de données (n pour un échantillon et N pour la population), c'est-à-dire,

Moyenne de l'échantillon :

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Moyenne de la population :

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Étape 2 : Calculer les écarts en soustrayant la moyenne de l'échantillon/de la population de chaque point de donnée, c'est-à-dire,

Écarts de l'échantillon :

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Écarts de la population :

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Étape 3 : Calculer les écarts au carré pour chaque point de donnée.

Écarts au carré de l'échantillon :

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Écarts au carré de la population :

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Étape 4 : Calculer la somme des écarts au carré.

Somme des écarts au carré de l'échantillon :

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Somme des écarts au carré de la population :

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Étape 5 : Diviser la somme des écarts au carré par n-1 pour un échantillon et N pour la population pour calculer la variance.

Variance de l'échantillon :

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Variance de la population :

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Exemple de calcul de la variance pour un échantillon

Considérons l'ensemble de données suivant : 1, 2, 4, 5, 6 et 12. Pour calculer la variance de l'échantillon, nous suivons ces étapes :

Étape 1 : Calculer la moyenne de l'échantillon (moyenne).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Étape 2 : Calculer les écarts à la moyenne pour chaque point de donnée.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Étape 3 : Calculer les carrés des écarts.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Étape 4 : Additionner les carrés des écarts.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Étape 5 : Calculer la variance de l'échantillon en divisant la somme des carrés des écarts par les degrés de liberté (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Pour une population, nous diviserions par n (le nombre total de points de données), plutôt que par n-1, pour calculer la variance de la population.

L'importance de la variance

La dispersion est utilisée pour les investissements. Elle aide les gestionnaires d'actifs à améliorer la performance de leurs investissements. Les analystes financiers peuvent utiliser la variance pour évaluer la performance individuelle des composantes d'un portefeuille d'investissement.

Les investisseurs calculent la variance lorsqu'ils envisagent de faire un nouvel achat afin de décider si l'investissement vaut le risque. La dispersion aide les analystes à déterminer une mesure d'incertitude, qui est difficile à quantifier sans variance et écart-type.

L'incertitude n'est pas directement mesurable. Mais la variance et l'écart-type (la racine carrée de la variance) aident à déterminer l'impact d'une action en particulier perçu sur un portefeuille.

Les scientifiques, les statisticiens, les mathématiciens et les analystes de données peuvent également utiliser la variance. Elle permet de fournir des informations utiles sur une expérience ou l'échantillon d'une population.

Les scientifiques peuvent rechercher des différences entre les groupes analysés afin de déterminer s'ils sont suffisamment semblables pour réussir à tester une hypothèse. Plus la variance de la série de données est élevée, plus les valeurs de la série de données sont dispersées. Les chercheurs peuvent utiliser cette information pour voir dans quelle mesure la moyenne représente la série de données.

Lorsqu'on utilise la variance, l'inconvénient est que de grandes valeurs aberrantes dans une série peuvent entraîner une certaine déformation des données. En effet, l'influence des valeurs aberrantes peut augmenter encore davantage une fois qu'elles sont au carré.

De nombreux chercheurs préfèrent travailler avec l'écart-type, qui se calcule grâce à la racine carrée de la variance. L'écart-type est moins impacté par les valeurs aberrantes, c'est un chiffre plus petit et il est plus facile à interpréter.