Calculatrice de variance

La variance comme mesure de variabilité

En statistique, l'analyse d'une série de données repose fondamentalement sur l'évaluation de sa dispersion par rapport à sa moyenne. Les indicateurs de variabilité (ou de dispersion) les plus couramment utilisés sont :

• la variance, qui correspond à la moyenne des carrés des écarts par rapport à la moyenne ;
• l'écart-type, qui est la racine carrée de la variance. Il s'agit de la mesure de référence la plus employée pour évaluer la dispersion des données ;
• le coefficient de variation, également appelé écart-type relatif. Il se calcule comme le rapport de l'écart-type σ sur la moyenne μ, selon la formule \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Notre calculatrice de variance détermine rapidement la variance de n'importe quelle série de données tout en vous détaillant pas à pas chaque étape du calcul.

Comment utiliser cette calculatrice de variance en ligne ?

Cet outil statistique accepte la saisie d'une liste de nombres séparés par un délimiteur de votre choix. Le tableau ci-dessous présente quelques exemples de formats acceptés.

Vos données peuvent être séparées par des virgules, des espaces, des sauts de ligne ou une combinaison de différents délimiteurs. Vous pouvez opter pour une disposition en ligne ou en colonne. Quel que soit le format choisi parmi les exemples ci-dessus, notre algorithme l'interprétera comme la suite logique : 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 et 89.

Après avoir inséré vos valeurs, sélectionnez s'il s'agit des données d'un échantillon ou d'une population globale. En cliquant sur le bouton « Calculer », l'outil génère instantanément cinq paramètres statistiques essentiels : l'effectif total (nombre d'observations), la moyenne, la somme des carrés des écarts, la variance et l'écart-type.

Au-delà du simple résultat, ce calculateur de variance a une véritable vocation pédagogique : il vous explique la théorie mathématique sous-jacente et détaille rigoureusement toutes les étapes de la résolution.

En inférence statistique, il est recommandé de travailler sur de grands ensembles de données pour garantir la fiabilité des résultats. Cependant, il est souvent impossible de recueillir les données d'une population entière recensant toutes les observations possibles. C'est pourquoi on isole généralement un « échantillon » représentatif de cette population. Les conclusions tirées de cet échantillon permettent ensuite d'estimer les caractéristiques de la population globale.

Concrètement, la variance mesure l'écartement moyen des valeurs autour de la moyenne. Elle est notée σ² pour une population et s² pour un échantillon. Une valeur élevée de σ² ou de s² indique une forte dispersion des données autour de la moyenne, et inversement.

Illustrons ce concept avec deux séries de données distinctes :

(Série I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Série II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

En entrant la Série I dans notre calculatrice de variance, nous obtenons les résultats suivants :

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

(si l'on considère qu'il s'agit d'un échantillon) et :

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

(si l'on considère qu'il s'agit d'une population).

De la même manière, le calcul de la Série II par l'outil génère :

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

(pour un échantillon), et :

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

(pour une population).

• Dans la Série I, les valeurs s'écartent significativement de la moyenne, d'où une forte variance :

s²=70,4

σ²=64

• Dans la Série II, les valeurs sont beaucoup plus groupées autour de la moyenne, la variabilité est donc faible :

s²=5,6

σ²=5,09

Formules de calcul : variance d'une population vs variance d'un échantillon

Variance d'une population

En statistiques, une population rassemble absolument toutes les observations possibles d'un phénomène donné. Pour un nombre N d'observations, la formule de la variance d'une population est :

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

où :

• σ² représente la variance de la population,
• Σ désigne la somme,
• xᵢ correspond à chaque observation individuelle,
• μ est la moyenne de la population,
• N est le nombre total d'observations dans la population.

Variance d'un échantillon

La variance d'un échantillon, tiré d'une population plus large, se calcule selon la formule suivante :

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

où :

• s² est la variance de l'échantillon,
• Σ désigne la somme,
• xᵢ correspond à chaque observation individuelle,
• x̄ est la moyenne de l'échantillon,
• n est le nombre d'observations dans l'échantillon.

Les 5 étapes clés pour calculer la variance

Le calcul manuel de la variance suit un cheminement précis en cinq étapes.

Étape 1 : Calculer la moyenne de l'échantillon ou de la population. Il s'agit d'additionner toutes les valeurs et de diviser ce total par le nombre d'observations (n pour un échantillon, N pour une population), c'est-à-dire :

Moyenne de l'échantillon :

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Moyenne de la population :

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Étape 2 : Calculer les écarts à la moyenne. Pour ce faire, on soustrait la moyenne préalablement calculée à chaque valeur de la série de données.

Écarts de l'échantillon :

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Écarts de la population :

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Étape 3 : Mettre au carré chaque écart calculé lors de l'étape précédente. Cela permet d'obtenir des valeurs strictement positives.

Écarts au carré de l'échantillon :

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Écarts au carré de la population :

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Étape 4 : Calculer la somme des carrés des écarts (souvent notée SS pour Sum of Squares).

Somme des écarts au carré de l'échantillon :

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Somme des écarts au carré de la population :

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Étape 5 : Diviser cette somme des carrés des écarts par les degrés de liberté (n-1 pour un échantillon) ou par l'effectif total (N pour une population) afin d'obtenir la variance finale.

Variance de l'échantillon :

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Variance de la population :

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Exemple concret : calcul de la variance d'un échantillon

Prenons une série de données simple : 1, 2, 4, 5, 6 et 12. Voici comment déterminer la variance de cet échantillon pas à pas :

Étape 1 : Calculer la moyenne de l'échantillon.

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Étape 2 : Calculer les écarts à la moyenne pour chaque point de donnée.

Étape 3 : Calculer les carrés des écarts.

Étape 4 : Additionner les carrés des écarts.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Étape 5 : Calculer la variance de l'échantillon en divisant la somme des carrés des écarts par les degrés de liberté (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Remarque : S'il s'agissait d'une population globale, nous aurions divisé par N (l'effectif total, soit 6), et non par n-1 (5), pour obtenir la variance de la population.

Pourquoi la variance est-elle une donnée statistique indispensable ?

Dans le domaine financier
L'analyse de la dispersion est fondamentale dans la gestion des investissements. Elle permet aux gestionnaires d'actifs d'optimiser la performance de leurs portefeuilles. Les analystes financiers s'appuient notamment sur la variance pour évaluer le comportement et la performance individuelle de chaque actif au sein d'un portefeuille.

Les investisseurs calculent systématiquement la variance avant une nouvelle acquisition pour déterminer si le niveau de risque est acceptable par rapport au rendement espéré. La dispersion des rendements permet d'évaluer le degré d'incertitude et de volatilité du marché, une notion quasi impossible à quantifier sans recourir au couple variance / écart-type.

Bien que l'incertitude ne se mesure pas directement, la variance et l'écart-type (sa racine carrée) offrent des métriques fiables pour anticiper l'impact d'une action spécifique sur le risque global d'un investissement.

Dans la recherche et l'analyse de données
Les scientifiques, les statisticiens, les mathématiciens et les analystes de données (data analysts) utilisent quotidiennement la variance pour extraire des informations pertinentes d'une expérimentation ou de l'étude d'un échantillon.

En recherche scientifique, observer les différences de variance entre plusieurs groupes permet de s'assurer de leur homogénéité avant de tester une hypothèse. Plus la variance d'une série de données est élevée, plus les observations sont dispersées. Cette information aide les chercheurs à juger si la moyenne calculée est véritablement représentative de la réalité des données.

Les limites de la variance
L'un des principaux inconvénients de la variance réside dans sa sensibilité extrême aux valeurs aberrantes (les outliers). En effet, comme la formule implique d'élever les écarts au carré, le poids d'une valeur extrême est mathématiquement amplifié, ce qui peut fausser l'analyse de la dispersion globale.

Pour pallier cette limite, de nombreux professionnels préfèrent interpréter l'écart-type, qui correspond à la racine carrée de la variance. Parce qu'il ramène la mesure de dispersion à la même unité de grandeur que les données initiales, l'écart-type atténue l'impact des valeurs aberrantes et s'avère beaucoup plus simple à interpréter.