เครื่องคำนวณค่าความแปรปรวน

ค่าความแปรปรวน (Variance) คืออะไร? เครื่องมือวัดการกระจายตัวของข้อมูล

หนึ่งในพื้นฐานสำคัญของการวิเคราะห์และอ้างอิงเชิงสถิติ (Statistical Inference) ของชุดข้อมูลใดๆ คือการวัดการกระจายตัวของข้อมูลว่ามีความคลาดเคลื่อน หรือเบี่ยงเบนไปจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด ตัวชี้วัดที่ได้รับความนิยมมากที่สุดในการวัดการกระจายตัว ได้แก่:

• ค่าความแปรปรวน (Variance): คือค่าเฉลี่ยของผลรวมของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองจากค่าเฉลี่ย
• ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation): คือรากที่สองของค่าความแปรปรวน ซึ่งเป็นมาตรวัดที่ใช้กันทั่วไปมากที่สุดเพื่อดูการกระจายตัวของข้อมูล
• สัมประสิทธิ์การแปรผัน (Coefficient of Variation: CV): หรือเรียกอีกอย่างว่าส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานสัมพัทธ์ สามารถคำนวณได้จากอัตราส่วนของส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน σ ต่อค่าเฉลี่ย μ หรือ \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$

เครื่องคำนวณค่าความแปรปรวนออนไลน์นี้ จะช่วยคุณหาค่าความแปรปรวนของชุดข้อมูลที่กำหนด พร้อมทั้งแสดงวิธีทำและขั้นตอนการคำนวณอย่างละเอียด

วิธีใช้งานเครื่องคำนวณค่าความแปรปรวน

เครื่องคำนวณนี้รองรับการป้อนข้อมูลตัวเลขที่คั่นด้วยสัญลักษณ์ต่างๆ คุณสามารถดูตัวอย่างรูปแบบการป้อนข้อมูลที่รองรับได้ในตารางด้านล่างนี้

แถว ข้อมูล	คอลัมน์ ข้อมูล	คอลัมน์ ข้อมูล	คอลัมน์ ข้อมูล
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

คุณสามารถคั่นตัวเลขด้วยเครื่องหมายจุลภาค (คอมมา), ช่องว่าง, การขึ้นบรรทัดใหม่ หรือใช้สัญลักษณ์เหล่านี้ผสมกันได้ ไม่ว่าจะป้อนในรูปแบบแถวหรือคอลัมน์ตามรูปแบบทั้งหมดที่แสดงในตารางด้านบน ระบบก็จะประมวลผลข้อมูลชุดนี้เป็น 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 และ 89 อย่างถูกต้อง

เมื่อป้อนข้อมูลเสร็จแล้ว คุณสามารถเลือกได้ว่าข้อมูลนั้นเป็น กลุ่มตัวอย่าง (Sample) หรือ ประชากร (Population) เมื่อคุณกดปุ่มคำนวณ เครื่องคำนวณจะแสดงค่าพารามิเตอร์ทางสถิติ 5 รายการของชุดข้อมูล ได้แก่ จำนวนข้อมูลทั้งหมด (Count/N), ค่าเฉลี่ย (Mean), ผลรวมของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสอง (SS), ค่าความแปรปรวน (Variance) และส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation)

เครื่องคำนวณนี้ไม่ได้ออกแบบมาเพื่อหาคำตอบเพียงอย่างเดียว แต่ยังให้ข้อมูลเชิงลึกเกี่ยวกับทฤษฎีเบื้องหลัง และแสดงขั้นตอนที่เกี่ยวข้องกับการคำนวณทั้งหมด

เมื่อทำการอ้างอิงเชิงสถิติ การใช้ชุดข้อมูลขนาดใหญ่มักจะให้ค่าสถิติที่แม่นยำกว่า แต่ในทางปฏิบัติ การเก็บข้อมูลประชากรทั้งหมดเป็นเรื่องที่ทำได้ยาก ดังนั้นตามหลักสถิติแล้ว เราจึงมักจะสุ่ม "กลุ่มตัวอย่าง" ออกมาจากประชากร และนำข้อสรุปที่ได้จากข้อมูลกลุ่มตัวอย่างไปอ้างอิงถึงประชากรทั้งหมด

ค่าความแปรปรวนจะวัดการกระจายตัวโดยเฉลี่ยของข้อมูลว่าห่างจากค่าเฉลี่ยมากน้อยเพียงใด โดยทั่วไปจะใช้สัญลักษณ์ σ² สำหรับประชากร และ s² สำหรับกลุ่มตัวอย่าง หากค่า σ² หรือ s² มีขนาดใหญ่ แสดงว่าข้อมูลมีการกระจายตัวห่างจากค่าเฉลี่ยมาก และในทางกลับกัน หากค่าน้อยแสดงว่าข้อมูลเกาะกลุ่มกันใกล้ค่าเฉลี่ย

ลองพิจารณาชุดข้อมูลตัวอย่างสองชุดนี้:

(ชุด I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(ชุด II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

เมื่อป้อนข้อมูล ชุด I ลงในเครื่องคำนวณค่าความแปรปรวน จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70.4

s=8.39

สำหรับกลุ่มตัวอย่าง และ

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

สำหรับประชากร

ในทำนองเดียวกัน เมื่อป้อนข้อมูล ชุด II ลงในเครื่องคำนวณ จะได้ผลลัพธ์ดังนี้:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5.6

s=2.36

สำหรับกลุ่มตัวอย่าง และ

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5.09

σ=2.25

สำหรับประชากร

• ในชุด I ตัวเลขมีการเบี่ยงเบนและกระจายตัวออกจากค่าเฉลี่ยอย่างชัดเจน

s²=70.4

σ²=64

• ในชุด II ข้อมูลมีการกระจายตัวน้อยและเกาะกลุ่มกันมากกว่า

s²=5.6

σ²=5.09

สูตรการหาค่าความแปรปรวน: ประชากร (Population) vs กลุ่มตัวอย่าง (Sample)

ค่าความแปรปรวนของประชากร (Population Variance)

ประชากร (Population) ในทางสถิติหมายถึง ข้อมูลที่เป็นไปได้ทั้งหมดจากการทดลองหรือการเก็บข้อมูล สำหรับข้อมูลจำนวน N ค่าความแปรปรวนของประชากรสามารถหาได้จากสูตร:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

โดยที่:

• σ² คือ ค่าความแปรปรวนของประชากร
• Σ คือ ผลรวม
• xᵢ คือ ข้อมูลแต่ละตัวที่สังเกตได้
• μ คือ ค่าเฉลี่ยของประชากร
• N คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมดในประชากร

ค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง (Sample Variance)

ค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างสามารถหาได้จากสูตร:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

โดยที่:

• s² คือ ค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง
• Σ คือ ผลรวม
• xᵢ คือ ข้อมูลแต่ละตัวที่สังเกตได้
• x̄ คือ ค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่าง
• n คือ จำนวนข้อมูลทั้งหมดในกลุ่มตัวอย่าง

ขั้นตอนการคำนวณค่าความแปรปรวนอย่างละเอียด

การคำนวณหาค่าความแปรปรวนสามารถทำได้ตามขั้นตอนต่อไปนี้:

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณหาค่าเฉลี่ยของกลุ่มตัวอย่างหรือประชากร โดยนำข้อมูลทั้งหมดมาบวกกันแล้วหารด้วยจำนวนข้อมูลทั้งหมด (ใช้ n สำหรับกลุ่มตัวอย่าง และ N สำหรับประชากร) ตัวอย่างเช่น:

ค่าเฉลี่ยกลุ่มตัวอย่าง:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

ค่าเฉลี่ยประชากร:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

ขั้นตอนที่ 2: หาค่าเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัว โดยนำข้อมูลแต่ละจุด (x) มาลบด้วยค่าเฉลี่ย ตัวอย่างเช่น:

ค่าเบี่ยงเบนกลุ่มตัวอย่าง:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

ค่าเบี่ยงเบนประชากร:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

ขั้นตอนที่ 3: นำค่าเบี่ยงเบนที่ได้จากข้อมูลแต่ละตัวมายกกำลังสอง

ค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองของกลุ่มตัวอย่าง:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

ค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสองของประชากร:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 4: หาผลรวมของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสอง (Sum of Squared Deviations: SS)

ผลรวมของกลุ่มตัวอย่าง:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

ผลรวมของประชากร:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

ขั้นตอนที่ 5: นำผลรวมที่ได้ไปหารด้วยระดับขั้นความเสรี โดยหารด้วย n-1 สำหรับกลุ่มตัวอย่าง และ N สำหรับประชากร เพื่อคำนวณหาค่าความแปรปรวนในท้ายที่สุด

ค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

ค่าความแปรปรวนของประชากร:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

ตัวอย่างการคำนวณค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง

สมมติว่าเรามีชุดข้อมูลดังต่อไปนี้: 1, 2, 4, 5, 6 และ 12 หากต้องการหาค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง ให้ทำตามขั้นตอนดังนี้:

ขั้นตอนที่ 1: คำนวณหาค่าเฉลี่ย (Mean)

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

ขั้นตอนที่ 2: คำนวณหาค่าเบี่ยงเบนของข้อมูลแต่ละตัวจากค่าเฉลี่ย

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

ขั้นตอนที่ 3: นำค่าเบี่ยงเบนมายกกำลังสอง

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

ขั้นตอนที่ 4: หาผลรวมของค่าเบี่ยงเบนยกกำลังสอง (SS)

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

ขั้นตอนที่ 5: คำนวณค่าความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่าง โดยนำผลรวมไปหารด้วย (n-1)

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

หากข้อมูลชุดนี้คือประชากรทั้งหมด เราจะหารด้วย N (จำนวนข้อมูลทั้งหมด) แทนที่จะหารด้วย n-1 เพื่อคำนวณหาค่าความแปรปรวนของประชากร

ความสำคัญและประโยชน์ของค่าความแปรปรวน

ในด้านการลงทุน ค่าความแปรปรวนถูกนำมาใช้อย่างแพร่หลายเพื่อวิเคราะห์ระดับความเสี่ยง ช่วยให้ผู้จัดการสินทรัพย์สามารถปรับปรุงประสิทธิภาพของพอร์ตการลงทุนได้ นักวิเคราะห์ทางการเงินใช้ค่าความแปรปรวนเพื่อประเมินความผันผวนและผลการดำเนินงานของสินทรัพย์แต่ละรายการ

นักลงทุนมักจะคำนวณค่าความแปรปรวนก่อนตัดสินใจซื้อสินทรัพย์ใหม่ เพื่อพิจารณาว่าการลงทุนนั้นมีความคุ้มค่าเมื่อเทียบกับความเสี่ยงหรือไม่ การวัดการกระจายตัวของข้อมูลช่วยให้นักวิเคราะห์สามารถประเมินระดับความไม่แน่นอนทางการเงิน ซึ่งเป็นเรื่องยากมากที่จะคาดการณ์หากไม่มีการใช้ค่าความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน

แม้ว่าความไม่แน่นอนจะเป็นสิ่งที่วัดไม่ได้โดยตรง แต่ค่าความแปรปรวนและส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (รากที่สองของค่าความแปรปรวน) จะช่วยตีกรอบผลกระทบและความผันผวนของหุ้นแต่ละตัวในพอร์ตการลงทุนได้อย่างชัดเจน

นอกจากวงการการเงินแล้ว นักวิทยาศาสตร์ นักสถิติ นักคณิตศาสตร์ และนักวิเคราะห์ข้อมูล (Data Analyst) ต่างก็ใช้ค่าความแปรปรวนเป็นเครื่องมือสำคัญในการดึงข้อมูลเชิงลึกที่มีประโยชน์จากการทดลองหรือจากการสำรวจประชากร

ตัวอย่างเช่น นักวิทยาศาสตร์อาจใช้ค่านี้เพื่อเปรียบเทียบความแตกต่างระหว่างกลุ่มทดลอง เพื่อดูว่าข้อมูลมีความคล้ายคลึงกันเพียงพอที่จะสนับสนุนสมมติฐานหรือไม่ ยิ่งค่าความแปรปรวนสูง ข้อมูลในชุดนั้นก็จะยิ่งกระจายตัวมาก นักวิเคราะห์ข้อมูลสามารถใช้ตัวเลขนี้เพื่อประเมินว่า "ค่าเฉลี่ย" ที่ได้มานั้น เป็นตัวแทนที่น่าเชื่อถือของชุดข้อมูลทั้งหมดหรือไม่

อย่างไรก็ตาม ข้อควรระวังประการหนึ่งในการใช้ค่าความแปรปรวนคือ ข้อมูลผิดปกติ หรือค่าสุดโต่ง (Outliers) อาจทำให้ผลลัพธ์บิดเบือนได้ เนื่องจากเมื่อนำค่าสุดโต่งเหล่านั้นมายกกำลังสองแล้ว จะยิ่งเพิ่มน้ำหนักและส่งผลกระทบต่อค่าความแปรปรวนอย่างมีนัยสำคัญ

ด้วยเหตุนี้ นักวิจัยหลายคนจึงนิยมใช้ ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐาน (Standard Deviation) แทน เนื่องจากคำนวณมาจากการถอดรากที่สองของความแปรปรวน ทำให้ได้รับผลกระทบจากค่าสุดโต่งน้อยกว่า มีหน่วยเดียวกับข้อมูลดั้งเดิม และสามารถนำไปตีความหมายได้ง่ายกว่ามาก