Calculadora de varianza

La varianza como medida de variabilidad

Uno de los aspectos fundamentales de la inferencia estadística es medir la variabilidad de un conjunto de datos respecto a su promedio. Existen diversas métricas para evaluar esta dispersión:

• La varianza es el promedio de las desviaciones al cuadrado respecto a la media.
• La desviación estándar, calculada como la raíz cuadrada de la varianza. Es la métrica más utilizada para medir la dispersión o variabilidad de los datos.
• El coeficiente de variación, también conocido como desviación estándar relativa. Se calcula como la relación entre la desviación estándar σ y la media μ, es decir, $C_v=\frac{\sigma}{\mu}$.

Nuestra calculadora de varianza determina esta métrica fundamental para cualquier conjunto de datos y muestra el flujo de trabajo detallado paso a paso.

Cómo usar nuestra calculadora de varianza

La calculadora de varianza acepta como entrada una lista de números separados por un delimitador. En la siguiente tabla se muestran algunos ejemplos de formatos válidos.

entrada de fila	entrada de columna	entrada de columna	entrada de columna
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Los valores pueden estar separados por comas, espacios, saltos de línea o una combinación de estos. Puede ingresar los datos en formato de fila o columna. En todos los ejemplos de la tabla anterior, la calculadora procesará correctamente la entrada como la secuencia: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 y 89.

Una vez introducidos los datos, seleccione si corresponden a una muestra o a una población. Al presionar el botón de calcular, la herramienta generará cinco parámetros estadísticos clave del conjunto de datos: el recuento (número de observaciones), la media, la suma de cuadrados (desviaciones al cuadrado), la varianza y la desviación estándar.

Esta calculadora no solo está diseñada para obtener resultados rápidos, sino que también sirve como herramienta educativa, ya que muestra toda la teoría y los pasos involucrados en el cálculo matemático.

Para realizar inferencias estadísticas fiables, se requiere un conjunto de datos representativo. A menudo resulta difícil obtener los datos de la población total (todas las observaciones posibles de un experimento bajo condiciones específicas). Por ello, generalmente se extrae una "muestra" de la población, a partir de la cual se realizan inferencias sobre la población completa.

La varianza mide la dispersión promedio de un conjunto de datos en relación con su media. Suele denotarse como σ² para una población y como s² para una muestra. Un valor mayor de σ² o s² implica una mayor dispersión de los datos respecto al promedio, y viceversa. Considere los siguientes conjuntos de datos de ejemplo:

(Conjunto I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Conjunto II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Al introducir el Conjunto I en la calculadora de varianza, se obtienen los siguientes resultados:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

para una muestra, y

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

para la población.

De manera similar, al evaluar el Conjunto II en la calculadora se obtiene:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

para una muestra, y

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

para la población.

• En el Conjunto I, los números se desvían significativamente de la media muestral:

s²=70,4

σ²=64

• En el Conjunto II, la variabilidad es mucho menor:

s²=5,6

σ²=5,09

Fórmula de la varianza: Varianza poblacional vs. Varianza muestral

Varianza poblacional

En estadística, la población hace referencia a todas las observaciones posibles de un experimento o estudio. Para N observaciones, la fórmula de la varianza poblacional es:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

donde

• σ² es la varianza poblacional,
• Σ es la sumatoria,
• xᵢ es cada observación individual,
• μ es la media poblacional,
• N es el número total de observaciones en la población.

Varianza muestral

La fórmula de la varianza muestral se define como:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

donde

• s² es la varianza muestral,
• Σ es la sumatoria,
• xᵢ es cada observación individual,
• x̄ es la media muestral,
• n es el número de observaciones de la muestra.

Cómo calcular la varianza paso a paso

Para calcular la varianza manualmente, se deben seguir los siguientes pasos matemáticos:

Paso 1: Calcular la media muestral o poblacional. Consiste en sumar todos los puntos de datos y dividir el resultado entre el número total de observaciones (n para una muestra y N para la población):

Media de la muestra:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Media de la población:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Paso 2: Calcular las desviaciones restando la media (muestral o poblacional) a cada punto de datos:

Desviaciones de la muestra:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Desviaciones de la población:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Paso 3: Elevar al cuadrado las desviaciones obtenidas para cada punto de datos:

Desviaciones al cuadrado de la muestra:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Desviaciones al cuadrado de la población:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Paso 4: Calcular la suma de las desviaciones al cuadrado (conocida como suma de cuadrados o SS):

Suma de las desviaciones al cuadrado de la muestra:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Suma de las desviaciones al cuadrado de la población:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Paso 5: Dividir la suma de las desviaciones al cuadrado entre n-1 (si es una muestra) o entre N (si es una población) para obtener la varianza final:

Varianza de la muestra:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Varianza de la población:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Ejemplo de cálculo de la varianza para una muestra

Consideremos el siguiente conjunto de datos empíricos: 1, 2, 4, 5, 6 y 12. Para calcular la varianza muestral, aplicamos el método descrito:

Paso 1: Calculamos la media de la muestra (promedio).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Paso 2: Calculamos las desviaciones respecto a la media para cada dato.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Paso 3: Elevamos al cuadrado dichas desviaciones.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Paso 4: Sumamos las desviaciones al cuadrado.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Paso 5: Calculamos la varianza de la muestra dividiendo la suma de las desviaciones al cuadrado entre los grados de libertad (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Nota: Si estuviéramos calculando la varianza para una población completa, en el último paso dividiríamos entre N (el número total de datos) en lugar de n-1.

Importancia y aplicaciones de la varianza

El análisis de dispersión es fundamental en el mundo de las inversiones y las finanzas. Ayuda a los gestores de activos a mejorar el rendimiento de sus carteras. Los analistas financieros utilizan la varianza para evaluar la volatilidad y el rendimiento individual de los activos que componen un fondo de inversión.

Los inversores calculan la varianza antes de realizar una nueva compra para decidir si el nivel de riesgo de la inversión está justificado. Medir la dispersión ayuda a los analistas a cuantificar la incertidumbre, algo que sería casi imposible sin el uso de la varianza y la desviación estándar.

Aunque la incertidumbre del mercado no se puede medir directamente, la varianza y la desviación estándar (la raíz cuadrada de la varianza) permiten estimar el impacto potencial de una acción específica dentro de una cartera diversificada.

Además de las finanzas, científicos, estadísticos, matemáticos y analistas de datos confían en la varianza para extraer información de valor sobre experimentos y poblaciones.

En la investigación científica, se analiza la varianza entre grupos de prueba para determinar si existen diferencias significativas o si son lo suficientemente similares para validar una hipótesis. Cuanto mayor sea la varianza, más dispersos estarán los valores empíricos. Los científicos de datos utilizan esta métrica para evaluar qué tan bien la media aritmética representa a todo el conjunto de datos.

La principal desventaja de usar la varianza es que los valores atípicos extremos (outliers) pueden distorsionar los resultados. Esto ocurre porque, al calcular la métrica, las desviaciones se elevan al cuadrado, lo que otorga un peso desproporcionado a los valores muy alejados de la media.

Por este motivo, muchos investigadores prefieren trabajar directamente con la desviación estándar. Al ser la raíz cuadrada de la varianza, la desviación estándar se ve menos afectada por los valores atípicos, se expresa en las mismas unidades que los datos originales y resulta ser una métrica mucho más intuitiva y fácil de interpretar.