Калькулятор дисперсии

Дисперсия как мера изменчивости

В статистическом анализе важно не только найти среднее значение набора данных, но и понять, насколько сильно данные отклоняются от этого среднего. Для этого используются метрики, характеризующие изменчивость (или меру разброса) данных.

Как правило, в статистике изменчивость оценивается с помощью следующих показателей:

• Дисперсия — это среднее квадратичное отклонение значений от их среднего.
• Стандартное отклонение (среднеквадратическое отклонение) — рассчитывается как квадратный корень из дисперсии. Это самая популярная и широко используемая метрика для оценки разброса данных.
• Коэффициент вариации — также известен как относительное стандартное отклонение. Вычисляется как отношение стандартного отклонения σ к среднему значению μ, то есть \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Наш онлайн-калькулятор дисперсии быстро вычислит этот показатель для заданного набора данных и покажет подробный алгоритм расчетов.

Как использовать калькулятор дисперсии

Калькулятор принимает входные данные в виде списка чисел, разделенных любым удобным символом. В таблице ниже приведены примеры правильного ввода.

Числа можно разделять запятыми, пробелами, переносами строк (Enter) или комбинацией этих символов. Вы можете вводить данные как в строку, так и в столбец. Независимо от выбранного формата (см. таблицу выше), калькулятор обработает эти данные как единый массив: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89.

Введя данные, выберите тип набора: выборка или генеральная совокупность. После нажатия кнопки «Вычислить» калькулятор выдаст пять ключевых статистических параметров: количество наблюдений (объем данных), среднее значение, сумму квадратов отклонений, дисперсию и стандартное отклонение.

Для получения достоверных статистических выводов требуется большой объем данных. На практике собрать информацию обо всей генеральной совокупности (обо всех возможных наблюдениях в рамках эксперимента) часто бывает сложно. Поэтому исследователи берут «выборку» — репрезентативную часть генеральной совокупности, и на ее основе делают выводы обо всем массиве.

Дисперсия показывает средний разброс данных относительно среднего значения. В статистике она обычно обозначается как σ² для генеральной совокупности и как s² для выборки. Чем выше значение σ² или s², тем сильнее точки данных отдалены от среднего значения, и наоборот.

Рассмотрим два примера наборов данных:

(Набор I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27

(Набор II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Введя Набор I в калькулятор дисперсии, мы получим следующие результаты:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

для выборки, и

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

для генеральной совокупности.

Введя Набор II в калькулятор дисперсии, мы получим:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

для выборки, и

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

для генеральной совокупности.

• В Наборе I числа значительно отклоняются от среднего значения:

s²=70,4

σ²=64

• В Наборе II изменчивость (разброс) минимальна:

s²=5,6

σ²=5,09

Формула дисперсии: генеральная совокупность и выборка

Дисперсия генеральной совокупности

Генеральная совокупность в статистике включает в себя все возможные наблюдения исследуемого объекта или явления. Для N наблюдений дисперсия генеральной совокупности рассчитывается по формуле:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(X_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

где:

• σ² = дисперсия генеральной совокупности
• Σ = знак суммы
• xᵢ = каждое отдельное наблюдение
• μ = среднее значение генеральной совокупности
• N = количество наблюдений в генеральной совокупности

Выборочная дисперсия

Дисперсия выборки (или выборочная дисперсия) определяется как:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(X_i-\ \bar{X})}^2\ }}{n-1}$$

где:

• s² = дисперсия выборки
• Σ = знак суммы
• xᵢ = каждое отдельное наблюдение
• x̄ = среднее выборочное значение
• n = количество наблюдений в выборке (объем выборки)

Пошаговый алгоритм расчета дисперсии

Процесс вычисления дисперсии состоит из следующих шагов:

Шаг 1: Вычислите среднее значение. Для этого сложите все точки данных и разделите полученную сумму на их количество (на n для выборки и на N для генеральной совокупности):

Среднее выборки:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Среднее генеральной совокупности:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Шаг 2: Найдите отклонения. Вычтите найденное среднее значение из каждого числа в вашем наборе данных:

Отклонения выборки:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), ..., (x_n-\bar{x})$$

Отклонения генеральной совокупности:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), ..., (x_N-\mu)$$

Шаг 3: Возведите каждое полученное отклонение в квадрат. Это гарантирует, что положительные и отрицательные отклонения не будут компенсировать друг друга.

Квадраты отклонений выборки:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, ..., (x_n-\bar{x})^2$$

Квадраты отклонений генеральной совокупности:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, ..., (x_N-\mu)^2$$

Шаг 4: Просуммируйте все квадраты отклонений.

Сумма квадратов отклонений выборки:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Сумма квадратов отклонений генеральной совокупности:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Шаг 5: Разделите сумму квадратов отклонений на n-1 (для выборки) или на N (для генеральной совокупности), чтобы получить итоговое значение дисперсии.

Дисперсия выборки:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Дисперсия генеральной совокупности:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Пример расчёта дисперсии для выборки

Рассмотрим процесс на конкретном примере с набором данных: 1, 2, 4, 5, 6 и 12. Для расчёта выборочной дисперсии выполним следующие вычисления:

Шаг 1: Вычисляем среднее значение выборки (среднее арифметическое).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Шаг 2: Находим отклонение от среднего для каждой точки данных.

Шаг 3: Возводим полученные отклонения в квадрат.

Шаг 4: Суммируем квадраты отклонений.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Шаг 5: Вычисляем дисперсию выборки, разделив сумму квадратов отклонений на число степеней свободы (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15.2$$

Если бы мы рассматривали эти данные как генеральную совокупность, то для вычисления дисперсии мы бы разделили сумму на N (общее количество элементов, то есть 6), а не на n-1.

Практическое значение и применение дисперсии

Расчет дисперсии широко применяется в сфере инвестиций и финансов. Эта метрика помогает управляющим активами оптимизировать портфели и повышать их эффективность. Финансовые аналитики используют дисперсию для оценки волатильности и индивидуальных показателей отдельных активов.

Перед покупкой новых ценных бумаг инвесторы вычисляют дисперсию, чтобы понять, оправдывает ли потенциальная доходность возможные риски. Дисперсия дает аналитикам четкую количественную меру неопределенности, которую иначе было бы крайне сложно оценить.

Хотя неопределенность нельзя измерить напрямую, дисперсия и стандартное отклонение (ее квадратный корень) позволяют спрогнозировать, как конкретная акция повлияет на риск всего инвестиционного портфеля.

Статистики, математики, ученые и аналитики данных (Data Scientists) также регулярно обращаются к показателю дисперсии. Он помогает извлечь ценную информацию из результатов экспериментов или выборочных исследований.

В науке дисперсия помогает сравнивать тестовые группы и определять, достаточно ли они однородны для успешной проверки гипотезы. Чем выше дисперсия, тем больше разброс значений в выборке. Аналитики используют этот факт, чтобы понять, насколько корректно среднее значение отражает реальную картину набора данных.

Главный недостаток дисперсии заключается в ее чувствительности к аномальным значениям (выбросам). Поскольку при расчете отклонения возводятся в квадрат, вес экстремальных значений многократно увеличивается, что может привести к искажению общих результатов.

По этой причине многие исследователи предпочитают оперировать стандартным отклонением. Оно меньше подвержено влиянию выбросов, выражается в тех же единицах измерения, что и исходные данные, и поэтому его гораздо легче интерпретировать.