Abweichungsrechner

Die Varianz als Streuungs- und Variabilitätsmaß

Ein grundlegender Aspekt der statistischen Auswertung eines Datensatzes ist die Bestimmung seiner Variabilität (Streuung) um den Mittelwert. Die wichtigsten Metriken zur Messung dieser Streuung sind:

• Die Varianz ist der Durchschnitt der quadrierten Abweichungen vom Mittelwert.
• Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz. Sie ist die am häufigsten verwendete Metrik zur Messung der Streuung bzw. Variabilität.
• Der Variationskoeffizient (auch relative Standardabweichung genannt). Dieser wird berechnet als das Verhältnis der Standardabweichung σ zum Mittelwert μ, also \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Unser Online-Varianz-Rechner ermittelt die Varianz eines beliebigen Datensatzes und zeigt Ihnen detailliert jeden einzelnen Schritt der Berechnung an.

So verwenden Sie unseren Varianz-Rechner

Der Varianzrechner akzeptiert die Eingabe als eine durch Trennzeichen gegliederte Zahlenliste. Einige Beispiele für mögliche Eingabeformate finden Sie in der nachstehenden Tabelle.

Zeileneingabe	Spalteneingabe	Spalteneingabe	Spalteneingabe
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Die Zahlen können durch Kommas, Leerzeichen, Zeilenumbrüche oder eine Kombination verschiedener Trennzeichen separiert werden. Sie können die Daten sowohl im Zeilen- als auch im Spaltenformat eingeben. Bei allen in der obigen Tabelle gezeigten Formaten liest der Rechner die Eingabe korrekt als: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 und 89.

Nach der Dateneingabe können Sie auswählen, ob es sich um Stichprobendaten (Sample) oder um Daten einer Grundgesamtheit (Population) handelt. Ein Klick auf die Schaltfläche „Berechnen“ liefert Ihnen fünf wichtige statistische Parameter Ihres Datensatzes: Anzahl der Beobachtungen, Mittelwert, Summe der quadrierten Abweichungen (Abweichungsquadratsumme), Varianz und die Standardabweichung.

Dieser Rechner wurde speziell entwickelt, um die Varianz eines Datensatzes schnell und fehlerfrei zu berechnen. Zudem vermittelt er die zugrunde liegende statistische Theorie, indem er den kompletten Rechenweg transparent darstellt.

Um belastbare statistische Schlüsse zu ziehen, ist ein großer Datensatz ideal. In der Praxis ist es jedoch oft schwierig oder unmöglich, Daten für eine komplette Grundgesamtheit (alle potenziellen Beobachtungen) zu erheben. Daher wird in der Regel eine repräsentative „Stichprobe“ gezogen. Die Ergebnisse dieser Stichprobe dienen dann dazu, Rückschlüsse auf die gesamte Grundgesamtheit zu ziehen.

Die Varianz misst die durchschnittliche quadratische Abweichung eines Datensatzes im Verhältnis zu seinem Mittelwert. In der Statistik wird sie oft mit σ² für die Grundgesamtheit und mit s² für eine Stichprobe bezeichnet. Ein größerer Wert für σ² oder s² bedeutet eine stärkere Streuung der Datenpunkte um den Mittelwert – und umgekehrt.

Betrachten wir die folgenden Beispieldatensätze:

(Satz I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Satz II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Gibt man Satz I in den Varianz-Rechner ein, erhält man:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

für eine Stichprobe, und

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

für die Grundgesamtheit.

Gibt man Satz II in den Rechner ein, erhält man folgende Ergebnisse:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

für eine Stichprobe, und

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

für die Grundgesamtheit.

• In Satz I wichen die Zahlen erheblich vom Mittelwert ab:

s²=70,4

σ²=64

• In Satz II ist die Variabilität (Streuung) sehr gering:

s²=5,6

σ²=5,09

Die Formel für die Varianz: Varianz der Grundgesamtheit vs. Stichprobenvarianz

Varianz der Grundgesamtheit (Populationsvarianz)

Der Begriff Grundgesamtheit bezeichnet in der Statistik die Menge aller möglichen Beobachtungen oder Objekte eines Experiments. Für N Beobachtungen lautet die Formel zur Berechnung der Varianz der Grundgesamtheit:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

wobei

• σ² ist die Varianz der Grundgesamtheit,
• Σ ist das Summenzeichen,
• xᵢ steht für jede einzelne Beobachtung,
• μ ist der Mittelwert der Grundgesamtheit,
• N ist die Gesamtzahl der Beobachtungen in der Grundgesamtheit.

Stichprobenvarianz

Die Stichprobenvarianz ist mathematisch wie folgt definiert:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

wobei

• s² ist die Stichprobenvarianz,
• Σ ist das Summenzeichen,
• xᵢ steht für jede einzelne Beobachtung,
• x̄ ist der Stichprobenmittelwert,
• n ist die Anzahl der Beobachtungen in der Stichprobe.

Schritte zur Berechnung der Varianz

Die Berechnung der Varianz erfolgt in fünf grundlegenden Schritten:

Schritt 1: Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Stichprobe bzw. der Grundgesamtheit. Dies entspricht der Summe aller Datenpunkte geteilt durch die Anzahl der Datenpunkte (n für eine Stichprobe und N für die Grundgesamtheit):

Stichprobenmittelwert:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Mittelwert der Grundgesamtheit:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Schritt 2: Berechnen Sie die Abweichungen, indem Sie das arithmetische Mittel von jedem einzelnen Datenpunkt subtrahieren:

Abweichungen der Stichprobe:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Abweichungen der Grundgesamtheit:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Schritt 3: Quadrieren Sie die in Schritt 2 berechneten Abweichungen für jeden Datenpunkt.

Quadrierte Abweichungen der Stichprobe:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Quadrierte Abweichungen der Grundgesamtheit:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Schritt 4: Berechnen Sie die Summe der quadrierten Abweichungen (Abweichungsquadratsumme, SS).

Summe der quadrierten Abweichungen der Stichprobe:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Summe der quadrierten Abweichungen der Grundgesamtheit:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Schritt 5: Teilen Sie abschließend die Summe der quadrierten Abweichungen durch n-1 (bei einer Stichprobe) oder durch N (bei einer Grundgesamtheit), um die endgültige Varianz zu erhalten.

Varianz der Stichprobe:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Varianz der Grundgesamtheit:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Beispiel für die Berechnung der Varianz einer Stichprobe

Betrachten wir den folgenden Datensatz: 1, 2, 4, 5, 6 und 12. Um die Stichprobenvarianz zu berechnen, folgen wir diesen 5 Schritten:

Schritt 1: Berechnung des Stichprobenmittelwerts (Durchschnitt).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Schritt 2: Berechnung der Abweichungen vom Mittelwert für jeden Datenpunkt.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Schritt 3: Berechnung der Quadrate der Abweichungen.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Schritt 4: Summierung der quadrierten Abweichungen.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Schritt 5: Berechnung der Stichprobenvarianz, indem die Summe der quadrierten Abweichungen durch die Anzahl der Freiheitsgrade (n-1) geteilt wird.

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Für eine Grundgesamtheit (Population) würden wir zur Berechnung der Varianz durch n (die Gesamtanzahl der Datenpunkte) anstatt durch n-1 teilen.

Die Bedeutung und Anwendung der Varianz

Streuungsmaße spielen insbesondere in der Finanz- und Investmentwelt eine entscheidende Rolle. Sie helfen Vermögensverwaltern, die Performance ihrer Anlagen zu optimieren. Finanzanalysten nutzen die Varianz beispielsweise, um die Volatilität und Einzelperformance von Vermögenswerten innerhalb eines Anlageportfolios zu bewerten.

Investoren berechnen die Varianz potenzieller Neuanschaffungen, um datengestützt zu entscheiden, ob eine Investition das damit verbundene Risiko rechtfertigt. Die Streuung liefert Analysten ein konkretes Maß für die Unsicherheit, welches ohne die Metriken Varianz und Standardabweichung nur schwer zu quantifizieren wäre.

Risiko und Unsicherheit sind nicht direkt messbar. Die Varianz und die Standardabweichung (als Quadratwurzel der Varianz) helfen jedoch dabei, den zu erwartenden Einfluss einer bestimmten Aktie auf das Gesamtrisiko eines Portfolios mathematisch zu bestimmen.

Auch für Wissenschaftler, Statistiker, Mathematiker und Datenanalysten (Data Scientists) ist die Varianz unverzichtbar. Sie liefert wertvolle Erkenntnisse über die Verteilung innerhalb eines Experiments oder einer Stichprobe.

Forscher können mithilfe der Varianz Unterschiede zwischen Testgruppen analysieren, um festzustellen, ob diese ähnlich genug sind, um eine statistische Hypothese erfolgreich zu testen. Grundsätzlich gilt: Je höher die Varianz, desto weiter streuen die Einzelwerte im Datensatz. Datenanalysten nutzen diese Information, um zu beurteilen, wie repräsentativ der Mittelwert für den gesamten Datensatz tatsächlich ist.

Ein gewisser Nachteil der Varianz ist ihre Anfälligkeit für Ausreißer. Große Extremwerte innerhalb eines Datensatzes können zu einer starken Verzerrung führen, da sich ihr Gewicht durch den mathematischen Schritt der Quadrierung überproportional erhöht.

Aufgrund dieser Eigenschaft ziehen es viele Forscher in der Praxis vor, mit der Standardabweichung zu arbeiten. Da diese als Quadratwurzel der Varianz berechnet wird, resultiert eine kleinere, leichter interpretierbare Zahl. Zudem bewegt sich die Standardabweichung in derselben Maßeinheit wie die Ursprungsdaten und wird deutlich weniger von einzelnen Ausreißern dominiert.