Kalkulator Varians

Varians sebagai ukuran variabilitas

Salah satu aspek fundamental kesimpulan statistik dari suatu himpunan data adalah mengukur metrik yang mencirikan variabilitas data dari rata-ratanya. Metrik yang paling populer yang mengukur variabilitas adalah:

• Varians adalah rata-rata kuadrat deviasi dari mean.
• Standar deviasi - adalah akar kuadrat dari varians. Standar deviasi adalah metrik yang umum digunakan untuk mengukur penyebaran/variabilitas.
• Koefisien variasi, yang juga dikenal sebagai standar deviasi relatif. Koefisien variasi dihitung sebagai rasio standar deviasi σ terhadap mean μ atau \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Kalkulator ini menghitung varians dari suatu himpunan data dan menampilkan langkah-langkah cara menghitungnya.

Aturan dalam menggunakan kalkulator ini

Kalkulator varians menerima input sebagai daftar angka yang dipisahkan oleh pembatas. Beberapa contoh input diperlihatkan pada tabel di bawah ini.

input baris	input kolom	input kolom	input kolom
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

Angka-angka bisa dipisahkan dengan koma, spasi, jeda baris, atau campuran dari lebih satu jenis pembatas. Anda dapat menggunakan format baris atau kolom. Untuk semua format yang ditunjukkan pada tabel di atas, kalkulator memroses input sebagai 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, dan 89.

Setelah memasukkan data, Anda dapat memilih apakah itu data sampel atau data populasi. Saat Anda menekan tombol hitung, kalkulator ini menampilkan lima parameter statistik dari himpunan data: jumlah (banyaknya pengamatan), rata-rata, jumlah kuadrat deviasi, varians, dan deviasi standar.

Kalkulator dirancang untuk menghitung varians dari himpunan data. Ini juga memberikan pemahaman tentang teori di balik penghitunganya dan menunjukkan semua langkah yang digunakan.

Saat membuat kesimpulan, sebaiknya menggunakan himpunan data yang besar untuk mendapatkan statistik yang baik. Tetapi seringkali sulit untuk mendapatkan data populasi yang mewakili semua kemungkinan pengamatan. Oleh sebab itu, aturannya, "sampel" diambil dari populasi. Dan kesimpulan tentang populasi biasanya diambil dari data sampel.

Varians mengukur rata-rata penyebaran suatu himpunan data sehubungan mean. Ini sering dilambangkan dengan σ² untuk populasi dan s² untuk sampel. Nilai σ² atau s² yang lebih besar menunjukkan penyebaran titik data yang lebih besar dari mean sampel dan sebaliknya.

Perhatikan contoh himpunan data berikut.

(Set I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Set II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Memasukkan Set I ke dalam kalkulator varians menghasilkan:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

untuk sampel, dan

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

untuk populasi.

Demikian juga ketika memasukkan Set II ke dalam kalkulator akan menghasilkan:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

untuk sampel, dan

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

Untuk populasi.

• Di Set I, angka-angka menyimpang secara signifikan dari mean sampel

s²=70,4

σ²=64

• Pada Set II variabilitasnya kecil

s²=5,6

σ²=5,09

Rumus varians: varians populasi vs. varians sampel

Varians populasi

Populasi dalam statistik mengacu pada semua yang bisa diamati dalam eksperimen. Untuk pengamatan N, varians populasinya adalah:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\ \mu)}^2\ }}{N}$$

di mana

• s² adalah varians sampel,
• Σ adalah penjumlahan,
• xᵢ adalah tiap pengamatan,
• μ adalah mean populasi,
• n adalah jumlah pengamatan dalam populasi.

Varians sampel

Varians sampel didefinisikan sebagai

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\ \bar{x})}^2\ }}{n-1}$$

di mana

• s² adalah varians populasi,
• Σ adalah penjumlahan,
• xᵢ adalah tiap pengamatan,
• x̄ adalah mean sampel,
• n adalah jumlah pengamatan dalam sampel.

Langkah-langkah untuk menghitung varian

Berikut ini adalah langkah-langkah yang terlibat dalam perhitungan varian.

Langkah 1: Hitung rata-rata sampel/populasi. Ini adalah jumlah dari semua titik data yang dibagi dengan jumlah titik data (n untuk sampel dan N untuk populasi), yaitu,

Rata-rata sampel:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Rata-rata populasi:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Langkah 2: Hitung deviasi dengan mengurangkan rata-rata sampel/populasi dari setiap titik data, yaitu,

Deviasi sampel:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Deviasi populasi:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Langkah 3: Hitung deviasi kuadrat untuk setiap titik data.

Deviasi kuadrat sampel:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Deviasi kuadrat populasi:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Langkah 4: Hitung jumlah dari deviasi kuadrat tersebut.

Jumlah deviasi kuadrat sampel:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Jumlah deviasi kuadrat populasi:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Langkah 5: Bagi jumlah deviasi kuadrat dengan n-1 untuk sampel dan N untuk populasi untuk menghitung varian.

Varian sampel:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Varian populasi:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Contoh Perhitungan Varians untuk Sampel

Mari kita pertimbangkan kumpulan data berikut: 1, 2, 4, 5, 6, dan 12. Untuk menghitung varians sampel, kita mengikuti langkah-langkah berikut:

Langkah 1: Hitung rata-rata sampel (mean).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Langkah 2: Hitung penyimpangan dari mean untuk setiap titik data.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Langkah 3: Hitung kuadrat dari penyimpangan.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Langkah 4: Jumlahkan kuadrat penyimpangan.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Langkah 5: Hitung varians sampel dengan membagi jumlah kuadrat penyimpangan dengan derajat kebebasan (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Untuk populasi, kita akan membagi dengan n (jumlah total titik data), bukan n-1, untuk menghitung varians populasi.

Pentingnya varians

Penyebaran digunakan dalam berinvestasi. Ini membantu sang manajer aset meningkatkan kinerja investasi mereka. Analis keuangan dapat menggunakan varians untuk memperkirakan kinerja individu komponen suatu portofolio investasi.

Investor menghitung varians ketika mempertimbangkan pembelian baru untuk memutuskan apakah investasi tersebut sepadan dengan risikonya. Penyebaran membantu analis menentukan ukuran ketidakpastian, yang sulit diukur tanpa varians dan standar deviasi.

Ketidakpastian tidak langsung dapat diukur. Tetapi varians dan standar deviasi (akar kuadrat dari varians) membantu menentukan dampak yang dirasakan saham tertentu dalam portofolio.

Ilmuwan, ahli statistik, ahli matematika, dan analis data dapat menggunakan varians juga. Varians membantu memberikan informasi yang berguna tentang eksperimen atau sampel populasi.

Para ilmuwan dapat mencari perbedaan antara kelompok uji untuk menentukan apakah mereka cukup mirip untuk keberhasilan pengujian sebuah hipotesis. Semakin tinggi varians dari suatu himpunan data, semakin tersebar nilai-nilainya dalam suatu himpunan data. Peneliti data dapat menggunakan informasi ini untuk melihat seberapa baik mean mewakili suatu himpunan data.

Kerugian menggunakan varians adalah bahwa outlier yang besar dalam satu himpunan data bisa menyebabkan beberapa distorsi data. Ini karena outlier dapat meningkatkan bobotnya lebih tinggi setelah dikuadratkan.

Banyak peneliti lebih suka menggunakan standar deviasi, yang dihitung sebagai akar kuadrat varians. Standar deviasi tidak terlalu terpengaruh oleh outlier, berupa angka yang lebih kecil, dan lebih mudah diinterpretasikan.