Calcolatrice della Varianza

La varianza come misura di variabilità

Uno degli aspetti fondamentali dell'inferenza statistica di un dato insieme di dati è misurare una metrica che caratterizzi la variabilità dei dati rispetto alla loro media. Le metriche più popolari che misurano la variabilità sono:

• La varianza è la media delle deviazioni al quadrato dalla media.
• La deviazione standard è la radice quadrata della varianza. La deviazione standard è una metrica comunemente utilizzata per misurare la dispersione/variabilità.
• Il coefficiente di variazione, noto anche come deviazione standard relativa. Il coefficiente di variazione viene calcolato come il rapporto tra la deviazione standard σ e la media μ o \$(C_v=\frac{σ}{μ})\$.

Questo calcolatore trova la varianza di un dato insieme di dati e mostra i passaggi coinvolti nel calcolo.

Le regole per utilizzare questo calcolatore

Il calcolatore della varianza accetta l'input come un elenco di numeri separati da un delimitatore. Alcuni esempi di input possibili sono mostrati nella tabella sottostante.

input di riga	input di colonna	input di colonna	input di colonna
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

I numeri possono essere separati da una virgola, uno spazio, un'interruzione di riga o una combinazione di più di un tipo di delimitatore. È possibile utilizzare sia il formato di riga che quello di colonna. Per tutti i formati mostrati nella tabella sopra, il calcolatore elabora l'input come 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 e 89.

Dopo aver inserito i dati, è possibile selezionare se si tratta di dati di campione o di dati di popolazione. Premendo il pulsante di calcolo, il calcolatore visualizza cinque parametri statistici del set di dati: conteggio (numero di osservazioni), media, somma delle deviazioni quadrate, varianza e la deviazione standard.

Il calcolatore è progettato per calcolare la varianza di un insieme di dati. Fornisce anche una comprensione della teoria dietro al calcolo e mostra tutti i passaggi coinvolti.

Quando si effettuano inferenze, è preferibile utilizzare un grande insieme di dati per ottenere buone statistiche. Ma spesso è difficile ottenere dati di popolazione che rappresentino tutte le osservazioni possibili. Pertanto, come regola, viene prelevato un "campione" dalla popolazione. E le conclusioni sulla popolazione di solito vengono tratte dai dati del campione.

La varianza misura la dispersione media di un insieme di dati in relazione alla media. È spesso indicata con σ² per una popolazione e con s² per un campione. Un valore maggiore di σ² o s² implica una maggiore dispersione dei punti dati dalla media del campione e viceversa.

Prendi in considerazione i seguenti insiemi di dati esemplificativi.

(Insieme I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Insieme II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Inserendo l'Insieme I nel calcolatore della varianza si ottiene:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

per un campione, e

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

per la popolazione.

Allo stesso modo, inserendo l'Insieme II nel calcolatore si ottiene:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

per un campione, e

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

per la popolazione.

• Nell'Insieme I, i numeri si discostavano significativamente dalla media del campione

s²=70,4

σ²=64

• Nell'Insieme II la variabilità è piccola

s²=5,6

σ²=5,09

La formula della varianza: varianza della popolazione vs varianza del campione

Varianza della popolazione

In statistica, la popolazione si riferisce a tutte le osservazioni possibili in un esperimento. Per N osservazioni, la varianza della popolazione è:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\mu)}^2}}{N}$$

dove

• σ² è la varianza della popolazione,
• Σ indica la sommatoria,
• xᵢ è ciascuna osservazione,
• μ è la media della popolazione,
• N è il numero di osservazioni nella popolazione.

Varianza del campione

La varianza del campione è definita come

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\bar{x})}^2}}{n-1}$$

dove

• s² è la varianza del campione,
• Σ indica la sommatoria,
• xᵢ è ciascuna osservazione,
• \$\bar{x}\$ è la media del campione,
• n è il numero di osservazioni nel campione.

Passaggi per il calcolo della varianza

I seguenti passaggi sono coinvolti nel calcolo della varianza.

Passo 1: Calcolare la media del campione/della popolazione. Questa è la somma di tutti i punti dati divisa per il numero di punti dati (n per un campione e N per la popolazione), ovvero

Media del campione:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Media della popolazione:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Passo 2: Calcolare le deviazioni sottraendo la media del campione/della popolazione da ciascun punto dati, ovvero

Deviazioni del campione:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Deviazioni della popolazione:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Passo 3: Calcolare le deviazioni quadrate per ciascun punto dati.

Deviazioni quadrate del campione:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Deviazioni quadrate della popolazione:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Passo 4: Calcolare la somma delle deviazioni quadrate.

Somma delle deviazioni quadrate del campione:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Somma delle deviazioni quadrate della popolazione:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Passo 5: Dividere la somma delle deviazioni quadrate per n-1 per un campione e N per la popolazione per calcolare la varianza.

Varianza del campione:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Varianza della popolazione:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Esempio di calcolo della varianza per un campione

Consideriamo il seguente insieme di dati: 1, 2, 4, 5, 6 e 12. Per calcolare la varianza del campione, seguiamo questi passaggi:

Passo 1: Calcola la media del campione (media aritmetica).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Passo 2: Calcola le deviazioni dalla media per ciascun punto dati.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Passo 3: Calcola i quadrati delle deviazioni.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Passo 4: Somma i quadrati delle deviazioni.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Passo 5: Calcola la varianza del campione dividendo la somma dei quadrati delle deviazioni per i gradi di libertà (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Per una popolazione, divideremmo per n (il numero totale dei punti dati), piuttosto che per n-1, per calcolare la varianza della popolazione.

L'importanza della varianza

La dispersione è utilizzata negli investimenti. Aiuta i gestori di asset a migliorare le performance dei loro investimenti. Gli analisti finanziari possono usare la varianza per valutare la performance individuale dei componenti di un portafoglio di investimenti.

Gli investitori calcolano la varianza quando considerano un nuovo acquisto per decidere se l'investimento vale il rischio. La dispersione aiuta gli analisti a determinare una misura di incertezza, che è difficile da quantificare senza varianza e deviazione standard.

L'incertezza non è direttamente misurabile. Ma la varianza e la deviazione standard (la radice quadrata della varianza) aiutano a determinare l'impatto percepito di una particolare azione su un portafoglio.

Anche scienziati, statistici, matematici e analisti di dati possono utilizzare la varianza. Essa aiuta a fornire informazioni utili su un esperimento o su una popolazione campione.

Gli scienziati possono cercare differenze tra gruppi di test per determinare se sono abbastanza simili da testare con successo un'ipotesi. Più alta è la varianza dell'insieme di dati, più sparsi sono i valori nell'insieme di dati. I ricercatori di dati possono usare queste informazioni per vedere quanto bene la media rappresenta l'insieme di dati.

Lo svantaggio dell'uso della varianza è che grandi valori anomali in un insieme possono portare ad una certa distorsione dei dati. Questo perché i valori anomali possono aumentare ulteriormente il loro peso una volta elevati al quadrato.

Molti ricercatori preferiscono lavorare con la deviazione standard, calcolata come la radice quadrata della varianza. La deviazione standard è meno influenzata dai valori anomali, è una cifra più piccola ed è più facile da interpretare.