Calcolatrice della Varianza

La varianza come misura di variabilità

Uno degli aspetti fondamentali nell'analisi statistica di un insieme di dati (dataset) è individuare una metrica che ne descriva la variabilità rispetto alla media. Le metriche di dispersione più utilizzate sono:

• La varianza, definita come la media dei quadrati delle deviazioni dalla media.
• La deviazione standard (o scarto quadratico medio), calcolata come la radice quadrata della varianza. È la metrica più comune per quantificare la dispersione dei dati.
• Il coefficiente di variazione, noto anche come deviazione standard relativa. Si calcola come il rapporto tra la deviazione standard σ e la media μ, ovvero $C_v=\frac{\sigma}{\mu}$.

Questo calcolatore della varianza ti permette di trovare la varianza di qualsiasi insieme di dati, mostrando passo dopo passo tutto il procedimento matematico.

Le regole per utilizzare questo calcolatore

Il nostro calcolatore della varianza online accetta in input un elenco di valori separati da un delimitatore. Nella tabella sottostante puoi vedere alcuni esempi di formati supportati.

input di riga	input di colonna	input di colonna	input di colonna
44, 63, 72, 75, 80, 86, 87, 89	44	44,	44,63,72
44 63 72 75 80 86 87 89	63	63,	75,80
44,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	72	72,	86,87
44 63 72 75, 80, 86, 87, 89	75	75,	89
44; 63; 72, 75,, 80, 86, 87, 89	80	80,
44,,, 63,, 72, 75, 80, 86, 87, 89	86	86,
44 63,, 72,,,, 75, 80, 86, 87, 89	87	87,
	89	89,

I numeri possono essere separati da virgole, spazi, interruzioni di riga o una combinazione di questi. Puoi incollare i dati sia in riga che in colonna. In tutti i casi mostrati nella tabella, il calcolatore interpreterà l'input come: 44, 63, 72, 75, 80, 86, 87 e 89.

Una volta inseriti i valori, potrai specificare se si tratta di dati relativi a un campione o a un'intera popolazione. Premendo il pulsante "Calcola", lo strumento restituirà cinque parametri statistici chiave: il conteggio (numero di osservazioni), la media, la somma dei quadrati delle deviazioni (devianza), la varianza e la deviazione standard.

Questo strumento non si limita a calcolare il risultato finale, ma ti aiuta a comprendere la logica statistica illustrando tutti i passaggi del calcolo della varianza.

Nella statistica inferenziale, per ottenere risultati affidabili, si prediligono dataset numerosi. Tuttavia, è spesso difficile o impossibile raccogliere i dati di un'intera popolazione (ovvero tutte le osservazioni possibili). Per questo motivo, si estrae generalmente un "campione" rappresentativo, dal quale si traggono poi le conclusioni valide per l'intera popolazione.

La varianza misura la dispersione quadratica media dei dati rispetto alla loro media aritmetica. Viene indicata con σ² per la popolazione e con s² per il campione. Un valore elevato di σ² o s² indica che i punti dati sono molto distanti dalla media, mentre un valore basso indica una minore dispersione.

Consideriamo i seguenti dataset di esempio:

(Insieme I) 11, 3, 5, 21, 10, 15, 20, 25, 13, 26, 27,

(Insieme II) 12, 14, 14, 15, 15, 16, 16, 17, 18, 19, 20

Inserendo l'Insieme I nel calcolatore della varianza si ottiene:

n=11

x̄=16

SS=704

s²=70,4

s=8,39

per un campione, e

n=11

μ=16

SS=704

σ²=64

σ=8

per la popolazione.

Allo stesso modo, inserendo l'Insieme II nel calcolatore si ottiene:

n=11

x̄=16

SS=56

s²=5,6

s=2,36

per un campione, e

n=11

μ=16

SS=56

σ²=5,09

σ=2,25

per la popolazione.

• Nell'Insieme I, i valori si discostano significativamente dalla media, generando un'alta varianza:

s²=70,4

σ²=64

• Nell'Insieme II, i valori sono molto vicini alla media, indicando una bassa variabilità:

s²=5,6

σ²=5,09

La formula della varianza: varianza della popolazione vs varianza del campione

Varianza della popolazione

In statistica, il termine popolazione si riferisce all'insieme completo di tutte le possibili osservazioni di un esperimento. Per N osservazioni, la formula della varianza della popolazione è:

$$\sigma^2=\frac{\sum_{i}^{N}{{(x_i-\mu)}^2}}{N}$$

dove

• σ² è la varianza della popolazione,
• Σ indica la sommatoria,
• xᵢ rappresenta la singola osservazione,
• μ è la media della popolazione,
• N è il numero di osservazioni nella popolazione.

Varianza del campione

La formula della varianza del campione è invece definita come:

$$s^2=\frac{\sum_{i}^{n}{{(x_i-\bar{x})}^2}}{n-1}$$

dove

• s² è la varianza del campione,
• Σ indica la sommatoria,
• xᵢ rappresenta la singola osservazione,
• x̄ è la media del campione,
• n è il numero di osservazioni nel campione.

Passaggi per il calcolo della varianza

Ecco i passaggi fondamentali per calcolare la varianza passo dopo passo.

Passo 1: Calcola la media aritmetica del campione o della popolazione. Si ottiene sommando tutti i valori e dividendo il risultato per il numero totale delle osservazioni (n per il campione, N per la popolazione):

Media del campione:

$$\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}$$

Media della popolazione:

$$\mu=\frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}$$

Passo 2: Calcola le deviazioni sottraendo la media appena trovata da ciascun singolo punto dati:

Deviazioni del campione:

$$(x_1-\bar{x}), (x_2-\bar{x}), (x_3-\bar{x}), \ldots, (x_n-\bar{x})$$

Deviazioni della popolazione:

$$(x_1-\mu), (x_2-\mu), (x_3-\mu), \ldots, (x_N-\mu)$$

Passo 3: Eleva al quadrato le deviazioni calcolate nel passaggio precedente.

Deviazioni quadrate del campione:

$$(x_1-\bar{x})^2, (x_2-\bar{x})^2, (x_3-\bar{x})^2, \ldots, (x_n-\bar{x})^2$$

Deviazioni quadrate della popolazione:

$$(x_1-\mu)^2, (x_2-\mu)^2, (x_3-\mu)^2, \ldots, (x_N-\mu)^2$$

Passo 4: Calcola la somma dei quadrati delle deviazioni (nota come devianza).

Somma delle deviazioni quadrate del campione:

$$SS=\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2$$

Somma delle deviazioni quadrate della popolazione:

$$SS=\sum_{i=1}^{N}(x_i-\mu)^2$$

Passo 5: Dividi la somma ottenuta per n-1 (se si tratta di un campione) o per N (se si tratta di una popolazione) per ottenere la varianza finale.

Varianza del campione:

$$s^2=\frac{SS}{n-1}$$

Varianza della popolazione:

$$\sigma^2=\frac{SS}{N}$$

Esempio di calcolo della varianza per un campione

Consideriamo questo piccolo dataset: 1, 2, 4, 5, 6 e 12. Per calcolare la varianza campionaria, seguiamo questa procedura:

Passo 1: Calcola la media del campione (media aritmetica).

$$\bar{x}=\frac{1+2+4+5+6+12}{6}=\frac{30}{6}=5$$

Passo 2: Calcola le deviazioni dalla media per ciascun punto dati.

x₁-x̄	x₂-x̄	x₃-x̄	x₄-x̄	x₅-x̄	x₆-x̄
1 - 5	2 - 5	4 - 5	5 - 5	6 - 5	12 - 5
-4	-3	-1	0	1	7

Passo 3: Calcola i quadrati delle deviazioni.

(x₁-x̄)²	(x₂-x̄)²	(x₃-x̄)²	(x₄-x̄)²	(x₅-x̄)²	(x₆-x̄)²
16	9	1	0	1	49

Passo 4: Somma i quadrati delle deviazioni.

$$SS=\sum_{i=1}^{n}{(x_i-\bar{x})}^2=16+9+1+0+1+49=76$$

Passo 5: Calcola la varianza del campione dividendo la somma dei quadrati delle deviazioni per i gradi di libertà (n-1).

$$s^2=\frac{SS}{n-1}=\frac{76}{6-1}=\frac{76}{5}=15,2$$

Nota: se questi dati rappresentassero un'intera popolazione, per trovare la varianza avremmo diviso la devianza per N (il numero totale delle osservazioni) anziché per n-1.

L'importanza della varianza

Le metriche di dispersione giocano un ruolo cruciale nel settore degli investimenti, aiutando i gestori patrimoniali a ottimizzare le performance. Gli analisti finanziari utilizzano la varianza per valutare la volatilità e il rendimento dei singoli asset all'interno di un portafoglio.

Prima di procedere con un nuovo acquisto, gli investitori calcolano la varianza per capire se il potenziale rendimento giustifichi il rischio. La misurazione della dispersione fornisce una stima quantitativa dell'incertezza, altrimenti quasi impossibile da valutare in modo oggettivo.

Poiché l'incertezza del mercato non è direttamente misurabile, la varianza e la deviazione standard fungono da indicatori essenziali per prevedere l'impatto di un titolo sulle sorti dell'intero capitale investito.

Al di fuori della finanza, la varianza è fondamentale per scienziati, statistici, matematici e data analyst. Fornisce informazioni cruciali sull'affidabilità di un esperimento scientifico o sulle caratteristiche di un campione.

Nella ricerca, misurare la dispersione permette di confrontare i gruppi di controllo per verificare se le condizioni iniziali siano sufficientemente omogenee. Una varianza alta indica che i dati sono molto sparsi: in questo caso, la semplice media aritmetica potrebbe non essere un indicatore affidabile e rappresentativo del dataset.

Il principale svantaggio dell'utilizzo della varianza è la sua forte sensibilità agli outlier (valori anomali). Poiché il calcolo prevede l'elevazione al quadrato delle distanze dalla media, i valori estremi acquisiscono un peso sproporzionato, rischiando di distorcere l'interpretazione statistica.

Per questo motivo, molti ricercatori preferiscono affiancare o sostituire la varianza con la deviazione standard. Riportando la misura alla stessa scala di grandezza dei dati originali (essendo la radice quadrata della varianza), la deviazione standard risulta numericamente più contenuta e molto più facile da interpretare a livello intuitivo.