概率计算器

两个事件的概率计算器

当知道两个独立事件发生的概率时，可以使用两个事件的概率计算器来确定它们同时发生的概率。需要在计算器中输入两个独立事件的概率，即事件 a 和 b 发生的概率。然后，计算器将显示两个独立事件的并集、交集和其他相关概率以及相应的维恩图。

两个事件的概率求解器

在两个事件概率求解计算器输入任意两个值，就可以计算两个独立事件的各种事件概率，这在当不知道两个事件的一个或两个发生概率的情况下尤为重要。计算结果将显示答案和计算步骤。

一系列独立事件的发生概率

可使用一系列独立事件概率计算器来算出两个相继发生的独立事件的概率。在此计算器中，需要设置事件发生的次数。

正态分布的概率

正态分布概率计算器有助于确定正态曲线的概率。需要输入均值 μ、标准差 σ 和边界。正态概率计算器将生成设定边界的概率和一系列置信水平的置信区间。

概率介绍

概率是指事件发生的几率。因此，特定事件的概率总是介于 0 和 1 之间。概率计算器让计算各种事件的概率变得异常简单。

事件操作规则

实验结果的任何分组都被称为事件。事件可以是样本空间的任何子集。补集、交集和并集可以看作是事件操作的规则。让我们通过下面的示例来学习这些规则。

示例

你们大学拥有包括商学院在内的各种学院，此外大学还招收国际学生。作为试验的一部分，您需要对大学生进行访谈。您选择从第一个走进校门的学生开始。假设：

A = 第一个学生来自商学院。

B = 第一个学生是国际学生。

P(A) = 0.6

P(B) = 0.3

补充事件

事件的补集是样本空间中不包括在该事件中的所有结果的集合。

例如，事件 A 的补集表示第一个学生来自商学院以外的其他学院。这可以用 \$A\prime\$ 或Aᶜ表示。

让我们用维恩图来表示事件 A 的补集。

在上面的维恩图中，彩色区域代表事件 A 的补集。

矩形的总面积代表样本空间的总体概率，正好是 1。圆 A 外的空间表示事件 A 的补集概率。通过维恩图，我们可以建立以下关系：

$$P\left(A\right)+P\left(A^\prime\right)=1$$

因此

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)$$

让我们求出以下概率。

第一个访谈的学生不是来自商学院的概率：

$$P\left(A^\prime\right)=1-P\left(A\right)=1-0.6=0.4$$

第一个访谈的学生不是国际生的概率：

$$P\left(B^\prime\right)=1-P\left(B\right)=1-0.3=0.7$$

事件的交集

两个事件 A 和 B 的交集是事件 A 和 B 中所有共同元素的集合。

例 1 中事件 A 和事件 B 的交集表示第一个访谈的学生是国际生，且该学生来自商学院。具体表示如下

$$A\cap B$$

让我们用维恩图来表示事件 A 和 B 的交集。

在上面的维恩图中，彩色区域代表事件 A 和 B 的交集。

假设选择本地学生进行访谈的事件为 C。现在，我们把事件 A 和 C 用维恩图表示出来。

选择国际生和本地生不能同时进行。假设选择的第一个学生是国际生。在这种情况下，就排除了第一个学生是本地生事件的发生。因此，事件 A 和 C 是互斥事件。

互斥事件之间没有任何共同元素。因此，两个互斥事件的交集为空。

$$A\cap C=φ$$

事件相交的概率可以用不同的方法计算。事件 A 和 B 的表示方法如下

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cup B\right)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B/A)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A/B)$$

独立事件

独立事件是指互不影响的事件。在我们的例子中，选择商学院的学生并不影响是否选择国际生。因此，我们可以说事件 A 和事件 B 是两个独立事件。

当事件相互独立时，任何一个事件发生的概率都不取决于另一个事件发生的概率。因此

$$P(B/A)=B\ and\ P(A/B)=A$$

可以使用这些公式来修改我们之前学习的公式，以确定两个交叉事件的概率。

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(\mathrm{B/A}\right)P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(B\right)× P\left(\mathrm{A/B}\right)P\left(A\cap B\right)=P(B)× P(A)$$

因此，将这两个事件的概率相乘，就可以求出两个独立事件的交集。

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=P(B)× P(A)$$

鉴于事件 A 和 B 是独立的，让我们来确定选择的第一个参加访谈的学生来自商学院并且是国际学生的概率。

$$P\left(A\cap B\right)=P\left(A\right)× P\left(B\right)=0.6× 0.3=0.18$$

事件的并集

两个事件的结合会产生另一个事件，包含任一事件或两个事件的所有元素。“或"一词通常用来描述两个事件的并集。

在例 1 中，事件 A 和 B 的并集意味着选择一名国际生或一名商学院的学生。具体表示如下

$$A\cup B$$

让我们用维恩图来表示事件 A 和 B 的并集。

上述维恩图的彩色区域代表事件 A 和 B 的并集。

要计算事件 A 或事件 B 的概率，我们必须将两个事件的概率相加，再减去交叉事件的概率。

事件 A 和 B 并集的概率可以写成下面的形式：

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\cap B\right)$$

我们可以修改上面的公式，创建一个新公式，当两个事件的交集概率未知且两个事件是独立的时，求出两个独立事件的并集概率。

如果事件是独立的、

$$P\left(A\cap B\right)=P(A)× P(B)$$

因此

$$P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P(A)× P(B)$$

让我们来计算一下，将事件 A 和 B 结合起来的概率是多少，也就是说，我们会以多大的概率选择一个商科专业的学生、一个国际学生，或者同时选择这两个学生？

$$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=0.6+0.3-0.18=0.72$$

借助两事件概率计算器或两事件概率求解器，可以快速完成上述所有计算。即使想检查概率计算步骤，也可以使用两事件概率求解计算器。

正态分布

正态分布是对称的，曲线呈钟形。正态分布具有相同的平均数、中位数和众数，以及 50% 的数据高于平均数，50% 的数据低于平均数。正态分布曲线在均值的两个方向上延伸，但永远不会触及X轴。曲线下的总面积为1。

如果随机变量 X 具有参数 μ 和 σ2 的正态分布，我们可以写成X ~ N(μ, σ²)。

正态分布的概率

正态分布的概率密度函数如下所示：

$$f\left(x\right)=\frac{1}{\sqrt{2π\sigma^2}}× e^\frac{-{(x-\mu)}^2}{2\sigma^2}$$

其中，

• μ 是分布的平均值；
• σ² 是分布的方差；
• π 为 3.14；
• e 为 2.7182。

由于存在无数条不同的正态曲线，因此不可能为平均值和标准偏差的每种组合提供一个概率表。因此，我们采用标准正态分布。均值为 0、标准差为 1 的正态分布称为标准正态分布。

要计算正态分布的概率，我们必须首先使用Z分数将实际分布转化为标准正态分布，然后使用 Z值表计算概率。正态概率计算器的功能与标准正态概率计算器一样，提供不同置信度的概率。

$$Z=\frac{X-\mu}{\sigma}$$

标准正态分布曲线可用于解决现实世界中的很多问题。要确定连续变量的概率，就要用到正态分布。连续变量是指可以取任意多个值的变量，甚至是小数。身高、体重和体温就是连续变量的几个例子。

让我们通过下面的例子来学习如何求出正态分布的概率。

示例

统计课程成绩呈正态分布，均值为 65，标准差为 10。如果随机抽取一名学生，请确定出现以下情况的概率：

• 学生的分数等于或高于 70 分、
• 学生的分数低于 70 分、
• 学生的分数在 50 分至 70 分之间。

解决方案

$$P\left(X≥70\right)=P\left(Z≥\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z≥0.5\right)=1-0.6915=0.3085$$

$$P\left(X<70\right)=P\left(Z<\frac{70-65}{10}\right)=P\left(Z<0.5\right)=0.6915$$

$$P\left(50>X>70\right)=P\left(\frac{50-65}{10}>Z>\frac{70-65}{10}\right)=P\left(1.5>Z>0.5\right)=0.4332+0.1915=0.6247$$

计算正态曲线的概率涉及许多步骤，需要使用 Z值表。另一方面，正态分布概率计算器只需在计算器中输入四个数字即可帮助您计算概率。要使用正态分布计算器，只需输入平均值、标准差以及左右边界。